清华大学2019年自主招生数学试题(2019.06).doc

(完整word)清华大学2019年自主招生数学试题(2019.06) 清华大学自主招生数学试题2019。061。 一个四面体棱长分别为6,6，6，6，6,9,求外接球的半径。2。 求值:.3。 已知为单位圆上一动点，,，求的最大值。4. 为圆的直径，为中点，则下列选项正确的是（ ）A。 B. C. D。 忘记5。 ，是到的映射，若满足，则称有序对为“好对”，求“好对”的个数最小值。6. 若对，使得成立,则称函数满足性质，下列函数不满足性质的是（ )A。 B。 C。 D. 7. 已知，,若，求的最大值。8。 椭圆，过的直线交椭圆于、两点，点在直线上，若为正三角形,求的面积.9。 圆上一点处的切线交抛物线于、两点,且满足，其中为坐标原点，求。10. 设为各位数字和，是的各位数字之和,为的各位数字之和，求的值.11. 实数、满足，求的最大值和最小值。12. 在三棱柱中,已知,，,动点在线段上，求最小值。13。 若集合、是正整数的一个二划分，则( )A. 集合中不存在三项等差，集合中不存在无穷项等差B. 集合中不存在三项等比，集合中不存在无穷项等比C. 忘了D。 忘了14. 数列满足：，则（ ）A。 单调递增 B。 无上界 C。 忘了 D. 15. 若正实数、满足，则的最小值为 16. 设,，求最小值。17. 设,则方程的解的个数为 18。 令（），若,则（ )A。 B。 C. D。 19. 若实数、满足,求的范围。参考答案1。 设，,易知的外接圆半径为，同理可得的外接圆的半径为，设外接圆的圆心为，易知，则外接球半径，外接球半径为.2。 ，由分部积分法可知： 。3. 设，在整理得：，由三元均值不等式可知：,当且仅当时,等号成立,则的最大值为. 4. 设圆的半径为2,易知，在与中,由余弦定理可知:，解得：,，选项A错误，在中，由中线定理可知：，解得：,则，选项B正确，而,，选项C正确，综上:选B,C.5。 情形一：当只对应中1个元素时,此时“好对”有对,情形二：当只对应中2个元素时，设有组,组,则此时“好对有对，且，则由柯西不等式可知：，情形三:当只对应中3个元素时，设有组，组，组，则此时“好对有对,且，则由柯西不等式可知：，依次可得：易知当对应中5个元素时，此时“好对的最小值为45,当且仅当中每3个元素对应中一个元素时，等号成立,则“好对的个数的最小值为45.6. ，使得，则的值域是值域的子集，A选项：,，满足题意,B选项:，令，则，当,时，则由四元均值不等式可知：，当且仅当时，等号成立，,，满足题意，为奇函数，C选项：,，,不满足题意,D选项:,，不满足题意，综上:选A，B。7。 建立平面直角坐标系，且，易知点的终点的轨迹方程为,又,此时.8。 设直线,，,中点为，联立，整理可得：，则，而，而，解得：，则的面积为。9。 ，直线恒过定点，而切线方程为，则，解得：.10。 ，则,则，情形一：当的位数为6，则,情形二:当的位数小于6,则，由情形一和情形二可知：，情形三：当的位数为2位时，则，情形四：当的位数1位数时，则，由情形三和情形四可知:，又，则，而，.11。 情形一：当时,此时,情形二：当时，此时，易知：，令，则，情形三:当时，此时，易知：，令，则,综上：的最小值为1，最大值为2。5