第5章多元函数微分学练习题解读.doc

(完整版)第5章多元函数微分学练习题解读
第5章 多元函数微分学练习题
习题5。1
一、判断题(对的划“√"，错的划“×”）
1．方程对应的二元函数只有．　　(　　）
2．不存在．　　　　 　　　 （　　)
二、填空题
1．在点处 （填“连续”或“间断”）．
2．函数的间断点是　　　　　　　 　　．
三、选择题
1．函数的定义域是　　　　　　　　　 　（　　）
A．；　 B．；　
C．；　 D．．
2．　　　　　　　　　　　　　 （　　）
A．0；　 B．;　 C．；　 D．不存在．
四、计算题
1．已知，试求和．

2．求下列函数的定义域，并作出定义域所表示的图形：
⑴． 　　　　　　　　　　 ⑵．

⑶． 　　　　　　　　　 ⑷．

3．求下列极限:
⑴．　　　　　　　　　　　　　　⑵．

⑶．　　　　　　　　　　　　⑷．

五、证明题
1．证明不存在．

习题5。2
一、判断题(对的划“√”，错的划“×”）
1．设，则一定有成立．　　　　　　　　　（　　）
2．表示与的商．　　　　 　　　 （　　）
二、填空题
1．设在点处偏增量 ．
2．曲线在处的切线与轴的倾角是　 　　　．
三、选择题
1．若，则　　　　　　　　　 　　　 　（　　）
A．； B．； 　 C．1； D．0．
2．若，则 　 　　 (　　）
A．； B．； C．；　D．．
四、计算题
1．求下列函数的，和：
⑴． 　　　　　　　　　 ⑵．

2．设，求，和．

3．设，求和．

五、证明题
1．验证满足．

习题5.3
一、判断题（对的划“√”，错的划“×”)
1．若多元函数在一点处偏导存在，则它在该点处可微．　　　　　　　　（　　）
2．若多元函数在一点处连续，则它在该点处可微．　　　　 　　　 （　　）
二、填空题
1．设，，，，，则 ，　　　　．
2．在处的全微分　 　　　　　　　　　　．
三、选择题
1．若，则　　　　　　　　　 　　　 　 （　　)
A．; B．; 　
C．; D．．
2．函数在点处 　 　　　　 　（　　）
A．连续，偏导数存在； 　　B．连续，偏导数不存在;
C．连续且可微；　　　　 D．不连续，偏导数不存在．
四、计算题
1．求下列函数的全微分：
⑴． 　　　　　　　　　　⑵．

五、应用题
1．设有一无盖圆柱形容器，容器的底和壁的厚度均为0。1cm,内高为20cm，内半径为4cm，求该容器外壳体积的近似值(精确到0.1cm）．

2．计算下列各式的近似值（结果保留两位小数)：
⑴． 　　　　　　　　　　　⑵．

3．设有一直角三角形，测得两直角边的长分别为和，试求由上述二值计算斜边长度时的绝对误差和相对误差．

习题5.4
一、判断题(对的划“√"，错的划“×”）
1．设，，则．　　　　　　　　　　（　　）
2．方程所确定的隐函数对的偏导数．　　　　 (　　）
二、填空题
1．设，，则　 　　　　．
2．设，，,则　　　　　　　　　　　　　　　．
三、选择题
1．若，，则、分别是　　 （　　)
A．、;B．、;
C．、；D．、．
2．设，，，则 　　　　（　　）
A．；　 B．；　　C．；　 D．．
四、计算题
1．已知，，，求和．

2．求由方程所确定的隐函数的偏导数和．

3．设，且具有一阶连续偏导数，求的一阶偏导数．

五、应用题
1．设有一圆柱体，它的底半径以的速率增大,而高度以的速率在减少，试求当底半径为，高为时．
⑴圆柱体体积的变化率；
⑵圆柱体表面积的变化率．

习题5。5
一、判断题（对的划“√”，错的划“×”）
1．可微的多元函数在点处沿梯度正反方向的方向导数都最大． （　　)
2．可微的多元函数在点处沿梯度（不为零)垂直方向的方向导数等于零． (　　）
二、填空题
1．函数在点处沿到的方向导数是　 　　　　．
2．设，则　　　　　．
三、选择题
1．若在处沿到方向的方向导数（　　)
A．; B．； C．； D．．
2．设，则 　　　 　（　　）
A．;　 B．；　　C．；　 D．．
四、计算题
1．求函数在点处的梯度及其在点处沿向量的方向导数．

五、应用题
1．设某金属板上的电压分布为,求在点处:
⑴ 沿哪个方向电压升高得最快？
⑵ 沿哪个方向电压下降得最快?
⑶ 上升或下降的速率各为多少?

2．设一金属球体内各点处的温度离球心的距离成反比，证明球体内任意（异于球心的）一点处沿着指向球心的方向上升得最快．

习题5.6
一、判断题（对的划“√”,错的划“×”）
1．曲线在点处的切线方程是． 　 (　　)
2．曲线在点处的法平面方程是． 　（　　)
二、填空题
1．函数的极 （填“大"或“小")值是　 　　．
2．对角线长为的长方体的最大体积是　　　　　．
三、选择题
1．球面在处的切平面方程和法线方程分别是 （　　）
A．,；
B．，；
C．，；
D．,．
2．函数的极大值和极小值分别是 　（　　）
A．，；　 B．，；　　C．,；　 D．，5．
四、计算题
1．求椭球面上平行于平面的切平面方程 ．

2．求函数的极值和极值点．

3．求函数在闭区域上的最值．

五、应用题
1．在半径为的球内接一长方体，问长、宽、高各为多少时，其体积最大？

复习题五
一、判断题(对的划“√”,错的划“×"）
1．若,则．　　　　　　　　　　　　　（　　）
2．可微的多元函数一定是连续函数．　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　)
3．若函数在点处的偏导数存在,则是的全微分．（　　）
4．如果函数在点处的微分存在,则、均连续．　　(　　）
5．可微函数在点处沿着方向有最大的增长率,且大小为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）
二、填空题
6．函数的定义域是　　　　　　　　　　　　　．
7．设，则　　　　　　．
8． ．
9．设，则　　　　．
10．已知，则　　　　　　　　　　　．
11．设，，，则　　　　　　　　　　　．
12．曲线在时的切线方程是　　　　　　　　　 　，法平面方程是　　　　　　　　　　　　　．
13．旋转抛物面在点处的切平面方程是　　　　　　　　　　，法线方程是　　　　　　　　　　　　．
三、选择题
14．的定义域是　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）
A．；B．；C．；D．．
15．函数在点处对的偏导数是　　　　　　　（　　）
A．；　B．；
C．；　　　D．．
16．如果具有二阶连续偏导数，则　　　　　　(　　）
A．0； B．；　　C．;　　D．．
17．函数在点处连续是函数在该点处可微分的 (　　）
A．充分但不必要条件；　　　B．必要但不充分条件；
C．必要且充分条件；　　　　D．既不充分也不必要条件．
18．设,则下列结论中正确的是　　　　　　　　(　　)
A．在平面上连续；　　　　　B．在平面上，只有、为间断点；
C．在圆周上间断;　　D．在内连续．
四、计算题
19．设，，，求关于，的偏导数．

20．设,，，求全导数．

21．设,其中具有连续的偏导数，求、和．

22．设轴正向到方向的转角为，求函数在点沿方向的方向导数,并确定转角，使得方向导数有最大值．

23．求的极值和极值点．

五、应用题
24．求抛物线到直线间的最短距离．

25．在两直角边分别是、的直角三角形中内接一个矩形，求矩形的最大面积．

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