【高中物理】曲线运动教案讲义.doc

曲线运动
一、基础知识
1.曲线运动
（1）定义：轨迹是一条曲线的运动叫做曲线运动。曲线运动一般可以看作几个直线运动的合成。
（2）条件：质点所受合外力的方向跟它的速度方向 不在同一直线上 。也可以理解为加速度方向与速度方向 不在同一直线上 。
（3）特点：轨迹是一条曲线；某点瞬时速度方向就是通过这一点的 切线 的方向；运动方向时刻在改变，所以是变速运动，必具有加速度；合外力始终指向运动轨迹的内侧。
2.运动的合成与分解
（1）合运动与分运动的关系：各分运动经历的时间与合运动经历的时间 相同 ；一个物体同时参与几个分运动，各分运动 同时 进行，不受其他分运动的影响；各分运动叠加起来与合运动有 相同 的效果。
（2）运算法则：运动的合成与分解是指描述运动的各物理量如位移、速度、加速度的合成与分解。由于它们都是矢量，所以合成与分解都遵循 平行四边形法则 。
（3）已知分运动求合运动，叫做运动的合成；已知合运动求分运动，叫做运动的分解。分运动与合运动是一种 等效代替 的关系。
3.平抛运动
（1）定义：水平抛出的物体只在 重力 作用下的运动。
（2）性质：加速度为 重力加速度g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
（3）研究方法：平抛运动可以分解为水平方向上的 匀速直线 运动和竖直方向上的 自由落体 运动。
（4）运动时间和射程：时间t=仅取决于竖直下落的高度；射程x=v0取决于初速度和高度。
（5）规律；水平分速度 vx=v0 ；竖直分速度 vy=gt ；合速度大小 v= ；速度与水平方向夹角θ，则tanθ= ；水平分位移 x′=v0t ；竖直分位移 y′=gt2 ；合位移 x合= 。
4.斜抛运动
（1）定义：将物体以速度v0斜向上或斜向下方抛出，物体只在 重力 作用下的运动。
（2）性质：加速度为 重力加速度g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
（3）规律：速度与水平方向夹角θ，水平分初速度 v0x=v0cosθ；竖直分初速度 v0y= v0sinθ。
5.圆周运动
（1）描述圆周运动的几个物理量：线速度v、角速度ω、周期T、频率f、转速n、向心加速度a、向心力F。
（2）公式及相互关系：v===2πrf ，ω== ，T== ，a==ω2r=ωv==4π2f2r ，F=ma==mω2r=mωv，= 。
（3）竖直平面内的圆周运动：

轻绳模型
轻杆模型
常见类型
轻绳、圆轨道
轻杆、光滑管道
过最高点的临界条件
有mg=m 得，v临=
由小球恰能运动即可得v临=0
讨论分析
（1） 过最高点时，v≥ ，
FN+mg= m ，绳、轨道对球产生弹力FN
（2）不能过最高点，v＜ ，在达到最高点前小球已经脱离了圆轨道
（1）当v=0 时，FN=mg，FN为支持力，沿杆半径背离圆心
（2）当0＜v＜ 时，mg-FN= m，FN背离圆心，随v的增大而减小
（3）当v= 时，FN=0
（4）当v＞ 时，FN+mg= m ，FN指向圆心并随v的增大而增大

二、常规题型
例1.下列关于曲线运动的说法中正确的是（ B ）
A. 速度大小不变的曲线运动是匀速运动
B. 曲线运动一定是变速运动
C. 变速运动一定是曲线运动
D. 曲线运动不可能是匀变速运动

练习1.如图所示的曲线是某个质点在恒力作用下的一段运动轨迹．质点从M点出发经P点到达N点，已知弧长MP大于弧长PN，质点由M点运动到P点与从P点运动到N点的时间相等．下列说法中正确的是（ B ）
A. 质点从M到N过程中速度大小保持不变
B. 质点在这两段时间内的速度变化量大小相等，方向相同
C. 质点在这两段时间内的速度变化量大小不相等，但方向相同
D. 质点在MN间的运动不是匀变速运动
练习2. 关于物体所受合外力的方向，下列说法正确的是（ AD ）
A. 物体做速率逐渐增加的直线运动时，其所受合外力的方向一定与速度方向相同
B. 物体做变速率曲线运动时，其所受合外力的方向一定改变
C. 物体做变速率圆周运动时，其所受合外力的方向一定指向圆心
D. 物体做匀速率曲线运动时，其所受合外力的方向总是与速度方向垂直

练习3. 某物体在三个力作用下做匀速直线运动，若其中某个力突然消失，而其余两个力不变，则该物体的运动可能变为（ B ）
A. 匀速直线运动
B. 匀变速曲线运动
C. 匀速圆周运动
D. 机械振动

小结：物体受力不变→加速度不变→匀变速运动
例2.船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2．为使船行驶到河正对岸的码头，则v1、v2的方向应为（ C ）
A.  B.  C.  D. 

练习1.水平面上有一个直尺，某时刻起从静止开始向右做匀加速直线运动，同时用
笔尖靠在直尺上端匀速向下滑动，则笔尖画出的图形是（ D ）
A.  B.  C.  D. 

练习2.甲、乙两球位于同一竖直直线上的不同位置，甲比乙高出h，如图所示，将甲、乙两球分别以v1、v2的速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是（ D ）
A. 同时抛出，且v1＜v2 B. 甲迟抛出，且v1＞v2
C. 甲早抛出，且v1＞v2 D. 甲早抛出，且v1＜v2

练习3.如图所示．AB杆和墙的夹角为α时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则下列关系正确的是（ C ）
A. v=v2
B. v1=v2cosα
C. v=v2tanα
D. v1=v2sinα
将A点的速度分解为沿杆子方向和垂直于杆子方向，在沿杆子方向上的分速度为v1∥=v1cosα，将B点的速度分解为沿杆子方向和垂直于杆子方向，在沿杆子方向上的分速度v2∥=v2sinα．由于v1∥=v2∥，所以v1=v2tanα
例3.物体做平抛运动，下列说法正确的是（ C ）
A. 加速度的方向时刻改变 B. 速度的变化率不断增大
C. 任意一段时间内速度变化量的方向均竖直向下
D. 第1秒内、第2秒内、第3秒内的位移之比为1：3：5

练习1.如图，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则（ BD ）
A. a的飞行时间比b的长
B. b和c的飞行时间相同
C. a的水平速度比b的小
D. b的初速度比c的大

练习2.如图所示，斜面上A、B、C三点等距，
小球从A点正上方D点以初速度v0水平抛出，忽略空气阻力，
恰好落在C点．若小球落点位于B，则其初速度应满足（ B ）
A. v=v0 B. v＜v0 C. v0＞v＞v0 D. v＞v0
过C作水平辅助线，练习3同
练习3.斜面上有P、R、S、T四个点，如图所示，PR=RS=ST，从P点正上方
的点以速度v水平抛出一个物体，物体落于R点，若从Q点以速度2v水平
抛出一个物体，不计空气阻力，则物体落在斜面上的（ B ）
A. S点 B. R与S间的某一点 C. S与T间某一点 D. T点
例4.如图所示，某同学斜向上抛出一小石块，忽略空气阻力．下列关于小石块在空中运动的过程中，加速度a随时间t变化的图象中，正确的是（ B ）

A.  B.  C.  D. 

练习1.关于斜抛运动，下列说法中正确的是（ AD ）
A. 斜抛运动是曲线运动 B. 斜抛运动是直线运动
C. 斜抛运动的初速度是水平的 D. 斜抛运动的加速度是恒定的

练习2.如图甲喷出的水做斜抛运动，图乙为斜抛物体的轨迹，对轨迹上的两点A、B下列说法正确的是（不计空气阻力）（ BC ）
A. A点的速度方向沿切线向下，合力方向竖直向下
B. A点的速度方向沿切线向上，合力方向竖直向下
C. B点的速度方向沿切线向下，合力方向竖直向下
D. B点的速度方向沿切线向下，合力方向竖直向上

例5.某物体做匀速圆周运动，以下说法正确的是（ D ）
A. 该物体必须受到恒力的作用
B. 该物体所受合力必须等于零
C. 匀速圆周运动是一种匀变速运动
D. 匀速圆周运动是一种速度和加速度都不断变化的运动

练习1.关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ B ）
A. 匀速圆周运动是匀速运动
B. 匀速圆周运动是变速运动
C. 匀速圆周运动是角速度变化的运动
D. 匀速圆周运动是周期变大的运动

练习2.如图所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动．以下关于A、B两球作圆周运动时的速度（VA、VB）、角速度（ωA、ωB）、加速度（aA、aB）和对锥壁的压力（NA、NB）的说法正确的是（ A ）
A. VA＞VB B. ωA＞ωB C. aA＞aB D. NA＞NB
两个小球的质量相同,所以两个小球的受力相同，
它们的向心力的大小和受到的支持力的大小都相同，
所以有 NA=NB，aA=aB，故C、D错误，由于它们的受力相同，
向心力的大小也相同，由向心力的公式 Fn=m 可知，
半径大的，线速度大，所以VA＞VB，故A正确，由向心力的公式 Fn═mω2r 可知，半径大的，角速度小，所以ωA＜ωB，故B错误．

练习3.绳子的一端拴一个重物，用手握住另一端，使重物在光滑的水平面内做匀速圆周运动，下列判断正确的是（ B ）
A. 半径相同时，角速度越小绳越易断Fn=mω2r
B. 周期相同时，半径越大绳越易断Fn=m r
C. 线速度相等时，周期越大绳越易断Fn=mvω=mv
D. 角速度相等时，线速度越小绳越易断Fn=mvω

三、重点难点
例1.（2010•江苏）如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度（ A ）
A. 大小和方向均不变
B. 大小不变，方向改变
C. 大小改变，方向不变
D. 大小和方向均改变
橡皮参加了两个分运动，水平向右匀速移动，竖直向上匀速运动，根据平行四边形法则，两个速度的合速度也是匀速直线运动

练习1.（2011•上海）如图，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为α，船的速率为（ C ）
A. vsinα
B.
C. vcosα
D.

练习2.（2013,上海）图为在平静海面上，两艘拖船A、B拖着驳船C运动的示意图．A、B的速度分别沿着缆绳CA、CB方向，A、B、C不在一条直线上．由于缆绳不可伸长，因此C的速度在CA、CB方向的投影分别与A、B的速度相等，由此可知C的（ BC ）
A. 速度大小可以介于A、B的速度大小之间
B. 速度大小一定不小于A、B的速度大小
C. 速度方向可能在CA和CB的夹角范围外
D. 速度方向一定在CA和CB的夹角范围内
船C沿着绳子靠向A船的同时还要绕A船转动；船C沿着绳子靠向B船的同时还要绕B船转动，先将船C的速度先沿着平行AC绳子和垂直AC绳子方向正交分解；再将船C的速度先沿着平行BC绳子和垂直BC绳子方向正交分解；由于绳子不可伸长，故每条船沿着绳子方向的分速度是相等的；由于船C的速度方向未知，可能在AC与BC绳子之间，也可能不在在AC与BC绳子之间，故两船速度大小无法比较，但两拖船速度一定小于C船速度；故A错误，B正确；C、D、由于船C的合速度方向未知，可以在AC与BC绳子之间，也可能不在在AC与BC绳子之间，故C正确，D错误；
练习3.（2011•江苏）如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA=OB．若水流速度不变，两人在靜水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为（ C ）
A. t甲＜t乙
B. t甲=t乙
C. t甲＞t乙
D. 无法确定
设游速为v，水速为v0，OA=OB=x，则甲整个过程所用时间：t 甲= +=2x ，乙为了沿OB运动，速度合成如图：则乙整个过程所用时间：t乙=x=2x ，∵v＞，∴t甲＞t乙
例2.（2012·上海）如图，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点。若小球初速变为v，其落点位于c，则 （ A ）
（A）v0< v <2v0 （B）v=2v0
（C）2v0< v <3v0 （D）v>3v0
过B点作水平辅助线

练习1.（2013·安徽卷）18.由消防水龙带的喷嘴喷出水的流量是0.28m3/min，水离开喷口时的速度大小为，方向与水平面夹角为60度，在最高处正好到达着火位置，忽略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是（重力加速度g取10m/s2）（ A ）
A.28.8m 1.12×10-2m3 B. 28.8m 0.672m3
C. 38.4m 1.29×10-2m3 D. 38.4m 0.776m3
物体做斜抛运动，vy=v0sin60°=24m/s ，h= =28.8m ，t= =2.4s
所以水量 V=2.4×0.28÷60=1.12×10-2

练习2.（2013·上海卷）19．如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A。已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出（ ABC ）

(A)轰炸机的飞行高度
(B)轰炸机的飞行速度
(C)炸弹的飞行时间
(D)炸弹投出时的动能
如图的几何关系可得x=,x已经求出。水平竖直速度关系，tanθ= = = ，可求出y，
y= gt2 ，可求出t，答案C对。飞行高度为y+h,答案A对。飞行速度v0= ，答案B对。

练习3.（2011,广东）如图6所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上。已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是( AB )

A、球的速度v等于
B、球从击出到落地的时间为
C、球从击出点到落地点的位移等于L
D、球从击出点到落地点的位移与球的质量有关

练习4.在倾角为37°的斜面上，从A点以6m/s的初速度水平抛出一个小球，小球落在B点。如图所示，求小球刚碰到斜面时的速度方向（可用速度与水平方向夹角的正切表示）、AB两点间的距离和小球在空中飞行的时间。（tan37°=0.75，cos37°=0.8，g=10m/s2）
小球落到B点时速度偏角为α，运动时间为t，则：
tan37°= 又因为tan37°=     
解得t=0.9s     B两点间水平距离S=v0t=6×0.9m=5.4m
A．B两点间距离
在B点时，
所以，小球捧到斜面时速度方向与水平方向间的夹角为arctan

例3.（2014·新课标全国卷Ⅰ）如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度．下列说法正确的是( AC )
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝ 是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg

练习1.（2014·新课标Ⅱ卷）如图，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g.当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为( C )
A．Mg－5mg B．Mg＋mg C．Mg＋5mg D．Mg＋10mg
小环在最低点时，对整体有T－(M＋m)g＝，其中T为轻杆对大环的拉力；小环由最高处运动到最低处由动能定理得mg·2R＝mv2－0，联立以上二式解得T＝Mg＋5mg，由牛顿第三定律知，大环对轻杆拉力的大小为T′＝T＝Mg＋5mg

练习2.（2014·安徽卷）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是( C )
A. rad/s B. rad/s C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
物体在最低点最可能出现相对滑动，对物体进行受力分析，
应用牛顿第二定律，有μmgcos θ－mgsin θ＝mω2r，解得ω＝1.0 rad/s
练习3.（2013·新课标II卷）公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处，( AC )
A.路面外侧高内侧低
B.车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C.车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D.当路面结冰时，与未结冰时相比，vc 的值变小

练习4. 一人用一根长L=1m，最大只能承受T=46N拉力的轻绳子，拴着一个质量m=1kg的小球（不考虑其大小），在竖直平面内作圆周运动，已知圆心O离地高H=21m，如图所示，若小球运动到达最低点时绳刚好被球拉断，（g=10m/s2）求：
（1）小球到达最低点的速度大小是多少?
（2）小球落地点到O点的水平距离是多少?
（1）在最低点，小球做圆周运动的向心力是拉力和重力的合力，
故T-mg=m ，绳子要断开，拉力达到最大值46N，带入数据得v=6m/s
（2）因为在最低点的速度是水平的，所以断开后，小球做平抛运动，抛出点离地面的高度为h=H-r=20m
由平抛运动规律得，竖直方向上h=gt2，水平方向x=vt，带入数据得x=12m。

练习5.足够高的竖直墙壁M、N之间有一根水平光滑细杆，在杆上A点的左侧某位置处套有一细环，一质量为m的小球用长为L的轻质细绳系在环上．N墙壁上的B点与小球等高，现让环与小球一起以v=
的速度向右运动．环运动到A点被挡住而立即停止．已知杆上A点离N墙壁的水平距离为L，细绳能承受的最大拉力为2.5mg．不计空气阻力，则下列说法中正确的是（ D ）
A. 细绳不会断裂，与N墙壁碰前小球做圆周运动
B. 小球与N墙壁碰撞时的速度为
C. 小球与N墙壁的碰撞点到B点的距离为
D. 小球与N墙壁的碰撞点到B点的距离为
环碰到A点时绳的拉力F-mg=m，F=mg+ m =3mg＞2.5mg，绳子断裂，之后小球做平抛运动，A错。小球在水平方向运动的时间t== = ，则竖直方向的位移为gt2=，C错D对。竖直方向的分速度为gt=，所以合速度为=，B错。

例4.一条宽度为L的河，水流速度为V水，已知船在静水中速度为V船，那么：
（1）怎样渡河时间最短？
（2）若V船＞V水，怎样渡河位移最小？
（3）若V船＜V水，怎样渡河船漂下的距离最短？
（1）设船头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向
的速度分量为v1=v船sinθ，渡河所需时间t= = ，
可以看出，当v船、L一定，θ=90°时，t最小，tmin=
（2）渡河的最小位移即为河的宽度L，为使位移等于L，必须让船的
合速度方向与河岸垂直，这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定
角度θ，根据三角函数关系有：v船cosθ-v水=0，得cosθ= ，θ=arccos 。
（3）如果水流速度大于船在静水中速度，则不论船头方向如何船都会被冲向下游，为使漂下的距离最短，设v船与河岸成θ角，合速度与河岸成α角，可以看出，α角越大，船漂下的距离越小。以v水的末端为圆心，当v合与圆相切时，α角最大，根据cosθ= 可得，船头与河岸的夹角应为θ=arccos。船漂下的最短距离为xmin=（v水-v船cosθ），此时渡河的最短位移大小为s= = 。

练习1.（2014·四川卷）有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( B )
A. B. C. D.
设河岸宽为d，船速为u，则根据渡河时间关系得 ∶＝k，解得u＝