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习题5-1
1. 利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1, 两直线x=a、x=b(b>a)及横轴所围成的图形的面积.
解 第一步: 在区间[a, b]内插入n-1个分点(i=1, 2, ×××, n-1), 把区间[a, b]分成n个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: (i=1, 2, ×××, n).
第二步: 在第i个小区间[xi-1, xi] (i=1, 2, ×××, n)上取右端点, 作和
.
第三步: 令l=max{Dx1, Dx2, ×××, Dxn}, 取极限得所求面积
.
2. 利用定积分定义计算下列积分:
(1)(a<b);
解 取分点为(i=1, 2, ×××, n-1), 则(i=1, 2, ×××, n). 在第i个小区间上取右端点(i=1, 2, ×××, n). 于是
.
(2).
解 取分点为(i=1, 2, ×××, n-1), 则(i=1, 2, ×××, n). 在第i 个小区间上取右端点(i=1, 2, ×××, n). 于是
.
3. 利用定积分的几何意义, 说明下列等式:
(1);
解 表示由直线y=2x、x轴及直线x=1所围成的面积, 显然面积为1.
(2);
解 表示由曲线、x轴及y轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x2+y2=1的面积的:
.
(3);
解 由于y=sin x为奇函数, 在关于原点的对称区间[-p, p]上与x轴所夹的面积的代数和为零, 即
.
(4).
解 表示由曲线y=cos x与x轴上一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y轴对称. 因此图形面积的一半为, 即
.
4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p(单位面积上的压力大小)是水深h的函数, 且有p=9×8h (kN/m2). 若闸门高H=3m, 宽L=2m, 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P.
解 建立坐标系如图. 用分点(i=1, 2, ×××, n-1)将区间[0, H]分为n分个小区间, 各小区间的长为(i=1, 2, ×××, n).
在第i个小区间[xi-1, xi]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为
DPi=9.8xiL×Dxi .
闸门所受的水压力为
.
将L=2, H=3代入上式得P=88.2(千牛).
5. 证明定积分性质:
(1);
证明 .
(2).
证明 .
6. 估计下列各积分的值:
(1);
解 因为当1£x£4时, 2£x2+1£17, 所以
,
即 .
(2);
解 因为当时, 1£1+sin2x£2, 所以
,
即 .
(3);
解 先求函数f(x)=x arctan x在区间上的最大值M与最小值m.
. 因为当时, f ¢(x)>0, 所以函数f(x)=xarctan x在区间上单调增加. 于是
,
.
因此 ,
即 .
(4).
解 先求函数在区间[0, 2]上的最大值M与最小值m.
, 驻点为.
比较f(0)=1, f(2)=e2, , 得, M=e2. 于是
,
即 .
7. 设f(x)及g(x)在[a, b]上连续, 证明:
(1)若在[a, b]上, f(x)³0, 且, 则在[a, b]上f(x)º0;
证明 假如, 则必有f(x)>0. 根据f(x)在[a, b]上的连续性, 在[a, b]上存在一点x0, 使f(x0)>0, 且f(x0)为f(x)在[a, b]上的最大值.
再由连续性, 存在[c, d]Ì[a, b], 且x0Î[c, d], 使当xÎ[c, d]时, . 于是
.
这与条件相矛盾. 因此在[a, b]上f(x)º0.
(2)若在[a, b]上, f(x)³0, 且, 则;
证明 证法一 因为f(x)在[a, b]上连续, 所以在[a, b]上存在一点x0, 使f(x0)>0, 且f(x0)为f(x)在[a, b]上的最大值.
再由连续性, 存在[c, d]Ì[a, b], 且x0Î[c, d], 使当xÎ[c, d]时, . 于是
.
证法二 因为f(x)³0, 所以. 假如不成立. 则只有,
根据结论(1), f(x)º0, 矛盾. 因此.
(3)若在[a, b]上, f(x)£g(x), 且, 则在[a, b]上f(x)ºg(x).
证明 令F(x)=g(x)-f(x), 则在[a, b]上F(x)³0且
,
由结论(1), 在[a, b]上F(x)º0, 即f(x)ºg(x).
4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大:
(1)还是？
解 因为当0£x£1时, x2³x3, 所以.
又当0<x<1时, x2>x3, 所以.
(2)还是？
解 因为当1£x£2时, x2£x3, 所以.
又因为当1<x£2时, x2<x3, 所以.
(3)还是？
解 因为当1£x£2时, 0£ln x<1, ln x³(ln x)2, 所以
.
又因为当1<x£2时, 0<ln x<1, ln x>(ln x)2, 所以
.
(4)还是？
解 因为当0£x£1时, x³ln(1+x), 所以.
又因为当0<x£1时, x>ln(1+x), 所以.
(5)还是？
解 设f(x)=ex-1-x, 则当0£x£1时f ¢(x) =ex-1>0, f(x)=ex-1-x是单调增加的. 因此当0£x£1时, f(x)³f(0)=0, 即ex³1+x, 所以
.
又因为当0<x£1时, ex>1+x, 所以.
习题5-2
1. 试求函数当x=0及时的导数.
解 , 当x=0时, y¢=sin0=0;
当时, .
2. 求由参数表示式, 所给定的函数y对x的导数.
解 x¢(t)=sin t, y¢(t)=cos t, .
3. 求由所决定的隐函数y对x的导数.
解 方程两对x求导得
,
于是 .
4. 当x为何值时, 函数有极值？
解 , 令I ¢(x)=0, 得x=0.
因为当x<0时, I ¢(x)<0; 当x>0时, I ¢(x)>0,
所以x=0是函数I(x)的极小值点.
5. 计算下列各导数:
(1);
解
.
(2);
解
.
(3).
解
.
6. 计算下列各定积分:
(1);
解 .
(2);
解 .
(3);
解
.
(4);
解 .
(5);
解 .
(6);
解 .
(7);
解 .
(8);
解
.
(9);
解 .
(10);
解 .
(11);
解
=-cosp +cos0+cos2p-cosp=4.
(12), 其中.
解 .
7. 设k为正整数. 试证下列各题:
(1);
证明 .
(2);
证明
.
(3);
证明 .
(4).
证明 .
8. 设k及l为正整数, 且k¹l. 试证下列各题:
(1);
证明
.
(2);
证明
.
(3).
证明 .
.
9. 求下列极限:
(1);
解 .
(2).
解
.
10. 设. 求在[0, 2]上的表达式, 并讨论j(x)在(0, 2)内的连续性.
解 当0£x£1时, ;
当1<x£2时,
.
因此 .
因为, ,
,
所以j(x)在x=1处连续, 从而在(0, 2)内连续.
11. 设. 求在
(-¥, +¥)内的表达式.
解 当x<0时,
;
当0£x£p时,
;
当x>p时,
.
因此 .
12. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导且f ¢(x)£0,
.
证明在(a, b)内有F¢(x)£0.
证明 根据积分中值定理, 存在xÎ[a, x], 使
.
于是有
.
由f ¢(x)£0可知f(x)在[a, b]上是单调减少的, 而a£x£x, 所以f(x)-f(x)£0. 又在(a, b)内, x-a>0, 所以在(a, b)内
.
习题5-3
1. 计算下列定积分:
(1);
解 .
(2);
解 .
(3);
解
.
(4);
解
.
(5);
解
.
(6);
解
.
(7);
解
.
(8);
解
.
(9);
解
.
(10);
解
.
(11);
解 .
(12) ;
解
.
(13);
解
.
(14);
解
.
(15);
解 .
(16);
解 .
(17);
解
.
(18);
解 .
(19);
解
.
(20).
解 .
2. 利用函数的奇偶性计算下列积分:
(1);
解 因为x4sin x在区间[-p, p]上是奇函数, 所以
.
(2);
解
.
(3);
解
.
(4).
解 因为函数是奇函数, 所以.
3. 证明: , 其中j(u)为连续函数.
证明 因为被积函数j(x2)是x的偶函数, 且积分区间[-a, a]关于原点对称, 所以有
.
4. 设f(x)在[-b, b]上连续, 证明.
证明 令x=-t, 则dx=-dt, 当x=-b时t=b, 当x=b时t=-b, 于是
,
而 ,
所以 .
5. 设f(x)在[a, b]上连续., 证明.
证明 令x=a+b-t, 则dx=d t, 当x=a时t=b, 当x=b时t=a, 于是
,
而 ,
所以 .
6. 证明: .
证明 令, 则, 当x=x时, 当x=1时t=1, 于是
,
而 ,
所以 .
7. 证明: .
证明 令1-x=t , 则
,
即 .
8. 证明: .
证明 ,
而 ,
所以 .
9. 设f(x)是以l为周期的连续函数, 证明的值与a无关.
证明 已知f(x+l)=f(x).
,
而 ,
所以 .
因此的值与a无关.
10. 若f(t)是连续函数且为奇函数, 证明是偶函数; 若f(t)是连续函数且为偶函数, 证明是奇函数.
证明 设.
若f(t)是连续函数且为奇函数, 则f(-t)=-f(t), 从而
,
即是偶函数.
若f(t)是连续函数且为偶函数, 则f(-t)=f(t), 从而
,
即是奇函数.
11. 计算下列定积分:
(1);
解 .
(2);
解
.
(3)(w为常数);
解
.
(4);
解
.
(5);
解
.
(6);
解
.
(7);
解
所以 .
(8);
解
.
(9);
解
.
(10);
解法一
.
因为
,
所以 .
因此 .
解法二
,
故 .
(11);
解
.
(12)(m为自然数);
解 .
根据递推公式,
(13)(m为自然数).
解 因为
,
所以
(用第8题结果).
根据递推公式,
习题5-4
1. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:
(1);
解 因为
,
所以反常积分收敛, 且.
(2);
解 因为, 所以反常积分发散.
(3)(a>0);
解 因为
,
所以反常积分收敛, 且.
(4)(p>1);
解 因为
,
所以反常积分收敛, 且.
(5)(p>0, w>0);
解
,
所以 .
(6);
解 .
(7);
解 这是无界函数的反常积分, x=1是被积函数的瑕点.
.
(8);
解 这是无界函数的反常积分, x=1是被积函数的瑕点.
因为
,
而 ,
所以反常积分发散.
(9);
解 这是无界函数的反常积分, x=1是被积函数的瑕点.
.
(10).
解 这是无界函数的反常积分, x=e是被积函数的瑕点.
.
2. 当k为何值时, 反常积分收敛? 当k为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?
解 当k<1时,
;
当k=1时,
;
当k>1时,
.
因此当k>1时, 反常积分收敛; 当k£1时, 反常积分发散.
当k>1时, 令, 则
.
令f ¢(k)=0得唯一驻点.
因为当时f ¢(k)<0, 当时f ¢(k)>0, 所以为极小值点, 同时也是最小值点, 即当时, 这反常积分取得最小值
3. 利用递推公式计算反常积分.
解 因为
,
所以 In= n×(n-1)×(n-2)×××2×I1.
又因为 ,
所以 I n= n×(n-1)×(n-2)× × ×2×I1=n!.
总习题五
1. 填空:
(1)函数f(x)在[a, b]上(常义)有界是f(x)在[a, b]上可积的______条件, 而f(x)在[a, b]上连续是f(x)在[a, b]上可积______的条件;
解 函数f(x)在[a, b]上(常义)有界是f(x)在[a, b]上可积的___必要___条件, 而f(x)在[a, b]上连续是f(x)在[a, b]上可积___充分___的条件;
(2)对[a, +¥)上非负、连续的函数f(x), 它的变上限积分在[a, +¥)上有界是反常积分收敛的______条件;
解 对[a, +¥)上非负、连续的函数f(x), 它的变上限积分在[a, +¥)上有界是反常积分收敛的___充分___条件;
(3)绝对收敛的反常积分一定______;
解 绝对收敛的反常积分一定___收敛___;
(4)函数f(x)在[a, b]上有定义且|f(x)|在[a, b]上可积, 此时积分______存在.
解 函数f(x)在[a, b]上有定义且|f(x)|在[a, b]上可积, 此时积分___不一定___存在.
2. 计算下列极限:
(1);
解 .
(2)(p>0);
解 .
(3);
解
.
(4), 其中f(x)连续;
解法一 (用的是积分中值定理).
解法二 (用的是洛必达法则).
(5).
解 .
3. 下列计算是否正确, 试说明理由:
(1);
解 计算不正确, 因为在[-1, 1]上不连续.
(2)因为, 所以.
解 计算不正确, 因为在[-1, 1]上不连续.
(3).
解 不正确, 因为
.
4. 设p>0, 证明.
证明 . 因为
,
而 , ,
所以 .
5. 设f (x)、g (x)在区间[a, b]上均连续, 证明:
(1);
证明 因为[f(x)-lg(x)]2³0, 所以l2g 2(x)-2l f(x)g(x)+f 2(x)³0, 从而
.
上式的左端可视为关于l的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即
,
亦即 .
(2),
证明
,
又 ,
所以 .
6. 设f (x)在区间[a, b]上连续, 且f (x)>0. 证明.
证明 已知有不等式, 在此不等式中, 取, , 则有
,
即 .
7. 计算下列积分:
(1);
解
.
(2);
解
.
令 则
,
所以 .
(3);
解 令x=a sin t, 则
.
又令, 则
,
所以 .
(4);
解
.
(5).
解
.
8. 设f(x)为连续函数, 证明.
证明
.
9. 设f(x)在区间[a, b]上连续, 且f(x)>0, , xÎ[a, b]. 证明:
(1)F ¢(x)³2;
(2)方程F(x)=0在区间(a, b)内有且仅有一个根.
证明 (1).
(2)因为f(x)>0, a<b, 所以
, ,
由介值定理知F(x)=0在(a, b)内有根. 又F¢¢(x)³2, 所以在(a, b)内仅有一个根.
10. 设 , 求.
解
.
11. 设f(x)在区间[a, b]上连续, g(x)在区间[a, b]上连续且不变号. 证明至少存在一点
xÎ[a, b], 使下式成立
(积分第值定理) .
证明 若g(x)=0, 则结论题然成立.
若g(x)¹0, 因为g(x)不变号, 不妨设g(x)>0.
因f(x)在[a, b]上连续, 所以f(x)在[a, b]上有最大值M和最小值m即
m£f(x)£M,
因此有 mg(x)£f(x)g(x)£Mg(x).
根据定积分的性质, 有
,
或 .
因为f(x)在[a, b]上连续, 根据介值定理, 至少存在一点xÎ(a, b), 使
,
即 .
*12.(1)证明:
证明
=
(2)证明
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