基于互惠食饵捕食模型的草原放牧稳定性的研究.pdf

齐鲁工业大学学报第 卷 第 期 年 月出版 .:./.【数理与统计科学】基于互惠食饵捕食模型的草原放牧稳定性的研究胡双霞张 楠张瀚清赵琳琳王 岩李金红齐鲁工业大学(山东省科学院)数学与人工智能学部山东 济南 摘要:对草原放牧稳定性进行了研究主要采用食饵捕食模型研究最佳的放牧数量 在一般食饵捕食模型、互惠食饵捕食模型和将牧草分类分析建立的优化模型中分别求得平衡点分别对 种模型求出的平衡点运用微分方程稳定性研究理论和 数值模拟考察平衡点稳定性确定了牧草和放牧数量的最佳值最后给出分类划片放牧和按季节轮牧的建议关键词:互惠食饵捕食模型草原放牧策略平衡点稳定性中图分类号:文献标志码:文章编号:()():.:草地资源虽然属于可再生资源但过度使用会使得温带草原退变为荒漠草原最终变为荒漠所以需要对草原资源实施科学管理控制 牧民们赖以生存的草原系统属于比较脆弱的生态系统因此保护草原系统尤为重要 为保持草原可持续发展研究放牧数量和牧草之间的关系可提供理论依据安玉锋等采用放牧系统动态模型描述特定空间内牧草和家畜量变过程发现牧草增长率和绵羊种群采食率轨迹图中出现 个平衡点 个点之间的牧草生产量有贮存效应 点之外为存在缺草期只有发挥系统耦合的效应能力方可使放牧系统健康发展 张彦宇等在草原放牧系统管理的问题中考虑到环境因素(降水、温度等)存在周期性变化及放牧周期的干扰建立存在周期制约作用的草地放牧系统管理的最优控制模型 张慧玲等通过实验就不同耗牛放牧强度对牧草生长的环境进行了研究实验结果表明禁止放牧和高强度放牧均会使草原呈现“双向退化现象”轻度放牧则会使得牧草保持良好的生长状态 收稿日期:网络出版时间:基金项目:国家自然科学基金()山东省自然科学基金()作者简介:胡双霞硕士生研究方向:偏微分方程理论及应用通信作者:李金红博士、教授研究方向:偏微分方程理论及应用.齐鲁工业大学学报 年第 期 等研究 型分数阶 种群食物链模型时讨论了所需参数条件下的所有可能平衡点上述研究对草原牧草和放牧数量进行了系统分析牧草和放牧数量之间存在平衡点放牧强度过高或者过低均对草场不利 但是这些研究几乎都未提及一个重要的因素即草场和放牧的牲畜是相互作用和影响的 牧草可为牲畜提供营养同样牲畜排除的粪便可作为无机肥料为牧草供给养料因此二者之间存在一种互惠关系 本文考虑牧草和牲畜的互惠关系及阻滞性采用食饵捕食模型研究牧草和放牧数量存在的平衡点问题未考虑自身阻滞一般模型建立食饵捕食模型是生态学中比较常见的数学模型 模型讲述食饵在不被外界因素影响而独立生长的情况下是呈指数增长的从而草在不被影响下也为指数增长不妨设草的相对增长率为 则草在 时刻增长率可以用方程表示 ()()羊的存在使得草的数量不断减少即草在()时刻的增长率减少将()改进后()满足方程 ()()其中 为单位数量羊吃草的能力同样在没在有人工喂养情形下羊群离开牧草无法生存因此没有牧草时会出现负增长 假设羊群在不被外界投喂的情况下独立生存时死亡率为 则羊在 时刻的增长率表达式为 ()()牧草为羊提供丰富的食物从而减少羊的死亡率并且促进羊群数量的增加则更为精确的羊在 时刻增长率表达式为 ()()其中 为单位数量草对羊的供养能力草相当于食饵捕食模型中的食饵依靠肥沃的土壤和适量的降水等自然资源得以生长羊则为捕食者需要以草为生 联立方程()和()求稳定点 ()解得 个稳定点()与()由常识可知草原上牧草和羊数量为 的情况不存在因此只需要考虑稳定点附近情况通过 做出式()和()关系图像如图 所示 由图 可知牧草和羊群之间联系密切随着牧草的增多羊群的数量会急剧上升达到一定值羊群之间的相互竞争牧草的数量会急剧减少羊的数量也会随之减少循环往复呈周期性变化 随时间变化并没有出现相对稳定的状态因此可推测平衡点不稳定图 牧草和羊群在一般模型下随时间变化关系图像 年第 期胡双霞等:基于互惠食饵捕食模型的草原放牧稳定性的研究互惠模型建立在饲养牲畜过程中羊群或者草均存在自己与自己的竞争即常说的自身阻滞 在考虑自身阻滞条件下还要加入物种之间相互影响的因素即若牧草增多则羊群也会随之增加直至增加到一个平衡点超过平衡点以后羊群和牧草的数量均会下降 为保证牧草的可持续增长需要将放牧强度控制在一定范围因此研究放牧强度和牧草平衡点采用更加精确的模型:()()()()式中()表示在 时刻牧草的数量 为草的相对增长率 为温带草原上能容纳草的数量 为草原上能容纳羊的最大数量 为牧草自身的阻滞率 为羊群对牧草正向影响的增长率(羊群的粪便、尿液等均能为牧草生长提供所需要的无机物由此可促进牧草生长)()()()()式中()表示在 时刻放牧羊的数量 为羊的相对增长率 和 反映的是草和羊之间相互的供养能力 为牧草给羊群提供所需营养使得羊群增加的增长率 为羊群自身的阻滞率(羊与羊之间会存在内部竞争使得羊群数量减少)联立()和()式:()()()求得 个平衡点分别为()、()、()()考察平衡点是否稳定有直接法和间接法两种基本方法本文采用直接法判断 直接法对于一些不能求精确解的方程使用起来非常方便可在不知方程解的情况下直接判断平衡点稳定性 首先求得方程组的系数矩阵为 ()其中对方程组系数矩阵中各元素求导如下 ()()()()()()令 ()平衡点稳定需要满足条件为 若计算出 或者 则平衡点均看作是不稳定的 因为稳定点才能作为牧草和羊群放牧强度的阈值所以要判断平衡点是否稳定将平衡点()代入得 ()()不满足平衡点稳定条件将平衡点()代入得 ()()当 时满足平衡点稳定条件但是却不符合实齐鲁工业大学学报 年第 期际因为 羊 群 的 数 量 不 可 能 为 所 以 将 此 平 衡 点 排 除 接 下 来 主 要 研 究 平 衡 点()()将其代入得 ()()()()经分析可在两种情况下平衡点稳定:()时第 个平衡点 因此不满足平衡条件平衡点在这种条件下是不稳定的给定符合()条件的模拟值 .通过 做出式()和()关系图像如图 所示 由图像可知随着牧草的增多羊群数量也是增加的最终趋于稳定 相较于一般模型此模型震荡较较小比较平稳但是长时间将放牧数量控制在稳定的平衡点附近也是不利于牧草生长的因为长时间的啃食踩踏会导致土壤质量下降图 牧草和羊群在阻滞模型下随时间变化趋势模型优化倘若将牲畜长时间集中在一个地方放牧牲畜长时间啃食践踏牧草会造成土壤板结化这对牧草可持续生长非常不利 因此为保护牧草再恢复不防将牧草分为成年草和幼年草对于还未长大的幼年草实施保护可以将牧区划片让牲畜去成年草草场吃草待到幼年草草场长大再将牲畜驱赶至长大的幼年草草场 建立含有幼年草增长率项的成年草微分方程:()()其中 时刻放牧成年草的数量、不能放牧幼年草的数量以及放牧羊的数量分别用()、()、()表示反映草的增长率即幼年草长为成年草的效率与上文提到的 类似 也与上文涉及的 相仿即表示羊吃草的能力 相较于()式此模型多了后两项 为草在环境竞争作用下存在的死亡率 可理解为自身阻滞项 与上文表达 含义相近即反映羊群对牧草的供养能力或者促进能力建立幼年草增长率模型:()()其中 为幼年草长为成年草率 ()()其中 反映牧草对羊群的供养能力 表示羊群之间的竞争存在的死亡率 此方程与()表达含义一样 将()、()和()方程联立得 ()()()()年第 期胡双霞等:基于互惠食饵捕食模型的草原放牧稳定性的研究不符合实 际 的 平 衡 点 不 予 考 虑 故 只 考 虑 有 意 义 平 衡 点 通 过 计 算 和 取 舍 后 得 到 平 衡 点()接下来考察此平衡点是否稳定不妨通过数值模拟来观察平衡点的稳定性模型优化后的数值模拟给式子()、()、()的参数、数值通过 软件编程来验证平衡点的稳定性 将 .代入()、()、()可得到成年草、幼年草以及羊群的增长率关系图像如图 所示图 幼年草、成年草以及羊群三者关系随时间变化关系给定幼年草、成年草以及羊群一定的初始值后可模拟出三者随时间变化的图像 由图 可知随着时间的变化羊群数量出现短期的增加它们主要以成年草为食因此导致成年草的数量减少 而幼年草不被啃食从而得到保护得以安全长大数量会急剧上升 虽然三者关系刚开始出现很大波动但是最终三者会达到稳定状态因此平衡点()稳定结论()一般模型中考虑的系统非常理想牧草和羊群的相互影响较大一方变化会导致另一方出现很大的波动因此平衡点是不稳定的()在互惠模型中考虑牧草和羊群都存在自身的阻滞并且还考虑了羊群的啃食和排泄物会促使牧草增长模型中求的平衡点是稳定的然而长时间在一个地方放牧不利于牧草生长()优化模型中将牧草分为成年草和幼年草实际上可看作两类食饵一类捕食者的模型从优化模型中得到稳定的平衡点求得牧草和羊群的数量关系最好维持在平衡点附近()通过对一般模型、互惠模型以及优化模型比较得出放牧最好采取分区放牧的结论 牧草划区放牧不但可以实现牧民利益最大化还可以实现牧草的可持续利用()根据对牧草和放牧强度的分析可采取以下举措:分类划片放牧将牧草分为幼年草和成年草羊群分为大型羊和小型羊按季节轮牧将牧区分为春夏秋冬四季参考文献:安玉锋李峻成王钦等.高山草原放牧系统控制的研究.草业学报():.张彦宇李文龙韩晓卓等.存在周期制约作用的草原放牧系统管理的最优控制模型及其应用.兰州大学学报():.齐鲁工业大学学报 年第 期 张慧玲高啟贤.天祝抓喜草原不同牦牛放牧强度对牧草生长的影响.中国牛业科学():.:.:.王兴宋乃平杨新国等.羊粪归还对荒漠草原表层土壤碳氮的影响.水土保持通报():.():.():.():.杨巧艳廖代琴颜向平.具有时滞的 食饵捕食者成年种群模型的稳定性分析.应用数学():.张倩.一类捕食者食饵互惠模型的稳定性分析.兰州文理学院学报(自然科学版)():.():.王景艳杨艳丽.微分方程的平衡点及稳定性分析.保山学院学报():.刘锐宽.一类二阶微分系统奇点稳定性的判断.焦作工学院学报(自然科学版)():.李梦然.不同载畜率下短花针茅草原 通量及相关微生物的研究.呼和浩特:内蒙古农业大学.卢雪丽.一类带阶段结构的食饵捕食者交错扩散模型的非线性不稳定性.兰州:兰州交通大学.邱丽华.一类具有常数迁移率和年龄结构的食饵捕食模型.广州:广州大学.(责任编辑:孙洪清校 对:赵立爱)