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随机过程习题解答
第一章习题解答
1． 设随机变量X服从几何分布，即：。求X的特征函数，EX及DX。其中是已知参数。
解
=
又
（其中 ）
令
则
同理
令 则
）
2、（1） 求参数为的分布的特征函数，其概率密度函数为
（2） 其期望和方差；
（3） 证明对具有相同的参数的b的分布，关于参数p具有可加性。
解 （1）设X服从分布，则
（2）
（4） 若 则
同理可得：
3、设X是一随机变量，是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）
（2）
解 （1） （）
在区间[0，1]上服从均匀分布
的特征函数为
（2）
=
=
4、设相互独立，且有相同的几何分布，试求的分布。
解
=
=
=
=
5、 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量
的分布。
证 （1）
为连续函数
=
=
=
=
非负定
（2）
=
=
（）
6、证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
解 （1）
= （）
且连续 为特征函数
（2）
=
=
=
7、设相互独立同服从正态分布，试求n 维随机向量的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求的率密度函数。
解
又 的特征函数为：
均值向量为
协方差矩阵为
又
8、设X．Y相互独立，且（1）分别具有参数为及分布；（2）分别服从参数为。求X+Y的分布。
解（1）
=
=
=
=
则
（2）
9、已知随机向量（X、Y）的概率密度函数为
求其特征函数。
解
＝
＝
＝
10、已知四维随机向量服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为
解
又
＝
其中
11、设相互独立，且都服从，试求随机变量组成的随机向量的特征函数。
解
＝
＝
＝
12、设相互独立，都服正态分布，试求：
（1） 随机向量的特征函数。
（2） 设，求随机向量的特征函数。
（3） 组成的随机向量的特征函数。
解（１）
（２）
＝
＝
＝
（３）
＝
＝
13、设服从三维正态分布，其中协方差矩阵为，且试求。
解
＝
又
同理可得
14、设相互独立同服从分布。试求的期望。
解
令
则
＝
＝
15、设X．Y相互独立同分布的随机变量，讨论的独立性。
解
有 或
则
又
服从指数分布， 服从柯西分布，且
对有
相互独立。
16、设X． Y相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论的独立性。
解（1）
(2)
(3)
对均成立
相互独立
17、设二维随机变量的概率密度函数分别如下，试求
（1）
（2）
证 （1）
=
（2）
18、设X、Y是两个相互独立同分布的随机变量，X服从区间[0，1]上的均匀分布，Y服从参数为的指数分布。试求（1）X与X+Y的联合概率密度；（2）
解
令 则
（2）
19、设是一列随机变量，且，其中K 是正常数。试证：
（1） 当。
（2） 当均方收敛于0；
（3） 当
证 令
0
(当，) 几乎肯定
收敛于0
当
均方收敛于0
当时，
即
20、设
证
=
第二章习题解答
1.设是独立的随机变量列，且有相同的两点分布，令，试求：
（1） 随机过程的一个样本函数；
（2） 之值；
（3） ；
（4） 均值函数；
（5） 协方差函数；
解： （1）当时，，
（2）
2 0 -2
当n 为奇数时
当n为偶数时
０
（４）
而
（５）
若
即有
2.设，其中A、B是相互独立且有相同的分布的随机变量，是常数，，试求：
（1）X（t）的一个样本函数；
（2）X（t）的一维概率密度函数；
（3）均值函数和协方差函数。
解：（1）当A=B=1时，
（2）
～
（3）
3.设随机过程。其中是相互独立的随机变量，且～。
（1）求{X(t)}的均值函数和相关函数；
（2）证明{X(t)}是正态过程。
解：（1）
（2）
其中，
由n维正态分布的线性性质得
～
因此X(t)是正态过程。
4.设是参数为的Wiener过程，求下列过程的均值函数和相关函数：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
5.设到达某商店的顾客组成强度为的Poisson流，每个顾客购买商品的概率为p,且与其他顾客是否购买商品无关，若是购买商品的顾客流，证明是强度为的Poisson流。
证：令表示“第个顾客购买商品”，则且。其中为时间段内到达商店的顾客人数，则的特征函数为
是强度为的Poisson流。
6.在题5中，进一步设是不购买商品的顾客流，试证明与是强度分别为和的相互独立的Poisson流。
证：（1）
与独立且强度为的Poisson流。
7.设和分别是强度为和的独立Poisson流。试证明：
（1）是强度为的Poisson流；
（2）在的任一到达时间间隔内，恰有k个时间发生的概率为
证：（1）
是强度为的Poisson流。
（2）令T表示过程任两质点到达的时间间隔。A表示恰有1个事件发生在的任一到达时间间隔内，则
8.设是Poisson过程，和分别是的第n个事件的到达时间和点间间隔。试证明：
（1）；
（2）。
证：
9.设某电报局接收的电报数组成Poisson流，平均每小时接到3次电报，求：（1）一上午（8点到12点）没有接到电报的概率；
（2）下午第一个电报的到达时间的分布。
解：
10.设和分别是强度为和的独立Poisson过程，令，求的均值函数与相关函数。
解：
11.设是强度为的Poisson过程，T是服从参数为的指数分布的随机变量，且与独立，求内事件数N的分布律。
解：由内N的分布律为：
第三章习题解答
1．证明Poisson随机变量序列的均方极限是Poisson随机变量。
证：令是Poisson随机变量序列，则对
又，其中X为Poisson随机变量。
2．设，是独立同分布的随机变量序列，均值为，方差为1，定义，证明。
证：
。
3．研究下列随机过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。
（1），其中A、B是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、b，方差为；
（2），其中A、B、C是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、b、c，方差为；
（3）是Poisson过程；
（4）是Wiener过程。
解：（1）
是关于s, t的多项式函数
存在任意阶的偏导数
过程是均方连续，均方可导，均方可积。
(2)
（3）由知Poisson过程是均方连续，均方可积的。
不存在，即均方不可导。
（4）由知Wiener过程是均方连续，均方可积的。
不存在，即均方不可导。
4．试研究上题中过程的均方可导性，当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。
解：（1）均方可导
又
均方可微。
（2）均方可导，且
（3）Poisson过程均方不可导。
（4）Wiener过程均方不可导。
5．求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判断其均方连续性和均方可微性。
（1），其中是常数，服从上的均匀分布；
（2），其中参数为1的Wiener过程；
（3），其中参数为的Wiener过程。
解：（1）。
（2）
当，
均方连续，但均方不可微，均方可积。
（3）
均方连续，但均方不可微，均方可积。
6．均值函数为、相关函数为的随机过程输入微分电路，该电路输出随机过程，试求的均值函数和相关函数、和的互相关函数。
解：
7．试求第3题中可积过程的如下积分：
的均值函数和相关函数。
解：（1）
又
（2）
(3)
当时
当
当时
(4)
8．设随机过程，其中是均值为5、方差为1的随机变量，试求随机过程的均值函数、相关函数、协方差函数与方差函数。
解:
9．设是参数为的Wiener过程，求下列随机过程的均值函数和相关函数。
（1）；
（2）；
（3）
解：（1）
（2）
（3）
10．求一阶线性随机微分方程的解及解的均值函数、相关函数及解的一维概率密度函数，其中是均值为0、方差为的正态随机变量。
解：（1）
解过程为：
（2）
11．求一阶线性随机微分方程的解及解的均值函数、相关函数。
（1），其中是一已知的二阶均方连续过程，是与独立的均值为、方差为的随机变量。
（2），其中是一已知的均值函数为、相关函数为的二阶均方连续过程。
解：（1）
即方程的解为：
（2）均方解为：
（当时）
第四章习题解答
1.随机过程，其中A具有Rayleigh分布，即其概率密度函数为
式中服从区间上的均匀分布，且、相互独立，试研究X是否为平稳过程。
解:
是平稳过程.
2、X是一平稳过程，且满足，称X为周期平稳过程，T为其周期，试求X的相关函数也是以T为周期的周期函数。
解： 是平稳过程，
又
以T为周期.
3、设 X、Y是两个相互独立的实平稳过程，试证明也是平稳过程。
解
也是平稳过程
4、设是n阶均方可微的平稳过程，证明是平稳过程，且
解：
利用归纳法可得
平稳过程
5、设是一均值为0的平稳时间序列，证明：
（1）扔是一平稳时间序列；
（2）若数列绝对收敛，即，则扔是一平稳时间序列；
（3）若是一白噪声，试求的相关函数及其谱函数。
解（1）
=
=
是一平稳时间序列
(2)
(又)
仍是一平稳时间序列
（3）
（注：白噪声过程X的谱密度为，其中
）
6、设是雷达在时的发射信号，遇目标返回接收的微弱信号是，，是信号返回时间，由于接收到的信号总是伴有噪声的，记噪声为，于是接收机收到的全信号为：，若X、Y是平稳相关的平稳过程，试求；进而，若的均值为0，且与相互独立，试求。
解：（1）
（2）
7设，其中是服从区间上均匀分布的随机变量，试证：
（1）是一平稳时间序列；
（2）不是平稳过程。
解：（1）
是一平稳时间序列
（2）
不是平稳过程
8、设为零均值的正交增量过程，，试证是一平稳过程。
解：
是一平稳过程。
9、设是一平稳过程，均值，相关函数为，若
（1）
（2）
令，T是固定的正数，分别计算的相关函数。
解：（1）
当时，
（2）
当时
当时
当时
当时
当时
10、设平稳过程的相关函数为，这里为常数。
(1)判断X是否均方可导，说明理由；
(2)计算
解 （1）
在 处可导
当时，
当时，
又
在处存在二阶可导数
故在处存在二阶可导数
由归纳可知在处存在n阶可导.
（2）
11、过程的相关函数为，对满足随机微分方程的宽平稳过程解。
（1）求X的均值函数，自相关函数和功率谱函数；
（2）求X与Y 的互相关函数和互功率谱函数。
解: (1)令 ，则，代入，有
又
Y是平稳过程
又平稳
（2）
当时，
当时，
12、设是均值为0的平稳的正态过程，且二阶均方可导。求证：对任意，与相互独立，但与不相互独立，并求。
证:（1）由定理3.6.3（）知，也是正态过程
由定理4.2.3知，也是平稳过程
又
又实平稳过程，为偶函数
，
则不相关，由正态变量的性质知
独立
（2）易知也是正态平稳过程
又
不独立
13、设是均方可导实平稳的正态过程，相关函数为，求其导数过程的一维、二维概率密度函数。
解: 由定理3.6.3（）知仍为正态过程，而且
，
的一维概率密度函数为：
的二维概率密度函数为：
其中
14.已知平稳过程的相关函数
（1）
（2）
（3）求谱密度。
解:
（或由傅氏变换可得 ）
（2）
（3）
15、已知平稳过程（参数连续）谱密度
（1）
（2）
（3）
求相关函数和平均功率。
解 ，平均功率
（1）
（2）
（3）
16、设X、Y是两平稳相关过程，且，
试证，也是平稳过程。又若X、Y的谱密度函数存在，试用X、Y的谱密度及互谱密度表出Z的谱密度。
证:
其中
是平稳过程
又
17、设，其中为常数，是特征函数为的实随机变量，证明X为平稳过程充要条件为。
证:
又
平稳，
18、设X为平稳正态过程，，是其相关函数，试证是一平稳过程，且其标准相关函数为
证: 易证 Y也是一平稳过程。
对于二维正态分布X，Y，若它们均值为0，相关函数r，则有结论
，，其中，，
所以
19、设是平稳过程，为其谱密度函数。试证：对任意的是平稳过程（即平稳过程具有平稳增量），并求Y的谱函数。
证
是平稳过程
又
20、设是均值为0，相关函数为实正态平稳过程，证明也是平稳过程，并求其均值及相关函数。
证: 令 则
（）
也是平稳过程
21.设二阶矩过程的均值函数为，相关函数为，其中都为常数。证明 是一平稳过程 ，并求其均值及相关函数。
证:
是一平稳过程
22、设是白噪声序列，试证明
是平稳时间序列，并求其相关函数及谱密度。
证:
是平稳时间序列。
23、设为均方连续的平稳过程，具有谱密度，试证 对每个是平稳序列，并用表出的谱密度。
证: 令，
则
平稳序列
24.设是两个相互独立的实随机变量，的分布函数是，试证明：为平稳过程，且其谱函数就是。
证：
为平稳过程，且
的谱函数为。
25.设是均方可导的平稳过程，是其谱密度，试证：（1）
（2）
均为平稳过程，并求它们的谱密度。
证：（1）
为平稳过程。
（其中）
（2）
又存在谱函数，可知
26.设Y是均方二次可导的平稳过程，X是均方连续的平稳过程，且满足：，试用X的谱函数表示Y的谱函数及X与Y的互谱函数。
解：（1）取，并代入上式得
（2）
27.已知如图所示的系统，其输入X为一零均值的平稳正态过程，通过实验测得Z的功率谱密度为
试证Y也为平稳的，且；
利用（1）的结论分别求X和Y的自相关函数与功率谱密度。
证 （1）类似第20题
（2）
令则
28.设线性时不变系统的脉冲响应，其中为常数，为单位阶跃函数，系统的输入X是自相关函数为的平稳过程。试求：
（1）系统输入与输出的互相关函数；
（2）输出的功率谱密度和自相关函数。
解
,
当时；
当时；
29.设随机过程，其中A和B是相互独立的零均值随机变量，且。试研究X的均值和相关函数是否具有各态历经性。
解：
是平稳过程。
又
均值具有各态历经性。
又
相关函数不具有各态历经性。
30.设随机过程，其中是相互独立的随机变量，且服从区间上的均匀分布。试研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。
解：
均值函数具有各态历经性，但相关函数不具有各态历经性。
31.设随机过程，其中是相互独立的随机变量，其中A是均值为2，方差为4，且服从区间上的均匀分布，服从区间（-5，5）上的均匀分布。试研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。
解
为一平稳过程。
又
的均值具有各态历经性。
又
的相关函数不具有各态历经性.
32.设平稳过程的期望为，自相关函数为，协方差函数为。
(1)若，试证明X的均值各态历经性；
(2)若且当时，，试证明X的均值各态历经性。
解 （1）
而且
的均值具有各态历经性
（2）
又
的均值具有各态历经性
33.设平稳过程的均值为，相关函数，其中是常数。问X的均值是否具有各态历经性。
解: 因为，，
所以的均值具有各态历经性。
第五章习题解答
1．设是相互独立的随机变量序列，试问下列的是否是马氏链，并说明理由：
（1）
（2）
解：（1）易知是独立增量过程。设任取和，
则：
又
又
是马尔可夫过程。
（2），设
，则：
又
是马尔可夫过程。
2.是随机差分方程的解，其中是已知常数，，而是独立同分布的取可数值的随机变量。试证明是马氏链。
证：，
与 独立。
又
为马氏过程。
第三题略
P152，第四题
解：由于在现在已确定后，下一步所处的状态与它的前一状态无关，所以过程是马氏链。
P152,第五题
解：
P153第六题（只做第三个，其它两个可对照写出答案）
解：（1）
（2）设平稳分布为：,且满足方程,则：
解方程组得：，，
又
58
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