重庆大学现代控制工程线性系统的可控性和可观性.doc

第四章 线性系统的可控性和可观性

§4-1 问题的提出
经典控制理论中用传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的.状态方程描述输入引起状态的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出的变化.可控性和可观性正是定性地分别描述输入对状态的控制能力，输出对状态的反映能力.它们分别回答：聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
“输入能否控制状态的变化”——可控性
“状态的变化能否由输出反映出来”——可观性
可控性和可观性是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出来的.可控性和可观性的概念在现代控制理论中无论是理论上还是实践上都是非常重要的.例如：在最优控制问题中，其任务是寻找输入，使状态达到预期的轨线.就定常系统而言，如果系统的状态不受控于输入，当然就无法实现最优控制.另外，为了改善系统的品质，在工程上常用状态变量作为反馈信息.可是状态的值通常是难以测取的，往往需要从测量到的中估计出状态；如果输出不能完全反映系统的状态，那么就无法实现对状态的估计.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
状态空间表达式是对系统的一种完全的描述.判别系统的可控性和可观性的主要依据就是状态空间表达式.

【例如】
（1），
分析：上述动态方程写成方程组形式：
从状态方程来看，输入u不能控制状态变量，所以状态变量是不可控的；从输出方程看，输出y不能反映状态变量，所以状态变量是不能观测的.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
即状态变量不可控、可观测；状态变量可控、不可观测.
2
2
u

（2），
分析：上述动态方程写成方程组形式：
由于状态变量、都受控于输入u，所以系统是可控的；输出y能反映状态变量，又能反映状态变量的变化，所以系统是可观测的.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
即状态变量可控、可观测；状态变量可控、可观测.
2
u

（3），
分析：上述动态方程写成方程组形式：
从状态方程看，输入u能对状态变量、施加影响，似乎该系统的所有状态变量都是可控的；从输出方程看，输出y能反映状态变量，的变化，似乎系统是可观测的.实际上，这个系统的两个状态变量既不是完全可控的，也不是完全可观测的.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。
要解释和说明这一情况，就必须首先弄清楚可控性和可观性的严格定义及判别方法.

§4-2 线性定常连续系统的可控性
一、线性定常连续系统状态可控性的定义

定义4.1（状态可控性定义）：
对于线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，使得系统从某一初始状态转移到指定的任一终端状态，则称此状态是可控的.若系统的所有状态都是可控的，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。

关于可控性定义的说明：
（1）上述定义可以在二阶系统的相平面上来说明.假如相平面中的P点能在输入的作用下转移到任一指定状态，那么相平面上的P点是可控状态.假如可控状态“充满”整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入，使得在有限时间间隔内，将此状态转移到状态空间中的任一指定状态，则该系统称为状态完全可控.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。
P
P3
P1
P2
Pn
P4

0
x1
x2
可控状态的图形说明

（2）在可控性定义中，把系统的初始状态取为状态空间中的任意有限点，而终端状态也规定为状态空间中的任意点，这种定义方式不便于写成解析形式.为了便于数学处理，而又不失一般性，我们把上面的可控性定义分两种情况叙述：鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。
①把系统的初始状态规定为状态空间中的任意非零点，而终端目标规定为状态空间中的原点.于是原可控性定义可表述为：籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。
对于给定的线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，将系统由任意非零初始状态转移到零状态，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点，即，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下：
对于给定的线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，将系统由零初始状态转移到任一指定的非零终端状态，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。
对于线性定常系统，可控性和可达性是等价的；

在以后对可控性的讨论中，均规定目标状态为状态空间中的原点，并且我们所关心的，只是是否存在某个分段连续的输入，能否把任意初始状态转移到零状态，并不要求算出具体的输入和状态轨线.
铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。

二、可控性的判别准则

定理4.1：（可控性秩判据）
对于n阶线性定常系统，其系统状态完全可控的充分必要条件是：由A、B构成的可控性判别矩阵

满秩，即

其中，n为该系统的维数.

【例4.2.1】判别下列状态方程的可控性.
（1） （2）
（3） （4）
解：（1），，∴系统不可控.
（2），，∴系统不可控.
（3），，∴系统可控.
（4），，
∴系统不可控.
定理4.2：
设线性定常系统，具有互不相同的实特征值，则其状态完全可控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的对角标准型擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。

中，阵不存在全零行.
非奇异线性变换的不变特性：
（1） 线性变换后，可控性不变；
（2） 线性变换后，可观性不变.

【例4.2.2】判别下列系统的状态可控性.
（1） （2）
（3） （4）
解：
（1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的.
（2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的.
（3）系统可控.
（4）系统不可控.

【例4.2.3】判别下列系统的状态可控性.

解：在应用定理4.2这个判别准则时，应注意到“特征值互不相同”这个条件，如果特征值不是互不相同的，即对角阵中含有相同元素时，上述判据不适用.应根据定理4.1的秩判据来判断.对于本题：贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。
，，即系统是不可控的.
定理4.3：
若线性定常系统，具有重实特征值，且每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则系统状态完全可控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的约当标准型坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。

中，每个约当小块（）最后一行所对应的阵中的各行元素不全为零.

【例4.2.4】判别下列系统的状态可控性.
（1） （2）
（3）
（4）
（5） （6）
解：（1）系统是可控的.
（2）系统是不可控的.
（3）系统是可控的.
（4）系统是不可控的.
（5）系统是不可控的.
（6）系统不可控（注意定理4 .3中“且每一个重特征值只对应一个独立特征向量”这一关键点）.当不满足定理4.3中的条件时，应使用秩判据.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。
，，即系统是不可控的.
关于定理4 .3的小结：
（1）输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行不存在全零行.
（2）阵中与互异特征值所对应的行不存在全零行.
（3）当A阵的相同特征值分布在阵的两个或更多的约当块时，如，以上判据不适用，可根据定理4.1秩判据来判别.
買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。

§4-3 线性定常离散系统的可控性
定义4.2（离散系统的可控性定义）：
对于n阶线性定常离散系统，若存在控制作用序列，在有限时间间隔内，能使系统从任意非零初始状态经有限步转移到零状态，即，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。

【例4.3.1】设离散系统的状态方程为

试分析能否找到控制作用，将初始状态转移到零状态.
解：利用递推法：

为检验该系统能否在第一步由转移到零状态，对上式令，若能够解出，则表示在第一步上就可以把给定初始状态转移到零状态，且控制作用为.为此，令，则有，即驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。

表明对该系统若取，能将在第一步上转移到零状态.

【例4.3.2】设离散系统的状态方程为

试分析能否找到控制作用，将初始状态转移到零状态.
解：利用递推，有

显然，若令，该方程解不出，这说明对于该系统不能在第一步由初始状态转移到零状态，须再递推一步.

若令，该线性方程解对、无解，说明该系统不能在第二步由初始状态转移到零状态，还须递推一步.

若令，上式便是一个含有三个未知量的齐次方程

解此齐次方程，有

就是说，该系统在的控制作用下，能在第三步上由初始状态转移到零状态.

定理4.4：（线性定常离散系统可控性秩判据）
线性定常离散系统，其状态完全可控的充分必要条件是：由G、H构成的可控性判别矩阵

满秩，即

【例4.3.3】设离散系统的状态方程为

试判别其可控性.
解：

所以离散系统是不可控的.

【例4.3.4】设离散系统的状态方程为

试判别其可控性.
解：

所以离散系统是可控的.

【例4.3.5】设离散系统的状态方程为

试判别其可控性；若初始状态，确定使的控制序列；研究使的可能性.
解：
，所以离散系统是状态完全可控的.

令，即

解此齐次方程，有

若令，即解如下方程组：

此方程组无解.也就是说不能在第二个采样周期内使给定状态转移到原点.

§4-4 可控标准型及输出可控性

一、可控标准型问题
1、可控标准型
我们称如下SISO系统或MIMO系统的状态方程为可控标准型.

原因是与此状态方程相对应的可控性判别矩阵

，所以系统是可控的.
%Example for MATLAB
A=sym('[0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1;-a0,-a1,-a2,-a3]');猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。
b=sym('[0;0;0;1]');
Qc=simplify([b,A*b,A^2*b,A^3*b])

运行结果：
[0, 0, 0, 1]
[0, 0, 1, -a3]
[0, 1, -a3, -a2+a3^2]
[1, -a3, -a2+a3^2, -a1+2*a3*a2-a3^3]

2、如何将可控系统的状态方程化为可控标准型
一个可控系统，当A，b不具有可控标准型时，可以选择适当的变换化为可控标准型.设系统状态方程为：

进行非奇异变换：，变换为：

其中：

，

可控标准型变换阵P的确定方法：
（1）计算可控性判别矩阵：
（2）计算，并设的一般形式为：

（3）取的最后一行，构成

（4）按下列方式构造阵

（5），便是化可控标准型的非奇异变换阵.

锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。

【例4.4.1】已知系统的状态方程为

试判别状态可控性，如可控将状态方程化为可控标准型.
解：（1）首先判别可控性
，，故系统是可控的.
（2）化可控标准型
① ② ③
④ ⑤

即有可控标准型

%Example 4.4.1 for MATLAB program
A=[1,0;0,2];
b=[1;1];
Qc=[b,A*b]
x=rank(Qc);
if x==2
'该系统状态完全可控'
invQc=inv(Qc);
invp1=invQc(length(Qc),:);
invp=[invp1;invp1*A];
p=inv(invp)
AA=invp*A*p
bb=invp*b
else
'该系统状态不可控'
end

二、输出可控性

定义4.3（输出可控性定义）：
对于线性定常系统，如果存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，使得系统从任意初始输出转移到指定的任意最终输出，则称该系统是输出完全可控的，简称系统输出可控.構氽頑黉碩饨荠龈话骛。

定理4.5：（系统输出可控性判据）
设线性定常连续系统，，其输出可控的充分必要条件是：由A、B、C、D构成的输出可控性判别矩阵

的秩等于输出变量的维数q，即

说明：
一般而言，系统输出可控性和状态可控性之间没有什么必然的联系.即输出可控不一定状态可控，状态可控不一定输出可控.
輒峄陽檉簖疖網儂號泶。

【例4.4.2】判断下列系统的状态、输出可控性.

解：（1）状态可控性判别矩阵
， ，故状态不可控.
（2）输出可控性判别矩阵

，所以系统输出可控.

三、连续状态方程离散化后的可控性

1、原连续系统状态可控，离散化后，如果采样周期选择不当，便不能保持原连续系统的可控性.
2、当连续系统不可控时，不管采样周期T如何选择，离散化后的系统一定是不可控的.

§4-5 线性定常连续系统的可观测性

一、可观测性的定义
定义4.4（可观测性定义）：
设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为，，如果对于任一给定的输入，存在一有限观测时间，使得在期间测量到的，能唯一地确定系统的初始状态，则称此状态是可观测的.若系统的每一个状态都是可观测的，则称系统是状态完全可观测的，简称系统是可观测的.尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。

说明：
在定义中之所以把可观测性规定为对初始状态的确定，这是因为一旦确定了初始状态，便可根据给定输入，利用状态方程的解

就可以求出各个瞬间状态.
识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。

二、线性定常连续系统可观测性的判别准则
定理4.6：（可观测性判别准则Ⅰ）
线性定常连续系统，，其状态完全可观测的充分必要条件是：由A、C构成的可观测性判别矩阵

满秩，即

【例4.5.1】判别可观测性
（1），
（2），

（3），
解：（1），，故系统是不可观测的.
（2），，故系统是可观测的.
（3），，故系统是不可观测的.

定理4.7：（可观测性判别准则Ⅱ）
设线性定常连续系统，，A阵具有互不相同的特征值，则其状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。
，
中的矩阵中不含元素全为零的列.

【例4.5.2】判别可观测性
（1），
解：系统可观测.
（2），
解：系统不可观测.
特别说明：
当为对角阵但含有相同元素时，上述判据不适用，可根据可观测性判别矩阵的秩来判别.

定理4.8：（可观测性判别准则 Ⅲ）
设线性定常连续系统，，A阵具有重特征值，且每一个特征值只对应一个独立特征向量，则系统状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的约当标准型恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。
，
中的矩阵中与每个约当小块首列相对应的那些列的元素不全为零.

【例4.5.3】判别可观测性
（1）， 解：（1）系统状态可观测.
（2）， 解：（2）系统状态不可观测.
（3）， 解：（3）可观测.
（4）， 解：（4）可观测.

三、可观测标准型
一个可观测系统，当A、C阵不具有可观测标准型时，可选择适当的变换化为可观测标准型.
动态方程中，A、C阵具有如下形式，称为可观测标准型.
，

§4-6 线性定常离散系统的可观测性
一、离散系统可观测性定义
定义4.5（线性定常离散系统可观测性定义）：
对于线性定常离散系统
，
若能够根据输入向量及在有限采样周期内测量到的输出向量序列，可以唯一地确定出系统的任意初始状态，则称系统是状态完全可观测的，简称系统是可观测的.鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。
二、离散系统可观测性判据
定理4.9：（离散系统可观测性判据）
线性定常离散系统
，
其状态完全可观测的充分必要条件是：可观测性判别矩阵

满秩，即

【例4.6.1】设离散系统G、C为
，
试判别其可观测性.
解：可观测性判别矩阵为

，故系统是可观测的.

【例4.6.2】已知线性定常离散系统的动态方程为

试判断系统的可观测性，并讨论可观测性的物理解释.
解：可观测性判别矩阵
，，故系统是可观测的.
由输出方程，有，即在第k步便可由输出确定状态变量.由于

故可在第(k+1)步确定.
由于

故可在第(k+2)步确定.

【例4.6.3】已知线性定常离散系统的动态方程为
，
试判断系统的可观测性，并讨论可观测性的物理解释.
解：可观测性判别矩阵
，，故系统是不可观测的.
由输出方程及动态方程，有

可以看出，三步的输出测量值中，始终不含，故是不可观测的状态变量.只要有一个状态变量是不可观测的，系统就是不可观测的.硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。

§4-7 采样周期对离散化系统可控性和可观测性的影响
一个线性定常连续系统在其离散化后，可控性和可观测性是否发生改变，真是在设计计算机控制系统时需要考虑的一个基本问题.阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。

【例4.7.1】已知线性定常连续系统的动态方程为
，
分析：，，所以系统可控.
，，所以系统可观测.
取采样周期为T，将连续系统离散化：

于是离散化后的可控、可观测性判别矩阵分别为：

取两个判别矩阵的行列式：

若，
则，.
故欲使离散系统是可控和可观测的，采样周期T应满足：
，

结 论：
（1）如果线性定常连续系统是不可控（不可观测）的，则其离散化后的系统也必是不可控（不可观测）的.
（2）如果线性定常连续系统是可控（可观测）的，则其离散化后的系统不一定是可控（可观测）的.
（3）离散化后的系统能否保持可控性（可观测性），将取决于采样周期T的选取.

§4-8 线性系统可控性与可观测性的对偶关系
线性系统的可控性与可观测性不是两个相互独立的概念，它们之间存在着一种内在的联系.

定义4.6（线性定常系统的对偶关系）
对于线性定常系统和，其状态空间表达式为：
：
：
若满足下列关系：，，，则称和是互为对偶的.

定理4.10（对偶原理）：
设和是互为对偶的两个系统，则的可控性等价于的可观测性.或者说，若是状态完全可控的（完全可观测的），则是状态完全可观测的（完全可控的）.氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。

利用对偶原理，可以把可观测的SISO系统化为可观测标准型的问题转化为将其对偶系统化为可控标准型的问题.若一个系统可观测，但A、C不是可观测标准型，其对偶系统一定可控，但不具有可控标准型.可利用已知的化为可控标准型的原理和步骤，先将化为可控标准型，再根据对偶原理，便可获得的可观测标准型.具体步骤如下：釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。
（1）写出对偶系统的可控性判别矩阵

（2）求，设一般形式为

（3）取的最后一行，构成，并构造.

（4）求的逆阵.阵便是把化为可控标准型的变换阵.

（5）对再利用对偶原理，便可将化为可观测标准型.

【例4.8.1】已知线性定常系统的动态方程为
，
试判别可观测性.如可观测，写出可观测标准型.
解：
（1），，故系统状态完全可观测.
（2）求可观测标准型

①列写其对偶系统的可控性判别矩阵
，，

②求

③构造

④求

⑤可观测标准型为

其中：，，
即
，

§4-9 可控性、可观测性与传递函数矩阵的关系
一、传递函数矩阵
定义4.7（传递函数矩阵的定义）：
设系统动态方程为，，在初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换式之间的传递关系，称为传递函数矩阵，简称传递矩阵.怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。

∴
【例4.9.1】已知线性系统动态方程中各矩阵如下，试求传递函数矩阵.
，，，
解：

MIMO系统结构图
二、MIMO系统的开环传递函数矩阵和闭环传递函数矩阵
其中：U、E、Y、Z分别为输入向量、偏差向量、输出向量和反馈向量.

1、开环传递函数矩阵：输入向量至反馈向量之间的传递函数矩阵.

2、闭环传递函数矩阵：输入向量至输出向量之间的传递函数矩阵.

3、偏差传递函数矩阵：输入向量至偏差向量之间的传递函数矩阵.

三、传递函数矩阵的实现问题

定义4.8（传递矩阵的实现）
给定一传递函数矩阵，若有一状态空间表达式

使成立，则称此状态空间表达式为传递函数矩阵的一个实现.
说 明：
（1）并不是任意一个传递函数矩阵都可以找到其实现，通常它必须满足物理可实现条件。即：
① 传递函数矩阵中的每一个元（，）的分子分母多项式系数均为实常数。
② 传递函数矩阵中的每一个元均为s的有理真分式函数。
（2）对应某一传递函数矩阵的实现是不唯一的。
① 由于传递函数矩阵只能反映系统中可控且可观测的子系统的动力学行为。因而，对于某一传递函数矩阵有任意维数的状态空间表达式与之对应。
② 由于状态变量选择的非唯一性，选择不同的状态变量时，其状态空间表达式也随之不同。
谚辞調担鈧谄动禪泻類。

1、SISO系统的可控标准型实现和可观测标准型实现

★可控标准型实现：
，，
★可观测标准型实现：
，，
并且有

【例4.9.2】已知线性系统的传递函数为

试写出系统可控标准型实现和可观测标准型实现.
解：可控标准型实现
，
可观测标准型实现
，

2、MIMO系统的可控标准型实现和可观测标准型实现
设MIMO系统的传递函数矩阵为维，并有如下形式：

式中：均为维实数矩阵，分母多项式为该传递函数矩阵的特征多项式.（m —输出变量的维数；r —输入变量的维数）嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。
★可控标准型实现
，
，
式中：和分别表示阶零矩阵和单位矩阵，n为分母多项式的阶数.
★可观测标准型实现
，，
式中：和分别表示阶零矩阵和单位矩阵.

注意：MIMO系统的可观测标准型并不是可控标准型的简单的转置.

【例4.9.3】试求的可控标准型实现和可观测标准型实现.
解：首先将化成严格有理真分式

比较有

然后将写成标准格式：

与公式对照：
，，
，，
所以有如下MIMO系统可控标准型实现：

， ，
同理MIMO可观测标准型实现为：

，，

3、最小实现
定义4.9（最小实现定义）：
传递函数矩阵的一个实现（没有相同的零、极点或相同零、极点已经对消）

称为最小实现.如果中不存在其它实现

使的维数小于的维数.

定理4.11：
传递函数矩阵的一个实现

说 明：
设传递函数矩阵为，在求其最小实现时，先初选一种实现（可控标准型实现或可观测标准型实现）.为输入变量的维数，为输出变量的维数.
初选规则是：
（1）时，先初选可观测标准型实现.
（2）时，先初选可控标准型实现.
为最小实现的充分必要条件是既是可控的又是可观测的.熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。

【例4.9.4】试求如下传递函数矩阵的最小实现.

解：（1）

即
，，
，，
由，，，，故先选可观测标准型.

，
（2）检验可观测标准型实现是否可控.

，故可控可观测，为最小实现.

四、可控性、可观测性与传递函数矩阵的关系

定理4.12 ：
SISO系统可控且可观测的充分必要条件是：由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数不可约）.鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。
SISO系统可控的充分必要条件是：不存在零极点对消.
SISO系统可观测的充分必要条件是：不存在零极点对消.
【例4.9.5】试分析下列系统的可控性、可观测性与传递函数的关系.
（1），
（2），
（3），
解：三个系统的传递函数均为

显然存在零极点对消.
（1）为可控标准型，故此系统可控不可观测.
（2）为可观测标准型，故此系统可观测不可控.
（3）系统不可控、不可观测.

-
_
u
y
x1
x2
【例4.9.6】设二阶系统如下图.试用状态空间及传递函数描述判别系统的可控性和可观测性，并说明传递函数描述的不完全性.纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。

解：由结构图有

整理后，有：
，

显然，都出现零极点对消，故系统不可控、不可观测.

分析：系统的特征多项式为，二阶系统的特征多项式应是二次多项式，但对消的结果是使二阶系统降为一阶.

原系统是不稳定的，含有一个右特征值.但用对消后的传递函数描述系统时，会误认为系统是稳定的.因此说传递函数描述是不完全的.颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷。

定理4.13 ：
多输入系统可控的充要条件是：的行线性无关.
多输出系统可观测的充要条件是：的列线性无关.

【例4.9.7】试用传递函数矩阵判别下列MIMO系统的可控性、可观测性.
，
，，
解：
（1）判别可控性

令
解此方程组，有，故三行线性无关，系统可控.
（2）判别可观测性

令
解此方程组，有，故三列线性无关，系统可观测.

§4-10 线性定常系统的规范分解
系统中只要有一个状态变量不可控便称系统不可控，那么不可控系统便含有可控和不可控两种状态变量；只要有一个状态变量不可观测便称系统不可观测，那么不可观测系统便含有可观测和不可观测两种状态变量.从可控性、可观测性角度出发，状态变量可分解成可控可观测状态变量、可控不可观测状态变量、不可控可观测状态变量、不可控不可观测状态变量四类.由相应状态变量作坐标轴构成的子空间也分成四类，并把系统也相应分成四类子系统，称为系统的规范分解.濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻。

一、系统按可控性的结构分解
设不可控线性定常系统为，，其可控性判别矩阵的秩为（），即，则存在非奇异变换

将状态空间表达式变换为：，
其中：

非奇异变换阵

中的个列向量可按如下方法构造：
前个列向量是可控性判别矩阵中的个线性无关的列；另外个列向量在确保为非奇异的条件下任意选择.
将变换后的动态方程展开，有

即
可控子系统动态方程为：

不可控子系统动态方程为：
可控部分
不可控部分
按可控性进行结构分解示意图

【例4.10.1】设线性定常系统
，
判别可控性.若系统不可控，将系统按可控性进行规范分解.
解：
（1）判别可控性
，，故系统不完全可控.
（2）构造按可控性进行规范分解的非奇异变换阵.

，，，故而
变换后系统的动态方程为：
，
式中：

可控子系统动态方程：
，
不可控子系统动态方程：
，
为了说明在构造变换阵时，列是任意选取的（当然必须保证为非奇异），现取中的，即
， ，
式中：

即有
，

二、系统按可观测性的结构分解
设不可观测线性定常系统为，，其可观测性判别矩阵的秩为（），即，则存在非奇异变换

将状态空间表达式变换为：，
其中：
非奇异线性变换阵可这样构造：
中的前个向量为可观测性判别矩阵中的个线性无关的行.另外个行向量在确保是非奇异的条件下完全是任意选取的.銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼。

可见，经上述变换后系统的分解为可观测的维子系统和不可观测的维子系统.
可观测子系统：，
不可观测子系统：，

按可观测性进行结构分解示意图
可观测部分
不可观测部分

【例4.10.2】设线性定常系统
，
判别可观测性.若系统不可观测，将系统按可观测性进行规范分解.
解：
（1）判别可观测性
，，故系统不可观测.
（2）构造非奇异变换阵.取 ， ，
在保证非奇异的条件下，任取
∴，
于是，
即
可观测子系统为：，
不可观测子系统为：

三、按可控性和可观测性分解
若线性定常系统，，其状态不完全可控、不完全可观测，则存在非奇异变换

将原状态空间表达式变换为：，
其中：
，
，
即

可见，只要确定了变换矩阵，只需经过一次变换便可对系统同时按可控性和可观测性进行结构分解.但的构造涉及较多线性空间的概念，比较麻烦，可用如下步骤分解：挤貼綬电麥结鈺贖哓类。
第一步：将系统按可控性分解.
第二步：把可控子系统按可观测性分解.
第三步：把不可控子系统按可观测性分解.
第四步：综合上述三次变换，导出系统同时按可控性和可观测性进行结构分解的表达式.

课堂练习：p.94 5-1，5-2 作业：5-4（可以不交）
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