高中物理竞赛-话题4：曲率半径问题.doc

话题4：曲率半径问题
一、曲率半径的引入
在研究曲线运动的速度时，我们作一级近似，把曲线运动用一系列元直线运动来逼近。因为在 的极限情况下，元位移的大小和元弧的长度是一致的，故“以直代曲”，对于描述速度这个反映运动快慢和方向的量来说已经足够了。
对于曲线运动中的加速度问题，若用同样的近似，把曲线运动用一系列元直线运动来代替，就不合适了。因为直线运动不能反映速度方向变化的因素。亦即，它不能全面反映加速度的所有特征。如何解决呢？圆周运动可以反映运动方向的变化，因此我们可以把一般的曲线运动，看成是一系列不同半径的圆周运动，即可以把整条曲线，用一系列不同半径的小圆弧来代替。也就是说，我们在处理曲线运动的加速度时，必须“以圆代曲”，而不是“以直代曲”。可以通过曲线上一点与无限接近的另外两个相邻点作一圆，在极限情况下，这个圆就是点的曲率圆。
二、曲线上某点曲率半径的定义
在向心加速度公式中为曲线上该点的曲率半径。
圆上某点的曲率半径与圆半径相等，在中学物理中研究圆周运动问题时利用了这一特性顺利地解决了动力学问题。我们应该注意到，这也造成了对意义的模糊，从而给其它运动的研究，如椭圆运动、抛体运动、旋轮线运动中的动力学问题设置了障碍。
曲率半径是微积分概念，中学数学和中学物理都没有介绍。曲率是用来描述曲线弯曲程度的概念。曲率越大，圆弯曲得越厉害，曲率半径越小，且。这就是说，曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。
二、曲线上某点曲率半径的确定方法
1、 从向心加速度的定义式出发。
将加速度沿着切向和法向进行分解，找到切向速度和法向加速度，再利用求出该点的曲率半径。
例1、将的小球从点以的初速度水平抛出，设重力加速度，求：
在抛出点的曲率半径；
抛出后时的曲率半径。
解析: 初时在点向心加速度，方向竖直向下，所以小球在曲线上点的曲率半径
如图，抛出后时到达点，切向速度，.
向心加速度
小球在点的曲率半径
2、已知曲线，由可得某点曲率半径。
证明：对于任意曲线，均可理解为方向的匀速直线运动及方向的变速运动的叠加。

如图，速度沿切向，

例2、筑路工人把从山上挖出来的土石，盛在一个箩筐里，沿一条钢索道滑到山下。如索道形状为的抛物线，且箩筐及它所盛的土石可以看作质量的质点。求箩筐自处自由滑至抛物线顶点时箩筐对钢索的压力大小。
解析：如图所示，建立坐标系，钢索呈顶点为坐标原点、开口向上的抛物线。箩筐自处自由滑至抛物线顶点时速度大小，方向沿方向。
抛物线上任意点的曲率半径

在原点，，所以。而此时，所以。
3、矢量分解法求椭圆的长轴与短轴端点的曲率半径(已知长半轴和短半轴分别为和)。
如图所示，设质点在平面内沿椭圆轨道以速率运动。这个运动在平面的一个分运动轨道恰成半径为的圆，则两平面间夹角。
对于椭圆上点，设曲率半径为，质点以线速度通过点，则该点的向心加速度
对在平面上的投影点，其线速度为,向心加速度为沿平面方向分量，则
比较、两式可得,同理，对点及其投影点有
,
即
4、构造运动法
构造两个相互垂直的分运动，写出分运动表达式。
如图所示为椭圆 ，求椭圆上A、B两点处的曲率半径。
解：椭圆 ，可以看成是两个函数的合成。
,
即可进一步写出,两个方向的速度和加速度
则 ,
,
在处，， ,
求得处的曲率半径为
在处，， ,
求得处的曲率半径为
5、利用开普勒第二定律和机械能守恒定律求椭圆的曲率半径
例3、地球绕太阳（固定）作椭圆运动，已知轨道半长轴为，半短轴为，如图所示，试求地球在椭圆各顶点、、的运动速度的大小及其曲率半径．
解：对顶点、，由机械能守恒定律有

根据开普勒第二定律有

式中
由式解得

由万有引力提供向心力得

解得
对顶点，由机械能守恒得
将代入得
同样可得
例4、已知抛物线，求其任意一点的曲率半径。
解、设有图甲所示抛物线，为求其上某点例如点处的曲率半径，可设想一质点以速度做平抛运动，平抛运动是水平方向的匀速直线运动与竖直方向自由落体运动的合成，设运动时间质点水平位移，竖直下落高度,则
消去，
得 可知平抛物体运动的轨迹为一条抛物线，如图乙所示。
若取，则该轨迹即是旋转了的抛物线。
取平抛轨迹上任意一点，该点速度为,与水平成角，加速度为，该点曲率半径以表示，向心加速度是的分量且有

根据运动的合成，式中

则有

将变量、对应于,.则抛物线上各点的曲率半径为

将代入，指定点曲率半径为.
例5、旋转半径为、螺距为的等距螺旋线,曲率半径处处相同。试用运动学方法求解值。
解、设物体以做匀速率的圆周运动、同时以沿垂直于方向做匀速直线运动，每前进一个螺距，完成一次圆周，即有，
尽管螺旋线是一条三维空间的曲线，但可以利用与二维平面曲率半径相类似的原则来确定螺旋线的曲率半径。因为在三维曲线上取一小线元，当线元趋于零时，必将趋于同一平面上的小圆弧，对应的圆弧半径就是在该处的曲率半径。由此可写出法向加速度。
由于速率不变，无切向加速度。
设曲率半径为，则有

则由此两式可得
。
例6、一个刚性圆轮在直线轨道上作纯滚动，圆轮边缘上一点经历的轨迹称为滚线（又称旋轮线、摆线）。所谓纯滚动就是圆轮与直线轨道的接触点无相对运动。设圆轮半径为。
试写出滚线的轨道方程（利用滚过的角度作为参量，如图所示）
试求滚线上各点的曲率半径（用物理方法）。
解、如图所示，设点在直线轨道的点开始，随着圆轮向右滚动，点将在滚动平面内经历一条轨迹。建立坐标。
由图容易得到任一位置（以滚动角度表示）时，点的坐标分别为

这就是参数为的滚线轨道方程。
滚线的形状与圆轮滚动快慢无关。但为了用物理方法给出曲线上各点的曲率半径，我们选择一种圆轮滚动的方式，然后由此运动算出圆轮上点的速度和法向加速度，最后求出曲率半径。
设圆轮滚动时，圆心以不变的速度沿直线轨道向右运动，同时圆轮绕圆心以不变的角速度转动，为保证圆轮在直线上作纯滚动，应有关系式

设圆轮滚动角时点在图示位置，点瞬时速度为

其方向必沿滚线在点的切线方向。
点的加速度为

此处已利用是常量，轮心作匀速运动。是点相对点的相对速度。此式说明，由于牵连加速度为零，绝对加速度等于相对加速度。且

方向由指向。因此，点的法向加速度为

这里点处曲线的法向为方向。由式和，得点曲率半径为

这就是各处曲线的曲率半径。
几个特殊点的曲率半径：

（曲线的最高点）
例7、与水平方向成角以初速度抛出石块，石块沿某一轨迹运动，为石块上升的最大高度，如果一只鸟以大小恒定的速度也沿这轨迹飞行，求鸟飞到高度处的加速度。空气阻力不计。
解、石块上升的最大高度由初速度的竖直分速度决定

根据机械能守恒定律可求出石块在高度处的速度

速度与水平线的倾角（如图）由下式得出

式中是石块的水平速度。
因而

垂直运动轨迹方向盘上的石块分加速度等于

式中是在高度处轨迹的曲率半径，它等于

由此可知鸟在这点的加速度为

例8、一条光滑的抛物线轨道，在直角坐标系中的方程为,式中,单位为米。有一质点从起始位置无初速度地滑下，问质点在何处离开抛物线轨道。
解、设质点在处飞离抛物线，质点从处滑到处时（如图），根据机械能守恒定律，可得质点速度
再设点处抛物线的曲率半径为，半径与竖直方向夹角为，根据牛顿第二定律，在半径方向有：

式中含和两个变量，须一一解出。
先用物理方法求曲率半径。设某质点自原点沿抛物线向位置运动（如图），其在轴分运动为匀速运动，速度设为，则在轴上运动方程为。由可得质点在轴分运动为，所以质点在轴方向做初速为零，加速度为的匀加速直线运动，参照图可知，质点沿半径方向分加速度
而在任何位置质点速度
由
得
将代入式中得
因为
将代入式中，得方程
解此方程，一个合理解为，相应地。
所以质点从滑下，将在处飞离抛物线。

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