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基于非精确搜索的固体火箭发动机序列近似约束优化设计方法*杨家伟1，武泽平1，夏科2，张生全1，李佳欣1，张为华1（1.中国人民解放军国防科技大学 空天科学学院，湖南 长沙410073；2.陆军装备部驻武汉地区军事代表局驻长沙地区军代室，湖南 长沙410073）摘要：基于代理的约束优化方法在实际固体火箭发动机设计问题中得到了广泛的应用。为了提高设计性能，文中提出了一种基于非精确搜索的序列近似约束优化（ISSACO）方法，该方法应用了一个三阶段非精确采样方法。三阶段约束抽样方法采用精英档案机制来平衡采样的可行性和最优性，针对精英档案中种群可行与不可行的情况，分别制订了3种抽样准则。采样固体火箭发动机冲质比优化工程算例及数值算例进行验证，结果表明：ISSACO方法可以高效地定位全局可行最优，证明了本方法的有效性。关键词：基于代理模型的优化；固体火箭发动机；约束采样；试验设计中图分类号：V19文献标识码：A文章编号：1001-2354（2023）S2-0001-06Inaccurate search based sequential approximate constrainedoptimization method for SRM designYANG Jiawei1，WU Zeping1，XIA Ke2，ZHANG Shengquan1，LI Jiaxin1，ZHANG Weihua1（1.College of Aerospace Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha410073；2.Military Representative Office of the Army Equipment Department，Changsha 410073）Abstract：Surrogate based constrained optimization methods are widely utilized in practical solid rocket motor（SRM）designproblems.To improve the design performance，this paper proposes an inaccurate search based sequential approximate constrainedoptimization（ISSACO）method involving a three-stage constrained sampling method.The three-stage constrained sampling meth-od employs the elite archives mechanism to balance the feasibility and the optimality in optimization，and proposes three samplingstrategies based on different conditions of the elite archives.The impulse mass ratio optimization is conducted to make the verifica-tion，and the results indicate that the ISSACO method can efficiently obtain feasible optimum and proves to be a potential methodfor computationally intensive solid rocket motor design problemsKey words：surrogate-based optimization；solid rocket motor design；constrained infilling；experiment design*收稿日期：2023-07-12；修订日期：2023-10-20基金项目：国家自然科学基金资助项目（52005502，52375278）固体火箭发动机设计中大多包含约束。常规的进化算法，如粒子群1-2、遗传算法3、差分进化算法4等，在多年的研究中被证实能有效地处理此类黑/灰箱约束优化问题。然而，很大的计算消耗阻碍了进化约束优化算法在固发设计中的进一步应用。近年来，代理模型技术的发展给减轻约束优化的计算负担提供了解决思路。代理模型旨在构建高精度仿真模型的数学近似模型5-6。当给定设计范围内的任意输入参数后，近似模型可直接给出预测输出，从而避免高成本仿真模型的调用。常用的代理模型技术包括径向基函数（Radial Basis Function，RBF）7、多项式响应面（Polynomial Response Surface，PRS）8、第 40 卷 增刊 22023 年 12 月Vol.40S2Dec.2023机械设计JOURNAL OF MACHINE DESIGNDOI:10.13841/ki.jxsj.2023.s2.003机 械 设 计第40卷增刊2克里金（Kriging）9等。此类方法被称为基于代理模型的约束优化方法（Surrogate-Based Constrained Optimization，SBCO）或者序列近似约束优化方法（Sequential Approximate Constrained Optimization，SACO）。文中还介绍了序列近似优化方法一般流程，提出了非精确三阶段采样技术，通过1个工程算例以及4个数值算例进行测试验证所提ISSACO方法的有效性，并将所得结果与现在先进的SACO算法进行了对比。1常规序列近似约束优化方法基于代理模型的优化方法（Surrogate-Based Optimization，SBO）应用少量的高精度样本点构造原模型的代理模型，针对当前代理模型进行搜索，避免多次高精度仿真，迭代中持续增加高精度样本点实时更新代理模型，不断逼近真实模型，预测模型真实全局最优。基于代理模型的优化算法流程如图1所示。试验设计初始样本高精度仿真近似建模采样准则收敛判定YnewXnew图1序列近似优化方法流程示意图核心技术包括试验设计、近似建模和采样方法：（1）试验设计为代理模型建模提供初始训练样本，并指导后续优化采样过程，通过选择均匀分布在设计空间的样本点，使初始代理模型在有限样本数下得到尽可能多的真实模型信息，更好地反映真实模型变化规律。在此基础上调用原模型得到初始样本的真实输出；（2）近似建模以试验设计得到的初始样本点作为输入，高精度模型分析得到结果为对应输出，应用近似建模方法，构建原模型的代理模型，并在后续优化迭代中不断更新，以逼近真实模型；（3）序列采样构建合理采样准则，依据准则搜索代理模型确定下一个采样点，调用高精度分析模型计算输出，更新近似模型，实现真实模型的逼近。通常要综合考虑代理模型特征以及已有样本点分布构建采样准则。2非精确约束采样方法考虑到优化前期代理模型精度不高，过度搜索反而会浪费计算资源，且导致收敛到局部最优。因此，文中提出了三阶段非精确约束采样方法。通过将精英档案引入搜索过程，作为采样性能的参考。精英档案中保存一系列在优化搜索中发现的具有相对优异性能的样本。在优化过程中，精英档案通常有3种状态：所有精英档案都不可行、部分精英档案不可行及所有精英档案可行。精英档案内的样本更新遵循可行性规则3：在两个不可行的方案中，优先选择违反约束程度较小的方案；如果一个方案不可行，另一个方案可行，则优先选择可行方案；在两个可行的方案中，优先选择目标函数值较好的方案。三阶段采样法即根据精英档案的不同情况而制定。当精英档案都是不可行的，即问题至少存在一个强约束，采样的目标是不断逼近强约束的边界，此时选择比精英档案中最小约束违反程度更小的样本。当精英档案的一部分不可行时，算法采样目标转向具有相对较少的约束违反和更好目标值的样本，在提升种群性能的同时可以对约束边界周围的高质量不可行解采样。当所有精英档案都可行时，选择比精英档案中最优解具有更优目标函数性能的样本点。找到满足填充准则的样本，搜索就会停止，从而避免了对非精确模型的穷尽搜索，帮助算法跳出局部最优。三阶段约束采样方法的示意图如图2所示。采样详细步骤如下：精英档案全不可行部分可行全部可行逼近可行域边界探索边界并提高种群性能开发模型定位全局最优Gnor(X)Gminnor(Xelite)Find f(X)fmin(Xelite)s.t.Gnor(X)Gminnor(Xinfeasibleelite)Find f(X)fmin(Xelite)s.t.Gnor(X)=0图2三阶段非精确约束采样方法示意图-22023年12月（1）当精英档案都不可行时，下一个采样点目的在逼近强约束的边界并定位可行域，采样准则如式所示：Gnor(X)Gminnor(Xelite)（1）式中：Gnor(X)当前样本X的归一化约束冲突值；Xelite精英档案；Gminnor(Xelite)精英档案中归一化约束冲突的最小值。（2）当部分精英档案不可行时，采样目标转为提高目标函数性能并且持续探索可行域边界。准则如式：Find f(X)fmin(Xelite)s.t.Gnor(X)Gminnor(Xinfeasibleelite)（2）式中：f(X)当前样本X的目标函数性能；fmin(Xelite)精英档案中的最优目标函数值；Gminnor(Xinfeasibleelite)精英档案中不可行样本的归一化约束冲突最小值。（3）当精英档案都可行时，采样致力于定位真实最优，且采样准则设置为式Find f(X)fmin(Xelite)s.t.Gnor(X)=0（3）非精确序列近似约束优化方法的流程图如图3所示。具体步骤如下：STEP1：通过优化拉丁超立方方法生成N(N 2d)个样本点，初始精英档案从试验设计的样本中选择，且精英档案的数量满足式（4）；Ne=min 50,3*d,N（4）STEP2据试验设计和仿真结果构建目标函数和约束冲突的初始RBF模型；STEP3采样三阶段约束采样方法选取下一次仿真所需的高精度样本点；STEP4如果采样的样本由于精英档案最劣解，则更新精英档案，否则精英档案不变；STEP5收敛：如果最优解10次以内不更新，则判断算法收敛，否则返回STEP3进行下一次采样。3算例测试为了说明文中所提ISSACO方法的可行性，采用固体火箭发动机冲质比优化的工程算例进行算例测试。冲量质量比是衡量发动机性能的重要指标之一。随着冲质比的增大，发动机的速度相应提高，射程也相应增大。然而，冲质比的增大也会导致发动机结构质量的增大和较大的过载，给发动机性能带来负面影响。因此，冲质比的优化应同时考虑发动机的性能和质量。优化问题定义为：max()x(xl xi xu,i=1,2,k)s.t.mmin m()x mmax,tmin t()x tmaxImin I(x)Imax,Lmin L(x)Lmax（5）式中：()x针对设计变量参数x计算出的冲质比，通过Wu等10在2017年提出的固体发动机性能匹配框架来计算；m()x发动机加质量；t(x)工作时间；I(x)发动机总冲量；L(x)发动机长度。采用翼柱形装药，其构型如图4所示。详细参数和约束设置如表1所示。fwR7L4dfDpdpL12R7R6L1dbbw开始采用OLHD方法进行实验设计对试验设计样本进行高精度仿真获得目标和约束精英档案选取更新精英档案代理模型建模通过三阶段约束采样方法选取下一个采样点收敛结束优化过程YN更新训练样本图3ISSACO方法流程图初始样本数量设置为30。目标和约束的收敛历史如图 5所示。图中，三角代表不可行样本，方块代表可行样本，圆点为优化过程中寻找到的最优可行解。由于强约束的存在，初始试验设计样本没有找到可行解。随着优化的进行，算法成功定位了可行域并且在156次仿真后收敛。算法停止后最优样本如表2所示。结果表明，最大冲质比为 2 213.231 7 Ns/kg。发动机质量、工作时间、总冲量和发动机长度分别为 7 697.364 5 kg，50.029 s，17 026.952 kNs和7 199.98 mm，且都在可行域内。冲质比优化算例证明了算法的有效性和高效性。图4前后翼柱形装药构型图杨家伟，等：基于非精确搜索的固体火箭发动机序列近似约束优化设计方法-3机 械 设 计第40卷增刊2为了进一步验证所提基于非精确搜索的ISSACO算法（标记为A），本节采用4个数值算例进行测试，并与其他先进的约束优化算法HSBCO11（标记为B），COBRA12（标记为C），RCGO13（标记为D），Extended ConstrLMSRBF（标记为E）简写为ECLMSRBF）11进行对比。所选择的4个约束优化算例包含固体火箭发动机设计中常见形式的非线性目标函数/约束（G2，G3，）、多约束（G1，G2，）、等式约束（G4）的问题，这些约束优化问题的基础信息见表3，问题和约束的详细信息见文献 14。表1冲质比优化算例的参数设置设计变量其他参数约束设置参数前翼长L4/mm前翼外切圆直径df/mm燃烧室最大压强Pm/MPa装药长度L1/mm翼宽bw，fw/mm后翼长L12/mm后翼外切圆长度db/mm翼倾角/（）翼倾角/（）翼倾角/（）翼倾角/（）燃速r/（mm/s）膨胀比装药外径Dp/mm装药内径dp/mm前后翼个数发动机质量/kg工作时间/s发动机总冲量/（kN s）发动机长度/s取值(范围)502 00040080010205 0007 00030801002 00050080045801050105045805105301 00030095 000,7 70050,6016 000,20 0007 000,7 200（a）发动机质量收敛图103仿真次数/次9876100150发动机质量/kg050不可行样本可行样本仿真次数/次807060504030100150工作时间/s050不可行样本可行样本（b）工作时间收敛图（e）冲质比收敛图图5目标和约束的收敛历史（case2）（d）发动机长度收敛图（c）总冲量收敛图仿真次数/次2.01.81.61.41.21.0100150发动机总冲量/（kN s）050不可行样本可行样本104103仿真次数/次9876100150发动机长度/mm050不可行样本可行样本仿真次数/次2 3002 2002 1002 0001 9001 800100150冲质比/（N s/kg）050不可行样本可行样本最优样本-42023年12月为了保证对比的公平，数值算例的设置与Su等11的研究相同。初始样本数量都设为N=11(变量维度+1)，最大迭代次数都设为107，且所有算例测试20次以消除随机性的影响。算例的测试结果如表4所示，表中“最优”“中等”和“最差”分别代表20次测试中获得的最优、中等和最差解。“均值”和“标准差”为20次的均值和标准差。以测试均值来评估所有算法的性能，最优的算法在表中加粗表示。COBRA-EH算法代表COBRA算法结合 Bagheri 等15（标记为 F）提出的约束处理技术（EH）。“”表示文献中没有提供相应问题的测试结果。如表4所示，所提出的ISSACO算法在所有算法中获得了最好的结果。由于最多迭代次数被限制为107次，大多数算法无法在 20次测试中稳定地定位全局最优。与 COBRA，RCGO和ECLMSRBF 相比，ISSACO 和 HSBCO 获得了相对更优的结果。对于目标函数和约束形式较简单的问题，如G2，所有算法都可以定位全局最优或近似全局最优。然而，根据表4的测试结果，所提方法展现出更好的收敛性能。对于高维算例G1，ISSACO也获得了令人满意的结果。在等式约束问题G4中，由于进行了松弛处理，3种算法都不能定位真正的全局最优0.749 9，HSBCO算法在平均值的比较中表现出最好的性能，而文中所提及算法在测试中表现出了相近的结果。至于算法的稳定性方面，所有算法在测试中都表现出了良好的性能，ISSACO方法根据G1，G2，G3的测试结果获得了最好的“标准差”结果。在难以近似的高度非线性问题G2中，与其他算法相比，ISSACO方法也取得了相对更好的结果。数值算例结果表明，所有的算法都可以很好地解决简单目标约束问题 G2。而在高度非线性问题 G3及高维问题 G1上，COBRA，RCGO 和 ECLMSRBF 算法并没有得到稳定的结果。HSBCO算法取得了相对上述3种算法更好的结果，但是相比之下，所提的ISSACO方法具有更好的收敛性和稳定性，并且具有进一步工程应用的潜力。4结论文中提出了一种求解计算密集型固体火箭发动机设计问题的ISSACO方法，该方法应用了非精确搜索的三阶段约束采样方法。通过引入精英档案，根据精英档案中可行解的数量提出三阶段约束采样方法，以平衡采样的可行性和最优性。采用固体火箭发动机冲质比优化的工程实例及4个不同的数值算例进行算法验证。结果表明：ISSACO 算法经过 100次左右的迭代，可有效稳定地获得可行的最优解，证明了本算法的有效性。参考文献1Taheri A，RahimiZadeh K，Venkata Rao R.An efficient balanced表2冲质比优化的最优解L4/mm50.000 2L1/mm5 941.822 1db/mm432.679 0/（）45.999 9/（）12.799 4发动机总冲量/（kN s）17 026.952df/mm799.996 3bw，fw/mm30.005 6/（）56.000 9/（）45.001 5发动机质量/kg7 697.364 5发动机长度/mm7 199.98Pm/MPa20.000 0L12/mm100.000 3/（）22.406 4r/（mm/s）5.619 6工作时间/s50.029冲质比/（N s/kg）2 213.231 7表3约束优化问题基础信息G1G2G3G4约束个数9621变量维度13522设计范围0 xi 1(i=1,.,9,13)0 xi 100(i=10,11,12)78 x1 10227 x2 45(i=3,4,5)12 x1 1000 x2 100-1 x1 1-1 x2 1全局最优-15-30 665.386-6 961.8130.749G1G2G3G4算法ABCDEABCDEABCDEABFDE最优-15-14.999-14.985-15-14.998-30 665.54-30 665.73-30 628.30-30 665.53-30 665.49-6 961.814-6 962.309-6 920.984-7 118.608-6 958.5520.746 870.749 690.750 01中等-14.999-14.988-13.812-15-14.994-30 665.53-30 664.34-30 618.58-30 662.14-30 665.42-6 961.813-6 961.873-6 782.986532.341-6 946.60.751 440.750 100.751 44最差-14.991-13.808-11.469-13.828-12.035-30 665.29-30 649.59-30 596.41-30 582.49-30 664.50-6 961.810-6 557.036-6 782.8269 953.045-6 923.1660.753 910.751 900.861 12均值-14.998-14.817-13.578-14.882-14.365-30 665.50-30 662.44-30 617.97-30 650.58-30 665.36-6 961.812-6 916.418-6 806.335738.33-6 945.9420.750 970.750 240.762 59标准差3.27910-34.13410-11.0483.60710-19.52410-16.60710-24.8098.81224.01210-22.10710-19.80910-41.1141024.1271013.1781038.0422.29510-34.40010-42.69510-2表4ISSACO方法和其他约束优化算法的测试结果杨家伟，等：基于非精确搜索的固体火箭发动机序列近似约束优化设计方法-5机 械 设 计第40卷增刊2teaching-learning-based optimization algorithm with individual re-starting strategy for solving global optimization problems J.Informa-tion Sciences，2021，576：65-104.2 Zhang X，Lin Q.Three-learning strategy particle swarm algorithm forglobal optimization problemsJ.Information Sciences，2022，593：289-313.3 Deb K.An efficient constraint handling method for genetic algorithmsJ.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2000，186（2）：311-338.4 Wu G，Shen X，Li H，et al.Ensemble of differential evolution variantsJ.Information Sciences，2018，423：172-186.5 Volkova E，Iooss B，Van Dorpe F.Global sensitivity analysis for a nu-merical model of radionuclide migration from the RRC Kurchatov In-stitute radwaste disposal sitec J.Stochastic Environmental Researchand Risk 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