清华大学2019年自主招生数学试题(2019.06).doc

(完整word)清华大学2019年自主招生数学试题(2019.06)
清华大学自主招生数学试题
2019。06

1。 一个四面体棱长分别为6,6，6，6，6,9,求外接球的半径。

2。 求值:.

3。 已知为单位圆上一动点，,，求的最大值。

4. 为圆的直径，，为中点，，则下列选项正确的是（ ）
A。 B. C. △∽△ D。 忘记

5。 ，，是到的映射，若满足，则称有序对为“好对”，求“好对”的个数最小值。

6. 若对，，使得成立,则称函数满足性质，下列
函数不满足性质的是（ )
A。 B。 C。 D.

7. 已知，，,若，求的最大值。

8。 椭圆，过的直线交椭圆于、两点，点在直线上，若
△为正三角形,求△的面积.

9。 圆上一点处的切线交抛物线于、两点,且满足，其中为坐标原点，求。

10. 设为各位数字和，是的各位数字之和,为的各位数字之和，求的值.

11. 实数、满足，求的最大值和最小值。
12. 在三棱柱中,已知,，,动点在线段上，求最小值。

13。 若集合、是正整数的一个二划分，则( )
A. 集合中不存在三项等差，集合中不存在无穷项等差
B. 集合中不存在三项等比，集合中不存在无穷项等比
C. 忘了
D。 忘了

14. 数列满足：，，则（ ）
A。 单调递增 B。 无上界 C。 忘了 D.

15. 若正实数、满足，则的最小值为

16. 设,，求最小值。

17. 设,则方程的解的个数为

18。 令（），若,则（ )
A。 B。 C. D。

19. 若实数、满足,求的范围。

参考答案
1。 设，,易知△的外接圆半径为，
同理可得△的外接圆的半径为，
设外接圆的圆心为，易知，
则外接球半径，∴外接球半径为.
2。 ，由分部积分法可知：

∴。
3. 设，在
整理得：，
由三元均值不等式可知：,
当且仅当时,等号成立,则的最大值为.
4. 设圆的半径为2,易知，，，，
在△与△中,由余弦定理可知:，
解得：,，选项A错误，
在△中，由中线定理可知：，解得：,
则，选项B正确，
而,∴△∽△，选项C正确，综上:选B,C.
5。 情形一：当只对应中1个元素时,此时“好对”有对,
情形二：当只对应中2个元素时，设有组,组,则此时
“好对"有对，且，
则由柯西不等式可知：，
情形三:当只对应中3个元素时，设有组，组，组
，则此时“好对"有对,且，
则由柯西不等式可知：，
依次可得：易知当对应中5个元素时，此时“好对"的最小值为45,当且仅当中每3个元素对应中一个元素时，等号成立,则“好对"的个数的最小值为45.
6. ∵，，使得，则的值域是值域的子集，
A选项：,，满足题意,
B选项:，令，则，
当,时，则由四元均值不等式可知：
，
当且仅当时，等号成立，∴,，满足题意，
∵为奇函数，
C选项：,，,不满足题意,
D选项:,,，不满足题意，
综上:选A，B。
7。 建立平面直角坐标系，且，，易知点的终点的轨迹方程为,又,∴此时.
8。 设直线,，,中点为，联立，
整理可得：，则，
而，而，
解得：，∴，则△的面积为。
9。 ∵，∴直线恒过定点，而切线方程为，
则，解得：.
10。 ∵，则,
则，
情形一：当的位数为6，则,
情形二:当的位数小于6,则，
由情形一和情形二可知：，
情形三：当的位数为2位时，则，
情形四：当的位数1位数时，则，
由情形三和情形四可知:，
又，，则，
而，∴.

11。 情形一：当时,此时,
情形二：当时，此时，
易知：，令，，则，
情形三:当时，此时，
易知：，令，，则,
综上：的最小值为1，最大值为2。

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