清华大学2016-2017学年第2学期高等数学A期末考试试卷.doc

装订线清华大学高等数学A期末考试试卷20162017学年第2 学期 考试科目：高等数学A考试类型：（闭卷）考试 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业 题号一二三四总分得分评阅人得分一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1二元函数的定义域为 。2. 设向量，且，则 。3经过和且平行于轴的平面方程为 。4设，则 。5级数，当满足 条件时级数条件收敛。得分二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1微分方程的通解是 （ ）A B C D2求极限 （ ） A B C D 3直线和平面的位置关系是 （ ） A直线平行于平面 B直线在平面上 C直线垂直于平面 D直线与平面斜交4是闭区域，则 （ ） A B C D5下列级数收敛的是 （ ）A B C D 得分1.5CM三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求微分方程满足初始条件，的特解。2. 计算二重积分，其中。3 设为方程确定的隐函数，求。4. 求曲线积分，其中沿，逆时针方向。5. 计算，其中是由，及所围成的区域。6 判断级数的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。7 将函数展开成的幂级数，并求其成立的区间。得分1.5CM四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1 抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。2. 求幂级数的和函数。3. 设函数和有连续导数，且，为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，围成的平面区域为，已知，求和。参考答案一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1 2 3 4 5二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1C 2C 3C 4B 5A 1.5CM三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求微分方程满足初始条件，的特解。解：先求的通解，得2分采用常数变易法，设，得3分代入原方程得4分得5分故通解为6分将初始条件，带入得，故特解为7分2. 计算二重积分，其中。解：设1分则3分所以5分6分7分3. 设为方程确定的隐函数，求。解：设1分4分6分所以7分4. 求曲线积分，其中沿，逆时针方向。解：圆的参数方程为：1分3分4分6分7分（本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解）5. 计算，其中是由，及所围成的区域。解：1分2分4分5分6分7分6. 判断级数的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。解：1分3分所以级数发散。4分又5分6分显然，交错级数，都收敛，所以原级数收敛。因此是条件收敛。7分7. 将函数展开成的幂级数，并求其成立的区间。解：2分而3分4分所以5分6分成立范围7分1.5CM四、 解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）1. 抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上任一点的坐标为，点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为，1分构造拉格朗日函数2分4分解得5分得两个驻点为6分所以最短距离为，最短距离为7分 2. 求幂级数的和函数。解：因为，所以，1分2分3分4分 5分所以故6分当时，。7分另解：当时，当时，。3. 设函数和有连续导数，且，为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，围成的平面区域为，已知，求和。解：由格林公式得2分即3分由于区域的任意性，4分又由于的任意性，有，5分又由，得， 6分所以7分9