线性方程组直接解法迭代法-matlab实验.doc

实 验 报 告

实验名称
（教师填写）

求解线性方程组

实验目的
（教师填写）

掌握求解线性方程组的直接法与迭代法.

实验题目
(教师填写)
完成以下两题：
（1） 用追赶法求Ax=b的解，其中
（2） 用Jacobi方法求方程组Ax=b的解，要求（p=1或2或）,其中
实验报告要求
（教师填写）
1。在实验内容与步骤中，填写基本的公式推导，之后根据推导出的公式编写程序，填入此栏。

2。 程序中应尽量写注释语言（中英文均可），例如:
a = 0; ％对a 附初值0
for i = 1：100 ％循环体从1到100，步长为1，开始循环
a = a+I; ％执行从1+2+…+100的加法过程
end

3. 实验结果列出计算结果,或者作出图像.可以自由讨论所观察到的现象，如有疑问也可提出

4。 作业可已word文档发至scu_num_eng_experi@163。com，或者笔书后扫描成pdf文档发至上述邮箱。请在邮件标题上填好组长姓名、学号，在邮件正文中写组内所有成员的姓名、学号等,

实验内容与步骤
（学生填写）
如果步骤较多，请自行加页（A4幅面）
(1) .用追赶法求Ax=b的解，其中
分析：
Ax=b，其中A为三对角矩阵,A为严格对角占优矩阵,则Ax=b的解存在且唯一,所以对A进行LU分解，知L和U具有特殊形式，分别为
L=，U=，
令A=，
a从a2开始为便于运算，为避免重复,使题目中的矩阵b为e，利用矩阵乘法及矩阵相等可得，，其中n=4,于是对Ax=e的求解转换为求解两个简单方程组，解Ly=e得
，解Ux=y得

程序:
a=［0,2，3,6]; %定义三个向量,将三条对角线上的值分别赋给这三个向量，注意,为便于循环，将第一条对角线（最下一条）上的值赋给a向量时从第二个元素开始赋值，即令a（1）为0
b=［2，4,5,7］；
c=[1，2,1］;

e=［2,—1，3,2］; ％e向量为题设给出的常数向量，即题目中的b

n=length(b）; ％取系数矩阵A主对角线元素个数

for i=1：1：n—1 ％根据A=LU,求出矩阵L和U中的未知元素
d(i）=c（i）;
end
u(1)=b(1)；
for i=2:1：n
l（i)=a（i)/u（i—1);
u(i）=b(i）—l(i）*d（i-1);
end

y(1）=e（1）； ％根据Ly=e，Ux=y，求出向量x，即为方程的解
for i=2:1:n
y(i）=e(i）-l(i）*y(i—1)；
end
x（n）=y（n）/u(n);
for i=n—1：-1:1
x(i)=(y(i）-d(i)＊x（i+1))/u（i)；
end
l
u
y
x

（2)。 用Jacobi方法求方程组Ax=b的解,要求（p=1或2或)，其中

分析：根据Jacobi迭代法,将A分解为L，D,U
A=
（L+D+U）X=b；
；
；
通过计算，此迭代收敛。
我们选
代入迭代式中，求得，计算
判断,若是输出，否则，,重新代入迭代式求解，直至求出满足条件的解为止
程序:
A=［1 -2 2；—1 1 -1；—2 -2 1]；
B=[0 2 -2;1 0 1；2 2 0];
g=［3;—2；-3]；
x=[0;0;0］;
k=0； ％迭代次数变量
while 1
X=B＊x+g; %迭代公式
E=0;
for i=1:3
E=E+abs（X(i）—x（i）)； %计算X与x的误差
end
x=X； %将X赋值给x达到可迭代的目的
k=k+1; ％迭代次数的计算
if(E〈=0。0005) ％满足误差条件跳出循环,否则继续执行上述步骤
break;
end
end
X
k
实验结果与实验结论

(1)实验结果：

实验结论分析：追赶法的巧妙之处就是利用矩阵A为三对角矩阵实现LU矩阵的追赶求解，对于一个n阶三对角矩阵A，LU直接分解法运算量，而追赶法仅需5n—4次运算，可见追赶法在解三对角矩阵的优越性是LU直接分解法不可比拟的。

（2） 实验结果

实验结果与实验结论
（学生填写）

实验结论分析:
1。当迭代系数矩阵B的谱半径小于1，对于所有初始矩阵X都收敛。
2.我们选初始矩阵X=［0；0；0],迭代次数k=4，但选初始矩阵X=[0;1;0]，迭代次数k=3；
说明不同初始矩阵，收敛结果相同，收敛速度可能有所不同。
3。注意：当迭代系数矩阵B的谱半不小于1，并不能说所有初始矩阵X都不收敛。

姓名

学号

班级

成绩

教师姓名： 时间：