2018年电大专科微积分初步复习题及答案.doc

电大微积分初步考试小抄一、填空题函数的定义域是（，5）50 5 1 ，已知，则= 若，则微分方程的阶数是三阶 6.函数的定义域是（-2，-1）U（-1，) 7.2 8.若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则(0) = -6 y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2-x)(x2-5x+6)=x4-5x3+6x2-x3+5x2-6x=x4-6x3+11x2-6x , （把0带入X）9.或10.微分方程的特解为 y=ex . 又y(0)=1 (x=0 , y=1) 11.函数的定义域是12.若函数,在处连续，则1 (在处连续) （无穷小量x有界函数）13.曲线在点处的切线方程是 ， 14. sin x+c15.微分方程的阶数为 三阶 16.函数的定义域是（2,3）U（3，）17.1/218.已知，则=27+27ln3 19.=ex2+c 20.微分方程的阶数为 四阶 二、单项选择题设函数，则该函数是（偶函数）函数的间断点是（）分母无意义的点是间断点下列结论中（在处不连续，则一定在处不可导）正确可导必连续，伹连续并一定可导；极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上 如果等式，则（ ）下列微分方程中，（）是线性微分方程 6.设函数，则该函数是（奇函数）7.当（2 ）时，函数在处连续.8.下列函数在指定区间上单调减少的是（） 9.以下等式正确的是（）10.下列微分方程中为可分离变量方程的是（）11.设，则（）12.若函数f (x)在点x0处可导，则(，但)是错误的 13.函数在区间是（先减后增）14.(）15.下列微分方程中为可分离变量方程的是（）16.下列函数中为奇函数是（）17.当（）时，函数在处连续.18.函数在区间是（先单调下降再单调上升）19.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（y = x2 + 3）20.微分方程的特解为（）三、计算题计算极限解:设，求.解：，u= -2x(-2x)=eu（-2）= -2e-2xy= -2e-2x+dy=(-2e-2x+)dx计算不定积分解：令u=,u=2du=2(-cos)+c= -2cos计算定积分u=x，v=ex,v= ex vdx=uv原式=25.计算极限6.设，求解：y1=lncosxy1=lnu1,u=cosx y1=dy=()dx7.计算不定积分解：令u=1-2x , u= -2 8.计算定积分解：u=x,=9.计算极限10.设，求y1=sin3x y1=sinu , u=3x , y=2xln2+3cos3x dy=(2xln2+3cos3x)dx11.计算不定积分 u=x , v=cosx , v=sinx12.计算定积分令u=lnx, u=, du=dx , 1xe 0lnx1原式=1+5=13.计算极限解：14.设，求解：() , , , )15.计算不定积分解： u=2x-1 ,=2 du=2dx16.计算定积分解： u=x , , 四、应用题（本题16分） 用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x，高为h,表面积为s，且有h= 所以S(x)=x2+4xh=x2+令（x）=0，得x=2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=2，h=1时水箱的表面积最小。此时的费用为S（2）10+40=160元欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽各选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 设长方形一边长为x，S=216 另一边长为216/x总材料y=2x+3216/x=2x +y=2+648(x-1)=2+648(-1)=2 - y=0得2 = x2=324 x=18一边长为18，一边长为12时，用料最省. 欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？设底边长为a 底面积为a2a2h=v=32 h=表面积为a2+4ah= a2+4a= a2+y= a2+ , y=2a+128( -)=2a-y=0 得 2a= a3=64 a=4底面边长为4， h=2设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解：设矩形一边长为x ，另一边为60-x以AD为轴转一周得圆柱，底面半径x，高60-xV=得：矩形一边长为40 ，另一边长为20时，Vmax作业（一）函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1.函数的定义域是 答案： 2函数的定义域是 答案： 3.函数的定义域是 答案： 4.函数，则 答案： 5函数，则 答案： 6函数，则 答案： 7函数的间断点是 答案： 8. 答案： 1 9若，则 答案： 2 10若，则 答案： 1.5； 二、单项选择题（每小题2分，共24分）1设函数，则该函数是（）答案：BA奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数2设函数，则该函数是（）答案：AA奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 3函数的图形是关于（）对称答案：DA B轴C轴 D坐标原点4下列函数中为奇函数是（C ）A B C D 5函数的定义域为（）答案：DA B C且 D且 6函数的定义域是（）答案：DA BC D 7设，则（ ）答案：CA B C D 8下列各函数对中，（）中的两个函数相等答案：D A， B，C， D 9当时，下列变量中为无穷小量的是（ ）答案：C.A B C D 10当（ ）时，函数，在处连续. 答案：BA0 B1 C D 11当（ ）时，函数在处连续 答案：DA0 B1 C D 12函数的间断点是（ ）答案：AA B C D无间断点三、解答题（每小题7分，共56分）计算极限 解 2计算极限 解 3. 解：原式4计算极限 解 5计算极限 解 6.计算极限 解 7计算极限 解 8计算极限解 一、填空题（每小题2分，共20分）1曲线在点的斜率是 答案：2曲线在点的切线方程是 答案： 3曲线在点处的切线方程是 答案： 4 答案：或5若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则(0) = 答案：6已知，则= 答案：7已知，则= 答案：8若，则 答案：9函数的单调增加区间是 答案：10函数在区间内单调增加，则a应满足 答案： 二、单项选择题（每小题2分，共24分）1函数在区间是（ ）答案：DA单调增加 B单调减少 C先增后减 D先减后增2满足方程的点一定是函数的（ ）答案：C.A极值点B最值点 C驻点D 间断点3若，则=（ ） 答案：C A. 2 B. 1 C. -1 D. 2 4设，则（ ） 答案：B A B C D5设是可微函数，则（ ） 答案：D A B C D 6曲线在处切线的斜率是（ ） 答案：C A B C D7若，则（ ）答案：C A B C D 8若，其中是常数，则（ ）答案C A B C D 9下列结论中（ A ）不正确 答案：C A在处连续，则一定在处可微. B在处不连续，则一定在处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D若在a，b内恒有，则在a，b内函数是单调下降的. 10若函数f (x)在点x0处可导，则( )是错误的 答案：B A函数f (x)在点x0处有定义 B，但 C函数f (x)在点x0处连续 D函数f (x)在点x0处可微 11下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）答案：BAsinx Be x Cx 2 D3 x12.下列结论正确的有（ ） 答案：A Ax0是f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 0 Bx0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点 C若(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点 D使不存在的点x0，一定是f (x)的极值点 三、解答题（每小题7分，共56分）1设，求 解 或 2设，求. 解 3设，求. 解 4设，求. 解 或5设是由方程确定的隐函数，求. 解 对方程两边同时对x求微分，得 6设是由方程确定的隐函数，求. 解原方程可化为， 7设是由方程确定的隐函数，求.解：方程两边同时对求微分，得 .8设，求解：方程两边同时对求微分，得 一、填空题（每小题2分，共20分）1若的一个原函数为，则 。 答案： （c为任意常数）或 2若的一个原函数为，则 。 答案： 或 3若，则 答案：或4若，则 答案： 或 5若，则答案： 6若，则 答案： 7答案：8 答案： 9若，则答案： 10若，则 答案： 二、单项选择题（每小题2分，共16分）1下列等式成立的是（）答案：AA B C D3若，则（ ）. 答案：AA. B. C. D. 4若，则（ ）. 答案：A A. B. C. D. 5以下计算正确的是（ ） 答案：AA B C D 6（ ）答案：AA. B. C. D. 7=（ ） 答案：C A B C D 8如果等式，则（） 答案BA. B. C. D. 三、计算题（每小题7分，共35分）1 解 或2 解 3 解 45解四、极值应用题（每小题12分，共24分）1设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。1解： 设矩形的一边厘米，则厘米，当它沿直线旋转一周后，得到圆柱的体积令得当时，；当时，.是函数的极大值点，也是最大值点.此时答：当矩形的边长分别为20厘米和40厘米时，才能使圆柱体的体积最大. 2欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 2. 解：设成矩形有土地的宽为米，则长为米，于是围墙的长度为令得易知，当时，取得唯一的极小值即最小值，此时答：这块土地的长和宽分别为18米和12米时，才能使所用的建筑材料最省. 五、证明题（本题5分）1函数在（是单调增加的一、填空题（每小题2分，共20分）1 答案：2 答案：或2 3已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，则该曲线的方程是 。答案：或4若 答案：2 或45由定积分的几何意义知，= 。答案： 6 . 答案：07=答案： 8微分方程的特解为 . 答案：1或9微分方程的通解为 . 答案：或10微分方程的阶数为 答案：2或4二、单项选择题（每小题2分，共20分）1在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）答案：AAy = x2 + 3 By = x2 + 4 C D 2若= 2，则k =（ ） 答案：A A1 B-1 C0 D 3下列定积分中积分值为0的是（ ） 答案：A A B C D 4设是连续的奇函数，则定积分（ ）答案：D5（ ）答案：DA0 B C D6下列无穷积分收敛的是（）答案：BA B C D 7下列无穷积分收敛的是（）答案：BA B C D8下列微分方程中，（ ）是线性微分方程答案：D A B C D9微分方程的通解为（ ）答案：C A B C D10下列微分方程中为可分离变量方程的是（） 答案：BA. ； B. ； C. ； D. 三、计算题（每小题7分，共56分）1 解 或2 解 3 解 利用分部积分法 4 5 6求微分方程满足初始条件的特解 即通解 7求微分方程的通解。 即通解为.四、证明题（本题4分）证明等式。微积分初步 一、填空题（每小题4分，本题共20分）函数的定义域是 1 已知，则=若，则微分方程的阶数是3函数的定义域是 2 微分方程的特解为.函数，则 曲线在点处的切线方程是若，则 微分方程的阶数为 5 函数的定义域是若6. 函数，则x2 -27 . 若函数,在处连续，则1 8. 曲线在点处的切线斜率是9. 10. 微分方程的阶数为 5 6. 函数，则 x2 + 1 9. sinx + c函数的定义域 是函数的间断 点是曲线在点的斜率是若，则=微分方程的阶 数是2函数，则函数在处连续，则=24微分方程 的阶数是2 3函数 的定义域是4函数， 则 5函数，则 2 6. 函数，则 7函数的间断点 是9若，则2 10若，则1曲线在 点的斜率是2曲线在点的切线方程是3曲线在点处的切线方程是即：4 5若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则(0) = 6 6已知，则 7已知，则 8若，则 9函数的单调增加区间是10函数在区间内单调增加，则a应满足1若的一个原函数为，则2若的一个原函数为，则3若，则 4若，则=5若，则 6若，则7 89若，则10若，则1. 2 2 3已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过，则该曲线的方程是4若 4 5由定积分的几何意义知，60 7= 8微分方程 的特解为 9微分方程的通 解为 10微分方程 的阶数为 4阶 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）设函数，则该函数是（B）A 奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数设函数，则该函数是（A）A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数下列结论中（ C ）正确 A在处连续，则一定在处可微. B函数的极值点一定发生在其驻点上. C在处不连续，则一定在处不可导. D函数的极值点一定发生在不 可导点上.如果等式， 则（ D ）A. B. C. D. 下列函数在指定区间 上单调减少的是（D ） A B C D设函数，则该函数 是（B）A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数下列函数在指定区间 上单调减少的是（B） A B C D 设，则 （C ）A. B. C. D. 下列微分方程中，（A）是 线性微分方程 A B C D 满足方程的点一 定是函数的（ C ）。A极值点B最值点 C驻点 D 间断点微分方程的通解 是（B）A.； B.； C.； D.函数的 定义域是（D ） A（2，+） B（2，5C（2，3）（3，5） D（2，3）（3，5下列函数在指定区间（-，+ ）上单调减少的是（ B ）A B CD函数的定义域 是（C ） A（-2，+） B（-1，+）C（-2，-1）（-1，+） D（-1，0）（0，+）下列微分方程中为可分离变量方程的是（C ） A. ； B. C. ； D. 2、若函数，则 （A ）.AB0 C1D不存在下列无穷积分收敛的是（B）ABCD微分方程的通解是（D）A. B. C. D.函数的定义域（D）A BC且 D且若函数，则 （C ）.A0 B C1 D不存在函数在区间是（C ）A单调增加 B单调减少 C先减后增 D先增后减下列无穷积分收敛的是（A）AB C D下列微分方程中为一阶线性微 分方程的是（B）A. B. C. 2设函数，则该函 数是（ A）A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数3函数的图形 是关于（ D）对称A B轴C轴 D坐标原点4下列函数中为奇函数是(C)A B C D5函数的定义域为（D）A B C且 D且6函数的定义域（D）A BC D7设，则 （ C ） A B C D 8下列各函数对中，（D）中的两个函数相等A， B， C， D，9当时，下列变量中为无穷小量的是（ C ） A B C D10当（B）时，函数，在处连续.A0 B1 C D 11当（D）时，函数在处连续.A0 B1 C2 D3 12函数的间断点是（ A ）A B CD无间断点1函数在区间 是（ D ）A单调增加B单调减少C先增后减 D先减后增2满足方程的点一定是函数的（ C ）.A极值点 B最值点 C驻点 D 间断点3若，则=（C ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -24设，则 （B ） A B C D5设是可微函数，则（ D ） A B C D6曲线在处切线的斜率是（ C ） A B C D7若，则 （ C ） A BC D 8若，其中 是常数，则（ C ） A B C D9下列结论中（ B ）不正确 A在处连续，则 一定在处可微. B在处不连续， 则一定在处不可导. C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D若在a，b内恒有，则在a，b内函数是单调下降的.10若函数f (x)在点x0处可导，则( B )是错误的 A函数f (x)在点x0处有定义 B，但C函数f (x)在点x0处连续 D函数f (x)在点x0处可微 11下列函数在指定区间 上单调增加的是（ B ） Asinx Be x Cx 2 D3 - x12.下列结论正确的有（A ） Ax0是f (x)的极值点，且(x0)存在，则必有(x0) = 0 Bx0是f (x)的极值点，则x0必是 f (x)的驻点C若(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点 D使不存在的点x0，一 定是f (x)的极值点1下列等式成立的是（ A）A BC D2若，则（ A ）.A. B. C. D. 3若，则（ A ）. A. B. C. D. 4以下计算正确的是（ A ）A BC D 5（ A ）A. B. C. D. 6=（ C ） A B C D7如果等式，则（ B ）A. B. C. D. 1在切线斜率为2x的积分曲线 族中，通过点（1, 4）的曲线为（A ）Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 C D2若= 2，则k = （ A ） A1 B-1 C0 D 3下列定积分中积分值为0的是（ A ） A B C D 4设是连续的奇函数，则定积分（ D ）AB C D 05（ D ）A0 B C D6下列无穷积分收敛的是（B ）ABC D 7下列无穷积分收敛的是（B ）A BC D8下列微分方程中，（D）是线 性微分方程 A B C D9微分方程的通解为（ C ） A B C D10下列微分方程中为可分离变 量方程的是（B ）A. ；B. ； C. D. D. 三、计算题（本题共44分，每小题11分）设，求.解： 计算不定积分解：= 计算定积分解：计算极限解： 设，求.解： 计算不定积分解：=计算极限解： 设，求.解： 设，求.解： 计算不定积分 解：= 计算定积分 解：11. 计算极限解：2. 设，求解：， 12. 设，求 解：=13. 计算不定积分 解： =14. 计算定积分 解：= 计算极限解 设，求.解: 3计算不定积分解 计算极限解 设，求. 解 计算定积分 解 计算极限 解：2计算极限 解：3 解：4计算极限 解：5计算极限 解：6计算极限 解： 7计算极限 解：8计算极限 解： 设，求 解：2设，求. 解：3设，求. 解：4设，求. 解：5设是由方程确定的隐函数，求.解：两边微分： 6设是由方程确定的隐函数，求. 解：两边对求导，得： ， 7设是由方程确定的隐函数，求.解：两边微分，得：，8设，求解：两边对求导，得： 1解：2 解：3 解：4 解：5 解：1 解：2 解：3 解：4 解： 5 解:6求微分方程满足初始条件的特解解：通解为， ，代入 ，代入得。即：特解为7求微分方程 的通解。解：通解为，代入得通解为四、应用题（本题16分）1、用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设边长，高，表面积，且 令，得， 所以，当时水箱的面积最小. 最低总费（元）3、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底边的边长为，高为，用材料为，由已知 令，解得是唯一驻点， 所以是函数的极小值点，即当，时用料最省. 5. 欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做 法用料最省？解：设底边的边长为，高为h，用材料为y，由已得 ，则 令，解得x = 4是唯一驻点，易知x = 4是函数的极小值点，此时有= 2，所以当x = 4，h = 2时用料最省。6、欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为，高为，容器的表面积为，由已知，令，得是唯一驻点即有，所以当，时用料最省1.设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。 解：设长为厘米，另一边长为厘米，得：，即：，令，得：（不合题意，舍去），即：当矩形的边长为、时，圆柱体的体积最大。2.欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 解：设长为米，宽为米，得，即，令，（取正值），即：当矩形的长为米，宽为米时，所用建筑材料最省。五、证明题（本题5分）1、函数在（是单调增加的证明：因为，当（时， 所以函数在（是单调增加的1、证明等式证明：考虑积分，令，则，从而 所以微积分初步 一、填空题函数的定义域是答案：函数的间断点是=答案：曲线在点的斜率是答案：若，则答案：微分方程的阶数是26.函数，答案：7函数在处连续，则=28.曲线在点的斜率是答案：9.答案：410.微分方程的阶数是答案：211.函数的定义域是答案：12.若，则答案：213.已知，则=答案：14.若答案：15.微分方程的阶数是316.函数的定义域是(-2,-1)(-1，4】17.若，则218.曲线在点处的切线方程是_y=x+1_19.020.微分方程的特解为 y=e的x次方 21.函数的定义域是 22.若函数,在处连续，则2 23.曲线在点处的斜率是24.25.微分方程满足初始条件的特解为 26函数的定义域是 答案：27函数的定义域是 答案：28函数的定义域是答案：29函数，则 答案：30函数，则 答案：31.函数，则 答案： 32函数的间断点是答案： 33答案： 134若，则 答案： 235若，则答案： 36曲线在点的斜率是 37曲线在点的切线方程是 38曲线在点处的切线方程是39 40若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则(0) = 641已知，则=42已知，则= 43