西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案.doc

1随机过程习题解答第一章习题解答1 设随机变量X服从几何分布，即：。求X的特征函数，EX及DX。其中是已知参数。解 = 又 （其中 ）令 则 同理 令 则）2、（1） 求参数为的分布的特征函数，其概率密度函数为 （2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b的分布，关于参数p具有可加性。解 （1）设X服从分布，则 （2） （4） 若 则同理可得： 3、设X是一随机变量，是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。 （1）（2）解 （1） （） 在区间0，1上服从均匀分布的特征函数为（2） = =4、设相互独立，且有相同的几何分布，试求的分布。解 = = = = 5、 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。证 （1） 为连续函数 = = = = 非负定（2） = = （）6、证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。解 （1） = （） 且连续 为特征函数 （2） = = = 7、设相互独立同服从正态分布，试求n 维随机向量的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求的率密度函数。解 又 的特征函数为： 均值向量为 协方差矩阵为 又 8、设XY相互独立，且（1）分别具有参数为及分布；（2）分别服从参数为。求X+Y的分布。解（1） = = = = 则 （2）9、已知随机向量（X、Y）的概率密度函数为 求其特征函数。解 10、已知四维随机向量服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为解又其中11、设相互独立，且都服从，试求随机变量组成的随机向量的特征函数。解 12、设相互独立，都服正态分布，试求：（1） 随机向量的特征函数。（2） 设，求随机向量的特征函数。（3） 组成的随机向量的特征函数。解（）（）（）13、设服从三维正态分布，其中协方差矩阵为，且试求。解又同理可得14、设相互独立同服从分布。试求的期望。解令则15、设XY相互独立同分布的随机变量，讨论的独立性。 解 有 或 则又 服从指数分布，服从柯西分布，且对有相互独立。16、设X Y相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论的独立性。解（1） (2) (3) 对均成立 相互独立17、设二维随机变量的概率密度函数分别如下，试求（1）（2）证 （1） = （2）18、设X、Y是两个相互独立同分布的随机变量，X服从区间0，1上的均匀分布，Y服从参数为的指数分布。试求（1）X与X+Y的联合概率密度；（2）解 令 则 （2） 19、设是一列随机变量，且，其中K 是正常数。试证：（1） 当。（2） 当均方收敛于0；（3） 当证 令 0 (当，) 几乎肯定收敛于0 当均方收敛于0当时， 即20、设证 = 第二章习题解答1.设是独立的随机变量列，且有相同的两点分布，令，试求：（1） 随机过程的一个样本函数；（2） 之值；（3） ；（4） 均值函数；（5） 协方差函数；解： （1）当时，（2）20-2 当n 为奇数时 当n为偶数时 （）而（）若即有2.设，其中A、B是相互独立且有相同的分布的随机变量，是常数，试求：（1）X（t）的一个样本函数；（2）X（t）的一维概率密度函数；（3）均值函数和协方差函数。解：（1）当A=B=1时，（2） （3） 3.设随机过程。其中是相互独立的随机变量，且。（1）求X(t)的均值函数和相关函数；（2）证明X(t)是正态过程。解：（1） （2）其中，由n维正态分布的线性性质得因此X(t)是正态过程。4.设是参数为的Wiener过程，求下列过程的均值函数和相关函数：（1） （2）（3） （4）解：（1）（2）（3）（4） 5.设到达某商店的顾客组成强度为的Poisson流，每个顾客购买商品的概率为p,且与其他顾客是否购买商品无关，若是购买商品的顾客流，证明是强度为的Poisson流。证：令表示“第个顾客购买商品”，则且。其中为时间段内到达商店的顾客人数，则的特征函数为 是强度为的Poisson流。6.在题5中，进一步设是不购买商品的顾客流，试证明与是强度分别为和的相互独立的Poisson流。证：（1） 与独立且强度为的Poisson流。7.设和分别是强度为和的独立Poisson流。试证明：（1）是强度为的Poisson流；（2）在的任一到达时间间隔内，恰有k个时间发生的概率为证：（1） 是强度为的Poisson流。（2）令T表示过程任两质点到达的时间间隔。A表示恰有1个事件发生在的任一到达时间间隔内，则8.设是Poisson过程，和分别是的第n个事件的到达时间和点间间隔。试证明：（1）；（2）。证： 9.设某电报局接收的电报数组成Poisson流，平均每小时接到3次电报，求：（1）一上午（8点到12点）没有接到电报的概率；（2）下午第一个电报的到达时间的分布。解：10.设和分别是强度为和的独立Poisson过程，令，求的均值函数与相关函数。解： 11.设是强度为的Poisson过程，T是服从参数为的指数分布的随机变量，且与独立，求内事件数N的分布律。解：由内N的分布律为： 第三章习题解答1证明Poisson随机变量序列的均方极限是Poisson随机变量。证：令是Poisson随机变量序列，则对 又，其中X为Poisson随机变量。2设，是独立同分布的随机变量序列，均值为，方差为1，定义，证明。证： 。3研究下列随机过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。（1），其中A、B是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、b，方差为；（2），其中A、B、C是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、b、c，方差为；（3）是Poisson过程；（4）是Wiener过程。解：（1） 是关于s, t的多项式函数存在任意阶的偏导数过程是均方连续，均方可导，均方可积。(2) （3）由知Poisson过程是均方连续，均方可积的。不存在，即均方不可导。（4）由知Wiener过程是均方连续，均方可积的。不存在，即均方不可导。4试研究上题中过程的均方可导性，当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。解：（1）均方可导又均方可微。（2）均方可导，且 （3）Poisson过程均方不可导。（4）Wiener过程均方不可导。5求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判断其均方连续性和均方可微性。（1），其中是常数，服从上的均匀分布；（2），其中参数为1的Wiener过程；（3），其中参数为的Wiener过程。解：（1）。 （2）当， 均方连续，但均方不可微，均方可积。（3）均方连续，但均方不可微，均方可积。6均值函数为、相关函数为的随机过程输入微分电路，该电路输出随机过程，试求的均值函数和相关函数、和的互相关函数。解：7试求第3题中可积过程的如下积分： 的均值函数和相关函数。解：（1） 又 （2） (3) 当时 当 当时 (4) 8设随机过程，其中是均值为5、方差为1的随机变量，试求随机过程的均值函数、相关函数、协方差函数与方差函数。解: 9设是参数为的Wiener过程，求下列随机过程的均值函数和相关函数。（1）；（2）；（3）解：（1） （2） （3） 10求一阶线性随机微分方程的解及解的均值函数、相关函数及解的一维概率密度函数，其中是均值为0、方差为的正态随机变量。解：（1） 解过程为：（2）11求一阶线性随机微分方程的解及解的均值函数、相关函数。（1），其中是一已知的二阶均方连续过程，是与独立的均值为、方差为的随机变量。（2），其中是一已知的均值函数为、相关函数为的二阶均方连续过程。解：（1） 即方程的解为： （2）均方解为：（当时） 第四章习题解答1.随机过程，其中A具有Rayleigh分布，即其概率密度函数为式中服从区间上的均匀分布，且、相互独立，试研究X是否为平稳过程。 解: 是平稳过程.2、X是一平稳过程，且满足，称X为周期平稳过程，T为其周期，试求X的相关函数也是以T为周期的周期函数。解： 是平稳过程， 又 以T为周期.3、设 X、Y是两个相互独立的实平稳过程，试证明也是平稳过程。解 也是平稳过程4、设是n阶均方可微的平稳过程，证明是平稳过程，且解： 利用归纳法可得平稳过程5、设是一均值为0的平稳时间序列，证明：（1）扔是一平稳时间序列；（2）若数列绝对收敛，即，则扔是一平稳时间序列；（3）若是一白噪声，试求的相关函数及其谱函数。解（1） = = 是一平稳时间序列(2) (又) 仍是一平稳时间序列（3） （注：白噪声过程X的谱密度为，其中 ）6、设是雷达在时的发射信号，遇目标返回接收的微弱信号是，是信号返回时间，由于接收到的信号总是伴有噪声的，记噪声为，于是接收机收到的全信号为：，若X、Y是平稳相关的平稳过程，试求；进而，若的均值为0，且与相互独立，试求。解：（1） （2）7设，其中是服从区间上均匀分布的随机变量，试证：（1）是一平稳时间序列；（2）不是平稳过程。解：（1） 是一平稳时间序列（2） 不是平稳过程8、设为零均值的正交增量过程，试证是一平稳过程。解： 是一平稳过程。9、设是一平稳过程，均值，相关函数为，若（1）（2）令，T是固定的正数，分别计算的相关函数。解：（1） 当时， （2）当时当时当时当时 当时10、设平稳过程的相关函数为，这里为常数。(1)判断X是否均方可导，说明理由；(2)计算 解 （1） 在 处可导当时， 当时， 又在处存在二阶可导数故在处存在二阶可导数由归纳可知在处存在n阶可导.（2） 11、过程的相关函数为，对满足随机微分方程的宽平稳过程解。（1）求X的均值函数，自相关函数和功率谱函数；（2）求X与Y 的互相关函数和互功率谱函数。 解: (1)令 ，则，代入，有又Y是平稳过程 又平稳 （2） 当时， 当时， 12、设是均值为0的平稳的正态过程，且二阶均方可导。求证：对任意，与相互独立，但与不相互独立，并求。 证:（1）由定理3.6.3（）知，也是正态过程 由定理4.2.3知，也是平稳过程又 又实平稳过程，为偶函数， 则不相关，由正态变量的性质知 独立 （2）易知也是正态平稳过程又 不独立13、设是均方可导实平稳的正态过程，相关函数为，求其导数过程的一维、二维概率密度函数。 解: 由定理3.6.3（）知仍为正态过程，而且，的一维概率密度函数为：的二维概率密度函数为：其中14.已知平稳过程的相关函数（1）（2）（3）求谱密度。解: （或由傅氏变换可得 ）（2） （3） 15、已知平稳过程（参数连续）谱密度 （1）（2）（3）求相关函数和平均功率。解 ，平均功率（1） （2） （3） 16、设X、Y是两平稳相关过程，且，试证，也是平稳过程。又若X、Y的谱密度函数存在，试用X、Y的谱密度及互谱密度表出Z的谱密度。 证: 其中 是平稳过程又 17、设，其中为常数，是特征函数为的实随机变量，证明X为平稳过程充要条件为。 证: 又 平稳，18、设X为平稳正态过程，是其相关函数，试证是一平稳过程，且其标准相关函数为 证: 易证 Y也是一平稳过程。对于二维正态分布X，Y，若它们均值为0，相关函数r，则有结论，其中，所以 19、设是平稳过程，为其谱密度函数。试证：对任意的是平稳过程（即平稳过程具有平稳增量），并求Y的谱函数。 证 是平稳过程 又 20、设是均值为0，相关函数为实正态平稳过程，证明也是平稳过程，并求其均值及相关函数。 证: 令 则 （） 也是平稳过程21.设二阶矩过程的均值函数为，相关函数为，其中都为常数。证明 是一平稳过程 ，并求其均值及相关函数。 证: 是一平稳过程22、设是白噪声序列，试证明是平稳时间序列，并求其相关函数及谱密度。证: 是平稳时间序列。 23、设为均方连续的平稳过程，具有谱密度，试证 对每个是平稳序列，并用表出的谱密度。 证: 令，则 平稳序列 24.设是两个相互独立的实随机变量，的分布函数是，试证明：为平稳过程，且其谱函数就是。证：为平稳过程，且的谱函数为。25.设是均方可导的平稳过程，是其谱密度，试证：（1） （2）均为平稳过程，并求它们的谱密度。证：（1）为平稳过程。 （其中）（2） 又存在谱函数，可知26.设Y是均方二次可导的平稳过程，X是均方连续的平稳过程，且满足：，试用X的谱函数表示Y的谱函数及X与Y的互谱函数。解：（1）取，并代入上式得 （2） 27.已知如图所示的系统，其输入X为一零均值的平稳正态过程，通过实验测得Z的功率谱密度为试证Y也为平稳的，且；利用（1）的结论分别求X和Y的自相关函数与功率谱密度。 证 （1）类似第20题 （2） 令则 28.设线性时不变系统的脉冲响应，其中为常数，为单位阶跃函数，系统的输入X是自相关函数为的平稳过程。试求：（1）系统输入与输出的互相关函数；（2）输出的功率谱密度和自相关函数。 解 ,当时；当时；29.设随机过程，其中A和B是相互独立的零均值随机变量，且。试研究X的均值和相关函数是否具有各态历经性。解： 是平稳过程。又均值具有各态历经性。又相关函数不具有各态历经性。30.设随机过程，其中是相互独立的随机变量，且服从区间上的均匀分布。试研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。解： 均值函数具有各态历经性，但相关函数不具有各态历经性。31.设随机过程，其中是相互独立的随机变量，其中A是均值为2，方差为4，且服从区间上的均匀分布，服从区间（-5，5）上的均匀分布。试研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。解 为一平稳过程。 又 的均值具有各态历经性。 又 的相关函数不具有各态历经性. 32.设平稳过程的期望为，自相关函数为，协方差函数为。(1)若，试证明X的均值各态历经性；(2)若且当时，试证明X的均值各态历经性。 解 （1）而且 的均值具有各态历经性（2） 又 的均值具有各态历经性33.设平稳过程的均值为，相关函数，其中是常数。问X的均值是否具有各态历经性。解: 因为，所以的均值具有各态历经性。第五章习题解答1设是相互独立的随机变量序列，试问下列的是否是马氏链，并说明理由：（1）（2）解：（1）易知是独立增量过程。设任取和，则：又又是马尔可夫过程。（2），设，则：又是马尔可夫过程。2.是随机差分方程的解，其中是已知常数，而是独立同分布的取可数值的随机变量。试证明是马氏链。证：， 与 独立。又为马氏过程。第三题略P152，第四题解：由于在现在已确定后，下一步所处的状态与它的前一状态无关，所以过程是马氏链。P152,第五题解：P153第六题（只做第三个，其它两个可对照写出答案）解：（1） （2）设平稳分布为：,且满足方程,则： 解方程组得：， 又58