第10章静电学思考题及习题解答.doc

第十章 思 考 题oERS思考题10-110-1 在空间有一非均匀电场，其电力线分布如图所示。在电场中作一半径为R的闭合球面S，已知通过球面上某一面元S的电场强度通量为e，则通过该球面其余部分的电场强度通量为(A)-e； (B)；(C)； (D)0。答：(A)10-2 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： (A)如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷。(B)如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零。 (C)如果高斯面上E处处不为零,则高斯面内必有电荷。 (D)如果高斯面内有净电荷,则通过高斯面的电通量必不为零。 (E)高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场。答：(D)+qPaaM思考题10-310-3 在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点，则M点的电势为 (A)； (B)；(C)； (D)。答：(D)10-4 如图所示，直线MN长为2l，弧OCD是以N点为中心、l为半径的半圆弧，N点有正电荷+q，M点有负电荷-q。今将一试验电荷+q0从O点出发沿路径OCDP移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功(A)A0且为有限常量；MNODPC-q+q思考题10-4 (C)A=； (D)A=0。答：(D)10-5 关于电场强度与电势之间的关系，下列说法中，哪一种是正确的?(A)在电场中，场强为零的点，电势必为零。(B)在电场中，电势为零的点，电场强度必为零。(C)在电势不变的空间，场强处处为零。(D)在场强不变的空间，电势处处相等。答：(C)10-6 在真空中半径分别为R和2R的两个同心球面，其上分别均匀地带有电量+q和-3q。今将一电量为+Q的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子到达外球面时的动能为(A)； (B)；(C)； (D)。答：(C)10-7 图示为一个均匀带电球体，总电量为+Q，其外部同心地罩一内、外半径分别为r1，r2的金属球壳，设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r的P点处的场强和电势为+QPr1r2r思考题10-7(A)；(B)；(C)；+ss1s2AB思考题10-8(D)。答：(D)10-8 一“无限大”均匀带电平面A，其附近放一与它平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B，如图所示，已知A上的电荷面密度为+，则在导体板B的两个表面1和2上的感应电荷面密度分别为(A)； (B)； (C)； (D)。答：(B)10-9 一导体球外充满相对介电常数为r的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E，则导体球面上的自由电荷面密度为(A)0E； (B)0rE； (C)rE； (D)(0r-0)E。答：(B)11-10 C1和C2两空气电容器串联以后接电源充电，在电源保持连接的情况下，在C2中插入一电介质板，则C1C2思考题10-10(A)C1极板上电量增加，C2极板上电量增加。(B)C1极板上电量减少，C2极板上电量增加。(C)C1极板上电量增加，C2极板上电量减少。(D)C1极板上电量减少，C2极板上电量减少。答：(A)10-11 金属球A与同心球壳B组成电容器，球A上带电荷q，壳B上带电荷Q，测得球与壳间电势差UAB，可知该电容器的电容值为(A)q/UAB； (B)Q/UAB； (C)(q+Q)/UAB； (D)(q-Q)/(2UAB)。答：(A)10-12 一平行板电容器充电后，与电源断开，然后再充满相对介电常数为r的各向同性均匀电介质，则其电容C、两极板间的电势差U12及电场能量We与充介质前比较将发生如下变化：(A)C U12 We; (B)C U12 We;(C)C U12 We; (D)C U12 We。答：(B)习 题10-1 一个电偶极子的电矩为p=ql，证明此电偶极子轴线上距其中心为r(rl)处的一点场强为。 证 电偶极子+q的-q和两个电荷在轴线上距中心为r处的合场强为由于rl，并考虑到方向可得 10-2 在真空中一长为l=10cm的细杆,杆上均匀分布着电荷,其电荷线密度=1.010-5C/m,在杆的延长线上，距杆的一端距离d=10cm的一点上，有一电量为q0=2.010-5C的点电荷，如图所示，试求该点电荷所受的电场力。解 选杆的左端为坐标原点，x轴沿杆的方向。在x处取一线段元dx，其电量为dx，它在q0处产生的场强大小为方向沿x轴负向，整个杆上电荷在该点的场强为 方向沿x轴负向。点电荷q0所受的电场力为 沿x轴负向。10-3 一均匀带电的正方形细框，边长为l，总电量为q，求正方形轴线上离中心为x处的场强。 解 如图所示，根据对称性，P点的场强沿x轴正向，其大小 (1)式中， (2) (3)将式、式、式代入式得10-4 一带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为=0sin,式中0为一常数,为半径R与x轴所成的夹角,如图所示。试求环心o处的电场强度。解 在处取一线段元dl，其电量为 它在o处产生的场强为在x、y轴上的两个分量根据对称性可知 而 10-5 一“无限长”圆柱面,其电荷面密度由下式决定： =0cos式中，0为一常数，角为半径R与x轴之间所夹的角，试求圆柱轴线上一点的场强。解 将圆柱面分成许多与轴线平行的细长条，每条可视为无限长均匀带电直线，其电荷线密度为它在o点产生的场强为 在x、y轴上的两个分量积分 10-6 图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为 Ex=bx, Ey=0, Ez=0高斯面边长a=0.1m，常数b=1000N/(Cm)。试求该闭合曲面中包含的净电荷。解 设闭合面内包含净电荷的电量为Q。因电场只有分量，故只有左右两侧的平面电通量不为零。由高斯定理得o 则 10-7 (1)点电荷q位于边长为a的正立方体的中心，通过此立方体的每一面的电通量各是多少? (2)若点电荷移至正立方体的一个顶点上，那么通过每个面的电通量又各是多少? 解 (1)点电荷q位于正立方体的中心，正立方体的六个面对该电荷来说都是等同的。因此通过每个面的电通量相等，且等于总电通量的16。对正立方体的某一面，其电通量为根据高斯定理，有所以 (2)当点电荷移至正立方体的一个顶点上时，设想以此顶点为中心，作边长为2a并且与原边平行的大正方体，如图所示。与(1)相同，这个大正方体的每个面上的电通量都相等，且均等于q/6e0，对原正方体而言，只有交于A点的三个面上有电场线穿过，每个面的面积是大正方体一个面的面积的1/4，则每个面的电通量也是大正方体一个面的电通量的1/4，即q/24e0，原正方体的其他不与A点相交的三个面上的电通量均为零。10-8 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场,电场强度E垂直于地面向下,大小约为100N/C；在离地面1.5km高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25N/C。(1)试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；(2)假设地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度。解 (1)设电荷的平均体密度为，取圆柱形高斯面(侧面垂直底面，底面S平行地面)上下底面处的场强分别为E1和E2，则通过高斯面的电通量为(见图(a)SSE1E2Eh(a)(b)习题10-8解图包围的电荷 由高斯定理得 (2)设地面面电荷密度为。由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取如图(b)所示高斯面由高斯定理 10-9 一无限大均匀带电厚壁，壁厚为D，体电荷密度为，求其电场分布并画出E-d曲线。d为垂直于壁面的坐标，原点在厚壁的中心。解 根据电荷分布对壁的平分面的面对称性，可知电场分布也具有这种对称性。由此可选平分面与壁的平分面重合的立方盒子为高斯面，如图(a)所示。dSD习题10-9解图(a)doE习题10-9解图(b)由高斯定理 当dD/2时, E-d曲线如图(b)所示。10-10 一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为(rR)(q为一正的常数)=0(rR)试求：(1)带电球体的总电量;(2)球内、外各点的电场强度；(3)球内、外各点的电势。解 (1)在球内取半径为r、厚度dr的薄球壳，该壳内所包含的电量为则球体所带的总电量(2)在球内作一半径为r1高斯球面，按高斯定理有得，E1方向沿半径向外。在球体外作半径为r2的高斯球面，按高斯定理有得，E2方向沿半径向外。(3)球内电势球外电势10-11 一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体内挖去半径为r的一个小球体,球心为o,两球心间距离oo=d,如图所示,求:(1)在球形空腔内,球心o处的电场强度E0;(2)在球体内P点处的电场强度E。设o、o、P三点在同一直径上，且oP=d。解 (1)挖去电荷体密度为的小球形成的球腔，与在球体内同一位置放上电荷体密度为-的同样大小的球体等效。因而空间场强为两球体产生的场强的叠加，即以o点为球心，oo=d为半径作球面为高斯面S。则因 o点为小球体的球心，所以E2=0，E0=E1+E2=d/(30)，方向由o指向o。(2)分别以o、o点为球心，过P点作球面为高斯面，则又 若E0，方向o由点指向P点；若ER)处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布。解 (1)取半径为r、高为h的圆柱高斯面(如图所示)。面上各点场强大小为E并垂直与柱面。则穿过该柱面的电通量为rR时，包围在高斯面内的总电量为由高斯定理 解出 (2)计算电势分布rR时 rR时 10-18 电量q均匀分布在长为2l的细直线上，求下列各处的电势： (1)中垂面上离带电线段中心o为r处，并利用梯度关系求Er； (2)延长线上离中心o为z处，并利用梯度关系求Ez。 解 (1)如图 (a)所示，当P点在中垂面上时，取电荷元其在P点处产生的电势为则P点的电势为由电场与电势的梯度关系得(2)如图 (b)所示，当P点在延长线上时，取电荷元其在P点处产生的电势为则P点的电势为由电场与电势的梯度关系得讨论：如果P点在Ox轴负向，则Ezl取+号；zl，取-号)10-19 如图所示，半径为R的均匀带电球面，带电量为q，沿矢径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为l，细线近端离球心距离为r0。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)。解：如图所示，设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx，其上电量为dq=dx，该线元在带电球面的电场中所受电场力为整个细线所受电场力为方向沿x轴正向。电荷元在球面电荷电场中具有电势能为整个电荷在电场中具有电势能为10-20 一圆柱形电容器，外筒的直径为4cm，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度的大小为E0=200kV/cm。试求该电容器可能承受的最高电压。解：设圆柱形电容器单位长度上带电量为，则电容器两极板之间的场强分布为当电介质确定时，则击穿电场强度E0一定，电容器内柱上允许的电荷线密度值应为电容器两极板间可能的电压为式中，R为外柱的半径，r为内柱的半径，适当选择r的值，可使U有极大值。即令得 显然有 故当r=r0时=R/e电容器可能承受的最高电压为10-21 一接地的导体球，半径为R，原来不带电。今将一点电荷q放在球外距球心的距离为r的地方，求球上的感应电荷总量。解：接地的导体球的电势包括球心处电势为零，点电荷q在球心的电势为q/40r，设导体球上的感应电荷总量为q，则q在球心的电势为q/40R。由电势叠加原理由此得 10-22 一半径为R的均匀带电球体，电量为Q，如图所示，在球体中开一直径通道，设此通道极细，不影响球体中的电荷及电场的原来的分布，在球体外距离球心r处有一带同种电荷、电量为q的点电荷沿通道方向朝球心o运动，试计算该点电荷至少应具有多大的初动能才能到达球心(设带电球体内外的介电常数是0)。解：按高斯定理可求得球体内的电场强度E1为球体外的电场强度E2为用场强的线积分求的球心o点的电势Uo为球外离球心r处的电势Ur为点电荷从距球心r处到达球心处电场力作功为根据动能定理 (按题意设EK2=0)则 r10-23 如图所示,一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电量Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q。设无限远处为电势零点，试求：(1)球壳内外表面上的电荷；(2)球心o点处，由球壳内表面上电荷产生的电势；(3)球心o点处的总电势。解: (1)由静电感应，金属球壳的内表面上有感应电荷-q，外表面上带电荷q+Q。(2)不论球壳内表面上的感应电荷是如何分布的，因为任一电荷元离o点的距离都是a，所以由这些电荷在o点产生的电势为(3)球心o点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在o点产生的电势的代数和，即10-24 一个点电荷q放在一无限大接地金属平板上方h处。考虑到板面上紧邻处电场垂直于板面，且板面上感生电荷产生的电场在板面上下具有对称性，试根据电场叠加原理求出板面上感生面电荷密度的分布。解：如图习题10-24解图所示，考虑距q为r的两点a和b，二者分别位于金属表面的上下，而且离金属表面非常近。点电荷q在a和b产生电场基本相同，即qaqbrrhEaEbEaEbEa习题10-24解图由于在金属内部的b点，应该有Eb=0，所以金属表面的感应电荷在b点产生的电场应该是Eb=-Ea。根据金属表面上感应电荷的电场对于金属表面应具有平面对称性，所以在外表面的a点感应电荷的电场应为如图习题11-22解图所示，而Ea=Eb=Eb，Ea的方向与Eb和平面成同样的角度。根据叠加原理，在表面紧邻处a点的电场应为Ea=Ea+Ea，如图所示，垂直于表面，大小为而感应电荷的面密度应为10-25 A、B、C是三块平行金属板,面积均为200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C两板都接地(如图)。设A板带正电3.010-7C，不计边缘效应，求B板和C板上的感应电荷，以及A板的电势。若在A、B间充以相对介电系数r=5的均匀电介质，再求B板和C板上的感应电荷，以及A板的电势。解：(1)A板带正电，B、C板接地，且两板在A板附近，所以A板上的电量q分布在左右两表面上，分别设为q1和q2，B板左面感应电荷应为- q2，板右面应为- q1，于是有 由于AB间和AC间可视为匀强电场，则由题义 即有 可得 解式、式得B板上感应电荷为-q2=-1.010-7C，C板上感应电荷为-q1=-2.010-7C。而A板电势(2)当AB间充满电介质时，有 解式、式得 B板上感应电荷 C板上感应电荷 10-26 如图所示，一导体球带电q=1.010-8C，半径为R=10.0cm，球外有两种均匀电介质，一种介质(r1=5.00)的厚度为d=10.0cm，另一种介质为空气(r2=1.00)，充满其余整个空间。(1)求离球心o为r处的电场强度E和电位移D，取r=5.0cm或15.0cm或25.0cm，算出相应的E、D的量值；(2)求离球心o为r处的电势U，取r=5.0cm、10.0cm、15.0cm、20.0cm或25.0cm。算出相应的U的量值。解：(1)应用高斯定理可得当rR时 当Rr(R+d)时 以r=0.05m代入 以r=0.15m代入 以r=0.25m代入 (2) 当rR时当Rr(R+d)时当r(R+d)时当r=0.05m， r=0.10m， KAB0.50mm0.25mm0.25mm习题10-27 r=0.15m r=0.20m， r=0.25m， 10-27 一平行板电容器的每个板的面积为0.02m2，两板相距0.5mm，放在一个金属盒子中，如图所示。电容器两板到盒子上下底面的距离各为0.25mm，忽略边缘效应，求此电容器的电容。如果将一个板和盒子用导线连接起来，电容器的电容又是多少？解：原电容器和盒子相当于图(a)所示的组合电容器，总电容为AKAKKBABAB(a)(b)习题10-27解图利用公式C=0S/d将已给数据代入，可求得当一个板(如B板)和盒子相连后，就相当于图(b)所示的组合电容器，其总电容为10-28 同心导体球壳，其间充满相对介电常数为r的各向同性均匀电介质，外球壳以外为真空，内球壳半径为R1，带电量为Q1；外球壳内、外半径分别为R2和R3，带电量为Q2。Q1Q2R1R2R3r习题10-28 (1)求整个空间的电场强度E的表达式，并定性画出场强大小的径向分布曲线;(2)求电介质中电场能量We的表达式。解：(1)场强表示式场强径向分布见习题11-26解图。(2) EroR1R2R3习题10-28 10-29铀核带电量为92e，可以近似地认为它均匀分布在一个半径为7.410-l5 m的球体内。(1)求铀核的静电势能。(2)当铀核对称裂变后，产生两个相同的钯核，各带电46e，总体积和原来一样。设这两个钯核也可以看成球体，当它们分离很远时，它们的总静电势能又是多少?这一裂变释放出的静电势能是多少? (3)按每个铀核都这样对称裂变。计算：1kg铀裂变后释放出的静电势能是多少?(裂变时释放的“核能”基本上就是这静电势能。铀的摩尔质量M23810-3kgmol。) 解 电量为q，半径为R的均匀带电球体，其电场分布为球体内距球心为r处的电势为在半径为r、厚度为dr的球壳内电量为均匀带电球体的经典是能为令q=92e，则铀核的静电势能为当该铀核分裂成两个相距很远的钯核后，总体积不变，因此有则钯核的半径为，两钯核系统的静电势能为这一裂变释放出的静电势能为质量为m的铀内原子核数为式中， M为铀的摩尔质量，NA为阿伏伽德罗常数。那么m=1kg的铀核裂变之后释放的静电势能为