基于假设模态加权的全局模态提取方法及其应用.pdf

its引用格力与2023年8 月实第45卷第4期践学基于假设模态加权的全局模态提取方法及其应用1）曹登庆2)张笑云王逸龙（哈尔滨工业大学航天学院，哈尔滨150 0 0 1)摘要假设模态法在单一梁、杆、索、板等柔性结构动力学建模中有广泛应用，但在处理组合结构振动问题时，常常因无法反映各部件之间的耦合作用使其应用受限。通过假设模态建立组合结构的近似动力学模型，利用近似模型求得系统的固有频率和相应的特征向量，据此可以有效地获得系统的全局模态。本文以跨中带有多个弹性支撑的简支梁为例，通过假设模态加权来提取系统的全局模态，从而建立系统的动力学模型。对系统进行固有特性分析的结果表明，通过假设模态加权可以方便地获得系统的全局模态；对系统动态响应分析的结果表明，采用本文提出的全局模态建立的非线性动力学模型可以有效地反映系统的非线性动力学特性。关键词假设模态，假设模态加权，动力学建模，非线性振动中图分类号：0 32 6文献标识码：Adoi:10.6052/1000-0879-22-704GLOBALMODEEXTRACTIONMETHODBASEDONASSUMEDMODEWEIGHTING ANDITS APPLICATION1)CAO Dengqing2)ZHANG Xiaoyun:WANG Yilong(School of Astronautics,Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China)Abstract The assumed mode method is widely used in the dynamic modeling of single flexible structures suchas beams,bars,cables and plates.However,its application is limited when dealing with the vibration problemsof combined structures because it cannot reflect the coupling between components.The approximate dynamicmodel of the combined structure can be established by using the assuming modes,and then the naturalfrequencies and corresponding eigenvectors of the system can be obtained by using the approximate model.Based on this approach,the global modes of the system can be obtained effectively.In this paper,a simplysupported beam with multiple elastic supports in the middle span is taken as an example,and the global modesof the system are extracted by assuming mode weighting,so as to establish the dynamic model of the system.The results of the intrinsic characteristics analysis of the system show that the global mode of the system can beeasily obtained by assumed model weighting.The results of dynamic response analysis of the system show thatthe nonlinear dynamic model based on the proposed global mode can effectively reflect the nonlinear dynamiccharacteristics of the system.Keywordsassumed mode,assumed model weighting,dynamic modeling,nonlinear vibration假设模态法是用于离散连续系统的一种近似处理方法，由于其具有简单、容易处理的特点而被广泛应用于单一梁、杆、索、板等柔性结构的动力学建模。假设模态的选取原则是要满足结2022-12-23收到第1稿，2 0 2 3-0 2-19 收到修改稿。1）国家重点研发计划项目（2 0 2 0 YFB1506702-03）和国家自然科学基金项目（117 32 0 0 5）资助。2）曹登庆，博士，教授，研究方向为动力学与控制。E-mail：d q c a o h i t.e d u.c n各式：曹登庆，张笑云，王逸龙.基于假设模态加权的全局模态提取方法及其应用.力学与实践，2 0 2 3，45（4)：8 6 6-8 7 3Cao Dengqing,Zhang Xiaoyun,Wang Yilong.Global mode extraction method based on assumed mode weighting andapplication.Mechanics in Engineering,2023,45(4):866-873867曹登庆等：基于假设模态加权的局模态提取方法及其应用第4 期构的部分或全部边界条件，其中几何边界条件通常要求严格满足，而力的边界条件通常是很难满足的。所选取的模态函数越接近于结构的真实模态函数，解的精度就越高。众所周知简单结构的固有频率和模态函数是由结构的边界条件决定的，但在组合结构中，除边界条件外，结构连接处力和位移的相容条件也会对系统固有特性产生影响。将假设模态法应用于处理组合结构振动问题时，如何选取满足整体结构边界条件和构件连接处的相容条件，且能反映各部件之间相互作用的模态函数就成为一个困难问题 2。实际应用中，为了提高建模的精度，往往选取尽量多的模态数，期望反映柔性结构的变形信息，这不仅造成系统离散动力学模型的自由度数较大 3-5，而且无法估计所建立的动力学模型的近似程度。本文通过假设模态建立组合结构的近似动力学模型，利用近似模型求得系统的固有频率和相应的特征向量，据此可以有效地获得系统的全局模态 6。全局模态是假设模态的加权结果，能够充分反映组合结构各部件之间的耦合特性。但在以往组合结构动力学建模研究中，假设模态加权方法并未受到足够重视。本文以跨中带有多个弹性支撑的简支梁为例，通过假设模态加权来提取系统的全局模态，建立系统的动力学模型。通过将该模型与假设模态模型对比，展现假设模态加权法在组合结构动力学建模中的优势。1假设模态加权法本节以跨中带有多个弹性支撑的简支梁为例，阐述通过假设模态加权的方法来提取复杂结构的全局模态的方法，即假设模态加权法，简称模态加权法。考虑图1所示的简支梁，当简支梁跨中的弹性支撑刚度很小时，用简支梁的模态作为假设模态可以建立精度较高的动力学模型，当支撑刚度趋于零时，假设模态成为其精确的模态。但是，当支撑刚度较大（极端情况下趋于无穷大）时，则用简支梁的模态作为假设模态将带来较大误差，甚至导致完全错误的结果。事实上，由于弹性约束的存在使得无弹性约束情况下的简支梁变成了由多个梁在弹性支撑下的“多跨梁”，当支撑刚度较大时需将其看作是“多梁组合结构”。yBS1S2SN-1SN2N-1IN图1带多弹性支撑简支梁Fig.1A simply supported beam with multiple elastic supports为什么采用简支梁的模态作为假设模态，当支撑刚度较大时会带来较大误差呢？究其原因，这个假设模态仅满足了梁在A，B两点的约束条件，不满足跨中弹性支撑点S1,S2,S的约束条件（如图1所示）。下面介绍利用假设模态加权来获取全局模态的模态加权法。首先采用满足边界条件的假设模态离散带多弹性支撑简支梁的运动方程，获得基于假设模态的系统动力学方程然后求得系统的特征值和特征向量，之后将特征向量的元素作为加权系数求得加权假设模态。最后将加权假设模态重新代入系统的运动方程，获得基于加权假设模态的动力学模型。式P力与868实2023年第4 5 卷践学1.1加权假设模态考虑如图1所示的两端简支的等截面均匀细长梁，梁长L，简支梁跨中带有N个弹性支撑。第i个支撑点离固定铰支座A点的距离为li。将弹性支撑视为无质量弹簧系统，则第i个弹性支撑的黏弹性恢复力F与位移和速度的关系可表示为Fi(t)=Ccivi;(t)+kt wi(t)(1)式中，w和ii分别为第i个弹性支撑的变形位移和速度，c,和k分别为第i个弹性支撑的黏弹性阻尼系数和线性刚度系数。当系统振动幅值较小时，带多弹性支撑的Euler梁运动方程为Npi+swi+EIw+nli+o(a-la)F(t)=0=1(2)式中，p=PoA为梁的线密度，Po为梁材料的密度，A为梁横截面面积；W为梁横向振动位移；E是弹性模量；I是截面惯性矩；和f分别为梁的外阻尼和内阻尼系数，s(-li)Fi(t)表示i个弹性支撑对柔性梁的作用力，“.”表示对时间t求偏导，“1”表示对空间坐标求偏导。采用跨中没有弹性支撑的简支梁的前n阶模态作为假设模态离散偏微分方程（2），梁的横向位移可以近似表示为nw(a,t)=;(a)a;(t)=d(a)q(t)(3)j=1式中，(a)=i(a)d2(a)中n(a)(4)q(t)=q1(t)q2(t)qn(t)JT(5)其中，;(a)=sinJ元是跨中没有弹性支撑的简支梁的第i阶模态函数，q;(t)为与第阶模态对应的模态坐标，n为模态截断数，即系统的自由度数。将式（3）代入方程（2），方程两边分别左乘向量T，沿柔性梁全长积分，可求得系统的近似动力学模型为Mq+(EIK+K)q+($M+nIK+C)q=0(6)中，pM和EIK分别为柔性梁的基于假设模态的质量阵和刚度阵，KL和C分别为与弹性支撑相关的约束刚度阵和约束阻尼阵。上述矩阵的具体形式为M=&Tdda,K=dTdaJoNNKL=Zt$T(la)(a),C=Zc,(la)(la)=1=1值得注意的是，假设模态是跨中没有弹性支撑的简支梁的真实模态，它对于简支梁而言具有正交性，但它并非系统的真实模态。因此，上述方程中仅模态质量阵pM和模态刚度阵EIK是对角矩阵，系统整体刚度矩阵EIK+KL和约束阻尼矩阵C为非对角矩阵。求解近似动力学模型（6）的特征值和特征向量，可获得系统的固有频率。方程（6）对应的无阻尼自由振动方程为pMq+(EIK+K)q=0(7)设方程星（7）白的解为q(t)=q sin(wt+)(8)式中，w是系统的固有频率，q是系统的特征向量，q=12qnT。将式（8）代入方程（7）可得(EIK+KL-wpM)q=0(9)方程呈（9）有非零解的条件为|EIK+KL-wpM|=0(10)求解式（10）可得系统的固有频率w1，w 2，wn，代入方程（9）可求得对应的特征向量ql，q，q 。选取前m（m n）列特征向量组成模态矩阵QQ=l q?q,(11)Jnxm取另一组广义坐标pi(t)，p 2(t)，,Pm(t)，则广义坐标矢量方程q可以写成q(t)=Qp(t)(12)式中,(t)=pi(t)p2(t)m(t)T。将式（12）代入系统的位移表达式(3)，得w(a,t)=q(t)=Qp(t)=mmqp;(t)=2b5()p;(t)(13)j=1j=1式中，;(a)=(a)qi=1()+2(c)+中n(c)是假设模态i(a),2(ac),n(a)的加权(19）qT(EIK+KL)qrwepqTMar869曹登庆等：基于假设模态加权局模态提取方法及其应用第4 期函数，我们将其定义为系统的第阶加权假设模态，即系统的第阶近似全局模态。1.2加权假设模态的正交性系统对应于任意两个不同的固有频率r和w。的加权假设模态函数分别为r()和s()。根据系统的偏微分运动方程（2），不考虑系统阻尼时，对于第r阶模态有NEIbr(c)+ktbr(a)6(-li)=pw2br(a)(14)1方程（14)两边同乘以亚。（c)，再沿柔性梁全长积分，得EIbr(a)bs(a)da+0Nktbr(a)bs(c)o(-li)da=01pbr(a)bs(a)da2(15)W0将r(c)=(c)qr和s()=()q。代入式(15)，得q,(EIK+KL)ar=wipa,Mqr(16)交换式（16）白的下标r和s，得到qT(EIK+KL)qs=wpqTMqs(17)对式(17)）求转置q,(EIK+KL)Tar=wpq,Mqr(18)因为M和EIK+KL是对称矩阵，得式（19）与式（16）相减，得(w-w)paTMqr=0(20)由此可得两组正交性条件dTMar=0(s+r)(21),(EIK+K)ar=0(s r)(22)即加权假设模态具有正交性。1.3离散动力学模型采用加权假设模态（即近似全局模态）代替原简支梁的模态函数，离散柔性梁的位移，可以获得系统离散形式的动力学模型。将采用加权模态叠加形式的位移表达式（13）代入原系统运动方程（2），在方程两边分别左乘QT&T()，沿柔性梁全长积分可得系统的离散动力学模型pMgp+(EIKg+K,)p+($Mg+nIKg+Cg)p=0(23)式中，pMg和EIK。分别为柔性梁的基于加权模态的质量阵和刚度阵，K和C。分别为与弹性支撑相关的线性约束刚度阵和约束阻尼阵。上述矩阵的具体形式为Mg=QTMQ,Kg=QTKQK,=QTKQ,C=QTCQ由于加权假设模态具有正交性，系统整体模态质量阵M。和系统整体刚度阵EIK。+K 为对角矩阵。为了说明模态加权法在求解非线性振动问题中的应用，设弹性支撑具有非线性特性，其黏弹性恢复力与位移和速度的关系可表示为F;(t):cii;(t)+ktwi(t)+kNwe(t)(24)式中，kN是第E个弹性支撑的非线性刚度系数。当弹性支撑梁在ao处受到集中力F=Fosin(2t)作用时，则系统基于假设模态的非线性动力学模型为pMg+(EIK+K)q+(SM+nIK+C)q+KNqN=FoT(co)sin(S2t)(25)式中，Fo为外激励幅值，KN为与弹性支撑相关的非线性约束刚度阵，具体形式为（代表克罗内克积）NKNZk4T(la)(l)4(l)(l)1qn(t)=q(t)q(t)q(t)系统基于加权假设模态的非线性动力学模型为pMgp+(EIKg+K,)p+($Mg+nIKg+Cg)p+K,pN=FoQT&T(co)sin(2t)(26)式中，K为与弹性支撑相关的非线性约束刚度阵，具体形式为NK,-kNQTT(le)更(l)Q(l:)Q d(li)Q)=1QTKN(Q&QQQ),pn(t)=p(t)p(t)p(t)。当模态截断数m较小时，可以采用解析方法求解非线性振动方程（2 6）；一般情况下，可以采用数值方法获得系统的动态响应。力870实践学2023年第4 5 卷2算例分析本节以带一个弹性支撑S1的简支梁为例，以有限元方法的计算结果作为参考，比较传统假设模态方法和假设模态加权法求解组合结构固有特性和动态响应的优势与不足。仅考虑一个弹性支撑S1，距简支梁左端点A的距离为l1=0.6m，外激励力F的作用点距简支梁A的距离为lo=0.3m，简支梁和弹性支撑的几何参数和材料常数见表1。表1系统几何参数和材料常数Table1Geometric parameters and materialconstants ofthe systemTermsValuesheight of beam h/m0.005eidthof beam b/m0.01length of beam C/m2damping coefficient of spring c/(Ns-m-l)0.03modulus of beam E/GPa68.9density of beam Po/(kgm-)3400external damping coefficient of0.03beam /(Ns:m-l)internal damping coefficient of190000beam n/(Ns:m*2)2.1固有特性分析采用欧拉-伯努利梁单元，将简支梁划分为20段等长梁单元，采用有限元方法计算得到带弹性支撑简支梁的固有特性和动态响应，并视作系统的参考值。定义假设模态方法计算的系统第阶固有频率与有限元方法计算结果的相对误差为wAm(n)-heM 100%,=1,.,nRi(n)=4UREM(27)式中，wrEM是有限元方法的计算结果，wAv(n)是假设模态方法所得频率方程（10）取前n阶简支梁模态的计算结果。系统前4 阶固有频率的相对误差Rp随截断项数n的变化曲线如图2。图2中，随着n的增大，由假设模态方法所得频率值逐渐趋于有限元法所得频率值。弹性支撑刚度越大，假设模态方法达到收敛所需模态截断项数越多。当采用假设模态方法研究系统动力学特性时，以往学者大多选取前2 阶或前4 阶模态截断，本文数值结果表明，假设模态截断项数的选取依赖于所需求解的振动阶次和弹性支撑刚度。当求解系统高阶振动的动态响应时，采用假设模态方法仅选取所需高阶模态之前的模态截断将会存在较大误差；当弹性支撑刚度较大时，仅选取前2 阶或前4 阶模态截断也将引起较大的频率漂移。由式（13）可得系统的加权假设模态，该模态的精度与加权项数n密切相关。图3 展示了加权项数对加权假设模态的影响。当弹性支撑的线性刚度较大时，系统参考模态（有限元模态）与假设模态（即简支梁模态）存在明显差别。系统的加权假设模态随加权项数n的增大逐渐收敛于系统参考模态。2.2动态响应分析取前4 阶加权假设模态离散系统的运动微分方程（即m=4），采用4 阶龙格库塔方法求解式（2 6），获得基于加权假设模态的非线性动力学模型的时域响应，然后取稳态区间的位移最大值绘制系统外激励作用点处的幅频曲线。图4 研究了加权假设模态的加权项数n对动力学模型收敛性的影响。如图4，当弹性支撑刚度较低时，由前4 阶假设模态加权获得的加权假设模态可以较好地吻合有限元方法所得结果。当弹性支撑刚度较大时，由前12 阶假设模态加权获得的加权假设模态才可以较好地吻合有限元方法所得结果。该结论进一步表明，当采用模态加权法研究系统动态响应时，模态加权项数n的选取与支撑刚度密切相关。用4 阶龙格库塔方法分别求解式（2 5）和式（2 6），获得传统假设模态模型和加权假设模态模型的幅频曲线。图5 展示了假设模态方法（A MM）和加权假设模态方法（WAM）的模态截断项数对系统幅频响应的影响，其中加权假设模态方法的加权项数为12 项。从图5(a)和图5(d)中可以看出假设模态法需要较多阶假设模态才可以使系统幅频响应达到收敛。特别当弹性支撑刚度较大时，必须选取较多阶模态，才能获得较为准确的结果。从图5(b)和图5(e)中可以发现仅需选取较少阶加权假设模态就可以使系统幅频响应达到收敛，且弹性支撑刚度变化对截断项数m的影响很小。871曹登庆等：基于假设模态加权局模态提取方法及其应用第4 期75first natural frequencysecond natural frequencykL=100N/m(wFEM=3.86 Hz)5-kL=100N/m(w/gEM=10.89Hz)kL=300 N/m(wFEM=5.04 Hz)60kL=300N/m(wgEM=12.35Hz)kL=500N/m(wFEM=5.58Hz)kL=500N/m(wgEM=13.73Hz)kL=1000N/m(wFEM=6.13Hz)4kL=1000N/m(wM=16.59Hz)451.2%/q430.9300.620.315012345001234523456nn25Fthirdnatural frequencyfourthnatural frequencykL=1000 N/m(upEM=23.47 Hz)6.0kL=1000 N/m(wFEM=41.57 Hz)20kL=2000N/m(gEM=24.65Hz)kL=2000 N/m(wFEM=42.31 Hz)kL=3000N/m(ugEM=26.47Hz)kL=3000N/m(wFEM=43.09Hz)kL=5000N/m(ugEM=29.53Hz)4.5-kL=5000N/m(wFEM=44.64Hz)%/415%/q3.01051.500L3456745678nn图2假设模态截断项数n对系统固有频率的影响Fig.2 The effect of the number of truncated terms n of the assumed mode on the natural frequencies of the system1.0first modesecond mode1.00.80.5adeus apou0.6adeus apou0.40FEM0.2FEMWAM(n)n=1-0.5assumedmode-WAM(n)n=2WAM(n)n=20.WAM(n)n=3WAM(n)n=3WAM(n)n=4WAM(n)n=4-1.0WAM(n)n=5-0.200.51.01.52.000.51.01.52.0/m/mthird modefourth mode1.01.00.50.5ades aou00FEMFEMassumedmodeassumedmode-0.5-WAM(n)n=3-0.5.-WAM(n)n=4.WAM(n)n=4.WAM(n)n=5.WAM(n)n=5WAM(n)n=6.WAM(n)n=6WAM(n)n=8-1.0-1.000.51.01.52.000.51.01.52.0a/ma/m图3模态加权项数对加权假设模态的影响（kL=10000N/m）Fig.3 Effect of the number of mode weighted terms on the weighted assumed modes(kL=10 000 N/m)力872与实2023年第4 5 卷践学0.10FEMFEMWAM(n)n=40.015WAM(n)n=6WAM(n)n=8WAM(n)n=60.08/apnaidurew/apnaiidureWAM(n)n=120.0120.060.0090.04Fo=1N0.006ki=100N/mkN=500N/m30.020.003Fo=1NkL=10000N/mkn=100000N/m3003.7 3.83.94.04.14.24.36.66.76.26.92/Hz2/Hz图4 模态加权项数n对幅频响应收敛性的影响Fig.4Effects of the number of mode weighted terms n on the convergence of amplitude-frequency response3结论以跨中带有多个弹性支撑的简支梁为例，阐述了通过假设模态加权的思想来提取组合结构全局模态的方法，即假设模态加权法。对系统进行固有特性分析的结果表明，通过假设模态加权可以方便地获得系统的全局模态；对系统动态响应分析的结果表明，采用本文提出的全局模态建立的非线性动力学模型可以有效地反映系统的非线性动力学特性。相关结论如下。（1）以基于假设模态得到的动力学模型的特征向量元素作为加权系数可以方便地求得原系统的加权假设模态，即近似全局模态。加权假设模0.125nn：=12kL=100N/mFo=1N0.10m=1m=20.100n=4kN=500N/m3n=6m=40.08n=/apnaide8/apnaideFo=1N0.075kL=100 N/m0.06kn=500N/m30.0500.040.0250.02003.7 3.8 3.94.04.14.24.33.603.753.904.054.204.352/Hz2/Hz(a)假设模态法(b）假设模态加权法(a)AMM(b)WAM0.0250.10n=8(AM)Fo=1Nn=2kL=10000N/mn=44m=2(WAM)0.020kN=100000N/m3n=60.08n=8/apnaiden=10Fo=1N0.0150.06kL=100 N/mkn=500N/m30.0100.040.020.005003.7 3.83.94.04.14.24.36.66.76.86.97.02/Hz2/Hz(c）两种方法收敛性对比(d）假设模态法(c)Comparison of the AMM and WAM(d)AMM图5 假设模态法和假设模态加权法的模态截断项数对系统幅频响应收敛性的影响Fig.5 Effects of the number of mode truncation terms of the AMM and the WAM on the convergence of the amplitude-frequencyresponseofthesystem（责任编辑：王永会）873曹登庆等：基于假设模态加权局模态提取方法及其应用第4 期0.015m=20.015n=10(AM)m=3m=3(WAM)0.012m=40.0120.009F.=1N0.009F.=1Nk,=10 000 N/mk,=10 000 N/m0.006k%=100000N/m30.006k%=100 000N/m30.0030.0030E06.66.76.86.97.06.66.76.86.97.02/Hz2/Hz(e）假设模态加权法（f）两种方法收敛性对比(e)WAM(f)Comparison of the AMM and WAM图5 假设模态法和假设模态加权法的模态截断项数对系统幅频响应收敛性的影响（续）Fig.5 Effects of the number of mode truncation terms of the AMM and the WAM on the convergence of the amplitude-frequencyresponseofthesystem(continued)态能够反映系统的整体模态，它的精度依赖于加权项数，随加权项数的增多，逐渐收敛于系统真实模态。（2）假设模态加权法能够有效缩减系统动力学模型的自由度数。采用传统假设模态方法研究系统的固有频率和振动响应往往需要较多阶模态截断，且模态截断数与支撑刚度密切相关。而假设模态加权法仅需取较少阶模态即可反应系统的真实响应，受支撑刚度影响很小。（3）采用加权假设模态建立的非线性动力学模型可以有效地反映系统的非线性动力学特性。（4）传统假设模态方法所得系统整体刚度阵不是对角矩阵，采用加权假设模态能够使系统的整体刚度阵对角化，基于加权假设模态获得的离散动力学模型便于解析求解。参考文献1蔡国平，洪嘉振.旋转运动柔性梁的假设模态方法研究.力学学报,2 0 0 5,3 7(1):4 8-5 6Cai Guoping,Hong Jiazhen.Assumed mode method of a ro-tation flexible beam.Chinese Journal of Theoretical and Ap-plied Mechanics,2005,37(1):48-56(in Chinese)2王磊，陈柳，何玉林等.基于假设模态法的风力机动力学分析.振动与冲击,2 0 12,3 1(11)：12 2-12 6Wang Lei,Chen Liu,He Yulin,et al.Dynamic analysis of awind turbine base on assumed mode method.Journal of Vi-bration and Shock,2012,31(11):122-126(in Chinese)3 Zhai WM,Xia H,Cai CB,et al.High-speed train-track-bridge dynamic interactionsPart I:theoretical model andnumerical simulation.International Journal of Rail Trans-portation,2013,1(1-2):3-244于开平，邹经湘.结构动力学.哈尔滨：哈尔滨工业出版社，2 0 15Yu Kaiping,Zou Jingxiang.Dynamics of Structures.Harbin:Harbin Institute of Technology Press,2015(in Chinese)5陈立群.关于对模态概念的理解.力学与实践，2 0 2 1,4 3(2):2 5 2-255Chen Liqun.On the concept of modes.Mechanics in Engin-eering,2021,43(2):252-255(in Chinese)6魏进，曹登庆，于涛.复合柔性结构全局模态函数提取与状态空间模型构建力学学报，2 0 19,5 1(2)：3 4 1-3 5 3Wei Jin,Cao Dengqing,Yu Tao.Extraction of global modefunctions and construction of state space model for a com-posite flexible structure.Chinese Journal of Theoretical andApplied Mechanics,2019,51(2):341-353(in Chinese)