北京市大兴区2013届高三数学一模理科试题及答案.doc

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大兴区2013年高三统一练习
数学（理科）
一、选择题
（1）复数的值是
（A）2 （B） （C） （D）
（2）若集合，，则
(A） (B）
(C） （D)
是
否
结束
开始
s=1,i=1

输入n
输出s
?
（3）执行如图所示的程序框图．若，则输出的值是
（A)-21 （B) 11
（C）43 （D） 86
（4）双曲线的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于
（A） (B）
（C） （D)
(5)已知平面,直线，下列命题中不正确的是
（A）若，，则∥　
（B）若∥,，则
（C）若∥，，则∥　
（D）若,，则．
(6)函数
（A）在上递增 （B）在上递增,在上递减
（C）在上递减 （D）在上递减，在上递增

（7）若实数满足,则关于的方程有实数根的概率是
（A) （B）
(C) （D)
（8）抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是
(A)1 (B)8
（C） (D)
二、填空题
(9)函数的最大值是 。
（10）已知直线与曲线有且仅有一个公共点，则
（11） 已知矩形ABCD中，，，E、F分别是BC、CD的中点,
则等于 ．
（12)设,则 。
（13） 如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E（E在A，O之间）,,垂足为F．若，，则 。
（14） 已知函数，定义
,，(，）．把满足（)的x的个数称为函数的“周期点"．则的“周期点”是 ；“周期点”是 ．

三、解答题
（15)(本小题满分13分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b,c，，，．
（Ⅰ）求a的值；
(Ⅱ）求及的面积．

(16）(本小题满分13分）
期末考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩，如下表：
学生

数学
89
91
93
95
97
物理
87
89
89
92
93
(1）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差,并估计该班数学与物理成绩那科更稳定.
（1） 从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中同学的物理成绩高于90分的人数,求随机变量X的分布列及数学期望E（X)的值．

（17）（本小题满分13分）
如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中，是等边三角形，D是BC的中点．
(Ⅰ）求证：A1B//平面ADC1；
（Ⅱ）若AB=BB1=2,求A1D与平面AC1D所成角的正弦值．

（18)（本小题满分14分）
已知函数，．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）函数在区间上是否存在最小值，若存在,求出最小值，若不存在,请说明理由．

19.（本小题满分14分)
已知动点P到点A（—2，0）与点B（2，0）的斜率之积为,点P的轨迹为曲线C。
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点,直线BM与椭圆的交点为D。求证,A、D、N三点共线.

(20）（本小题满分13分）
已知数列的各项均为正整数，且，
设集合。
性质1 若对于，存在唯一一组（）使成立,则称数列为完备数列，当k取最大值时称数列为k阶完备数列.
性质2 若记，且对于任意，,都有成立，则称数列为完整数列，当k取最大值时称数列为k阶完整数列。
性质3 若数列同时具有性质1及性质2，则称此数列为完美数列,当取最大值时称为阶完美数列;
（Ⅰ)若数列的通项公式为，求集合，并指出分别为几阶完备数列,几阶完整数列，几阶完美数列；
（Ⅱ)若数列的通项公式为，求证：数列为阶完备数列，并求出集合中所有元素的和。
（Ⅲ）若数列为阶完美数列，求数列的通项公式。

2013年高三统一练习
高三数学（理科）参考答案
一、选择题（共8小题,每小题5分，共40分）
（1)D （2）C （3）A （4)D
（5)C （6)D （7)C （8)B
二、填空题（共6小题,每小题5分，共30分）
（9) （10)
（12)
（13） （14），
三、解答题(共6小题,共80分）
（15）（本小题共13分）
解:（Ⅰ）因为，所以
由正弦定理： 知 得：
（Ⅱ）在中,

的面积为：
（16）（本小题共13分)
解：（Ⅰ)5名学生数学成绩的平均分为:
5名学生数学成绩的方差为:

5名学生物理成绩的平均分为:
5名学生物理成绩的方差为:

因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大，所以,估计高三（1)班总体物理成绩比数学成绩稳定.
（Ⅱ)由题意可知，,，

随机变量的分布列是
X
0
1
2
P(X）

(17）（本题满分13分)
证明：（I）因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是矩形。
连结交于O,则O是的中点，又D是BC的中点，所以在中，。
因为平面，平面,所以平面。
（II）因为是等边三角形，D是BC的中点，所以。以D为原点，建立如图所示空间坐标系.由已知，得：

，，，。
则，，设平面的法向量为。
由，得到，令,则，，所以.
又,得。
所以
设与平面所成角为，则.
所以与平面所成角的正弦值为.
（18）(本题满分14分）
解:(I），.
由，得，或。
①当，即时，在上，，单调递减；
②当，即时，在上，,单调递增，在上，，单调递减。
综上所述：时，的减区间为； 时，的增区间为,的减区间为.
(II)（1）当时，由（I）在上单调递减,不存在最小值;
（2）当时，
若，即时，在上单调递减，不存在最小值；
若，即时，在上单调递增，在上单调递减，
因为,且当时，,所以时，。
又因为，所以当，即时，有最小值；,即时， 没有最小值.
综上所述：当时，有最小值;当时，没有最小值。
（19）（本题满分14分）
解：（I)设P点坐标,则（），（），
由已知,化简得：。
所求曲线C的方程为（）。
（II）由已知直线AQ的斜率存在，
且不等于0
,设方程为，
由,消去得：
（1）.
因为，是方程(1）的两个根，
所以，得,
又，所以。
当,得，即。
又直线BQ的斜率为，方程为，当时,得,即.
直线BM的斜率为，方程为。
由，消去得：
(2）。
因为2,是方程(2）的两个根,所以
,
得，又，即。
由上述计算：，，.
因为，，所以.
所以A、D、N三点共线。
(20）（本题满分13分)
解：（Ⅰ）；
为2阶完备数列，阶完整数列,2阶完美数列；
（Ⅱ）若对于，假设存在2组及（）使成立，则有
，即
，其中,必有,
所以仅存在唯一一组(）使成立，
即数列为阶完备数列;
，对,，则，因为，则，所以，即
（Ⅲ)若存在阶完美数列,则由性质1易知中必有个元素，由(Ⅱ）知中元素成对出现（互为相反数），且,又具有性质2，则中个元素必为
，。
下面用数学归纳法证明
显然时命题成立，假设当（时命题成立,即

当时，只需证
由于对称性只写出了元素正的部分，其中
既中正的部分的个元素统一为，其中
则中从，到这个元素可以用唯一表示其中，
中从（+1）到最大值这个元素可用唯一表示
其中
中正的部分个元素都存在唯一一组（）使成立，
所以当时命题成立.
即｛｝为阶完美数列，