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【中学数学教案】
集合总复习
教学目的:
1.理解集合的概念,知道常用数集的概念及其记法,会判断一组对象是否构成集合。
2.理解元素与集合的“属于”关系,会判断某一个元素属于或不属于某一个集合,了解数集的记法,掌握元素的特征,理解列举法和描述法的意义。
3理解子集、真子集概念,会判断和证明两个集合包含关系,理解“⊂≠ ”、“⊆”的含义。
4.会判断简单集合的相等关系:
(1)结合集合的图形表示,理解交集与并集的概念;
(2)掌握交集和并集的表示法,会求两个集合的交集和并集。
5.理解交集与并集的概念,熟练掌握交集和并集的表示法,会求两个集合的交集和并集,掌握集合的交、并的性质。
教学重点:
1.集合的基本概念及表示方法。
2.交集和并集的概念,集合的交、并的性质。
3.子集的概念、真子集的概念。
教学难点:
1.运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示。
2.元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算。
3.交集和并集的概念、符号之间的区别与联系。
4.集合的交、并的性质。
教学内容:
一、集合的有关概念:
1、集合的概念:
(1)集合:集合是由一些确定的对象组成的一个整体,简称集。
(2)元素:组成集合的每一个对象叫做这个集合的元素。
☆。
2、常用数集及记法:
(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合。记作N。
(2)正整数集:非负整数集内排除0的集。记作N*或N+。
(3)整数集:全体整数的集合。记作Z。
(4)有理数集:全体有理数的集合。记作Q。
(5)实数集:全体实数的集合。记作R。
3.不含任何元素的集合叫空集,记作。
☆注意:0和不同,0是一个数,可以作为一个集合的元素,而是一个集合。
二、集合的表示方法:列举法,描述法。
☆用列举法表示集合时,元素不能重复,不能遗漏,不计顺序;
☆用描述法表示集合时,书写格式为:M={代表元素︱元素的特征性质}。
三、集合中元素的特性:
(1)确定性:按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里,或者不在,不能模棱两可。
(2)互异性:集合中的元素没有重复。
(3)无序性:集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出)。
四、集合之间的关系:
1.子集:
(1)定义:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说集合A是集合B的子集,记作A⊆B(或B⊇A)。
这时我们也说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A。
☆如果集合A的元素中有一个不是集合B的元素,那么A肯定不是B的子集。
(2)真子集:为子集的特例,集合A是集合B的真子集必须满足:①A是B的子集;②至少有一个B中的元素不属于A,A≠B。
☆A是B的子集有两种情况:①A是B的真子集;②A=B。
2.两个集合相等:
一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A=B。
用式子表示:如果A⊆B,同时B⊆A,那么A=B。
☆A=B是指A和B的的元素完全相同,判断集合A和B相等的方法有两种:①对有限集合,一般利用定义,观察A和B的元素是否完全相同,直接进行判断;②对无限集合,考察A⊆B且B⊆A是否成立。
五、集合的运算:
1.交集:
定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A和B的交集。
记作AB(读作“A交B”),即AB={x|xA,且xB}。
2.并集:
定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A和B的并集。
记作:AB(读作“A并B”),即AB ={x|xA,或xB}。
例1:用描述法表示下列集合:
①{1,4,7,10,13}
②{-2,-4,-6,-8,-10}
用列举法表示下列集合
①{x∈N|x是15的约数} {1,3,5,15}
②{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}} {(1,1),(1,2),(2,1)(2,2)}
取值范围是[ ]
A.m<4 B.m>4 C.0<m<4 D.0≤m<4
可得0≤m<4.答 选D.
例3: 已知M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=-x2+1,x∈R}则M∩N是[ ]
A.{0,1} B.{(0,1)} C.{1}
分析 先考虑相关函数的值域.
解 ∵M={y|y≥1},N={y|y≤1},
∴在数轴上易得M∩N={1}.选C.
例4: 设集合A={x|-5≤x<1},B={x|x≤2},则A∪B= [ ]
A.{x|-5≤x<1} B.{x|-5≤x≤2} C.{x|x<1} D.{x|x≤2}
分析 画数轴表示,B)。答 D。
例5 下列四个推理:①;②;
为 [ ]
A.1 B.2 C.3 D.4
分析 根据交集、并集的定义,①是错误的推理.答 选C。
例6: 集合A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=2},则A∩B=________。
分析 A∩B即为两条直线x+y=0与x-y=2的交点集合。
所以A∩B={(1,-1)}.
例7:设A={x∈R|f(x)=0},B={x∈R|g(x)=0},,,则[ ]。
A.C=A∪(UR) B.C=A∩(UB) C.C=A∪B D.C=(UA)∩B
分析 依据分式的意义及交集、补集的概念逐步化归
={x∈R|f(x)=0且g(x)≠0}={x∈R|f(x)=0}∩{x∈R|g(x)≠0}
=A∩(UB).答 选B.说明:本题把分式的意义与集合相结合.
例8 集合A含有10个元素,集合B含有8个元素,集合A∩B含有3个元素,则集合A∪B有________个元素.
分析 一种方法,由集合A∩B含有3个元素知,A,B仅有3个元素相同,根据集合元素的互异性,集合A∪B的元素个数为10+8-3=15.
另一种方法,画图1-10观察可得.答 填15.
例9 已知全集U={x|x取不大于30的质数},A,B是U的两个子集,且A∩(UB)={5,13,23},(UA)∩B={11,19,29},(UA)∩(UB)={3,7}求A,B.
分析 由于涉及的集合个数,信息较多,所以可以通过画图1-11直观地求解.
解 ∵U={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}
用图形表示出A∩(UB),(UA)∩B及(UA)∩(UB)得
U(A∪B)={3,7},A∩B={2,17},
所以 A={2,5,13,17,23},
B={2,11,17,19,29}.
说明:对于比较复杂的集合运算,可借助图形.
例10 设集合A={x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9},若A∩B={9},求A∪B.
分析 欲求A∪B,需根据A∩B={9}列出关于x的方程,求出x,从而确定A、B,但若将A、B中元素为9的情况一起考虑,头绪太多了,因此,宜先考虑集合A,再将所得值代入检验.
解 由9∈A可得x2=9或2x-1=9,解得x=±3或5.
当x=3时,A={9,5,-4},B={-2,-2,9},B中元素违反互异性,故x=3应舍去;
当x=-3时,A={9,-7,-4},B={-8,4,9},A∩B={9}满足题意,此时A∪B={-7,-4,-8,4,9}
当x=5时,A={25,9,-4},B={0,-4,9},此时A∩B={-4,9},这与A∩B={9}矛盾.故x=5应舍去.从而可得x=-3,且A∪B={-8,-4,4,-7,9}.
说明:本题解法中体现了分类讨论思想,这在高中数学中是非常重要的.
例11 设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},若A∩B=B,求a的值.
需要对A的子集进行分类讨论.
设0∈B,则a2-1=0,a=±1,当a=-1时,B={0}符合题意;当a=1时,B={0,-4}也符合题意.
设-4∈B,则a=1或a=7,当a=7时,B={-4,-12}不符合题意.
<-1.
综上所述,a的取值范围是a≤-1或a=1.
例12 (1998年全国高考题)
设集合M={x|-1≤x<2},N={x|x[ ]
A.(-∞,2] B.[-1,+∞) C.(-1,+∞) D.[-1,2]
分析 分别将集合M、N用数轴表示,可知:k≥-1时,M∩答 选B.
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