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第8章 Matlab在概率统计中的应用

概率论与数理统计是研究和应用随机现象统计规律性的一门数学科学。其应用十分广泛，几乎遍及所有科学领域、工农业生产和国民经济各部门。本章将利用Matlab来解决概率统计学中的概率分布、数字特征、参数估计以及假设检验等问题。

8.1 数据分析
8.1.1 几种均值
在给定的一组数据中，要进行各种均值的计算，在Matlab中可由以下函数实现。
mean 算术平均值函数。对于向量X，mean (X) 得到它的元素的算术平均值；对于矩阵，mean (X)得到X各列元素的算术平均值，返回一个行向量。
nanmean 求忽略NaN的随机变量的算术平均值。
geomean 求随机变量的几何平均值。
harmmean 求随机变量的和谐平均值。
trimmean 求随机变量的调和平均值。
8.1.2 数据比较
在给定的一组数据中，还常要对它们进行最大、最小、中值的查找或对它们排序等操作。Mtalab中也有这样的功能函数。
max 求随机变量的最大值元素。
nanmax 求随机变量的忽略NaN的最大值元素。
min 求随机变量的最小值元素。
nanmin 求随机变量的忽略NaN的最小值元素。
median 求随机变量的中值。
nanmedian 求随机变量的忽略NaN的中值。
mad 求随机变量的绝对差分平均值。
sort 对随机变量由小到大排序。
sortrows 对随机矩阵按首行进行排序。
range 求随机变量的值的范围，即最大值与最小值的差（极差）。
8.1.3 累和与累积
求向量或矩阵的元素累和或累积运算是比较常用的两类运算，在Matlab中可由以下函数实现。
sum 若X为向量，sum (X)为X中各元素之和，返回一个数值；若X为矩阵，sum (X)为X中各列元素之和，返回一个行向量。
nansum 忽略NaN求向量或矩阵元素的累和。
cumsum 求当前元素与所有前面位置的元素和。返回与X同维的向量或矩阵。
cumtrapz 梯形累和函数。
prod 若X为向量，prod (X)为X中各元素之积，返回一个数值；若X为矩阵，prod (X)为X中各列元素之积，返回一个行向量。
cumprod 求当前元素与所有前面位置的元素之积。返回与X同维的向量或矩阵。

8.2 离散型随机变量的概率及概率分布
8.2.1 几个常见分布
8.2.1.1 二项分布
设随机变量X的分布律为：
P {X = k } = Cnk p k (1-p) n - k k = 0, 1, 2, …, n
其中：0< p <1，n为独立重复试验的总次数，k为n次重复试验中事件A发生的次数，p为每次试验事件A发生的概率。则称X服从二项分布，记为X~B (n, p)。
8.2.1.2 Poisson分布
设随机变量X的分布律为：

则称X服从参数为的Poisson分布，记为X~P ()。Poisson是二项分布的极限分布，当二项分布中的n较大而p又较小时，常用Poisson，= np。
8.2.1.3 超几何分布
设一批同类产品共N件，其中有M件次品，从中任取n (n≤N)件，其次品数X恰为k件的概率分布为：

则称次品数X服从参数为 (N, M, n)的超几何分布。超几何分布用于无放回抽样，当N很大而n较小时，次品率在抽取前后差异很小，就用二项分布近似代替超几何分布，其中二项分布的。而且在一定条件下，也可用Poisson分布近似代替超几何分布。

8.2.2 概率密度函数值
无论是离散分布还是连续分布，在Matlab中，都用通用函数pdf或专用函数来求概率密度函数值。而对于离散型随机变量，取值是有限个或可数个，因此，其概率密度函数值就是某个特定值的概率，即利用函数pdf求输入分布的概率。
1. 通用概率密度函数pdf计算特定值的概率
命令：pdf
格式为：Y = pdf (‘name’, k, A)
Y = pdf (‘name’, k, A, B)
Y = pdf (‘name’, k, A, B, C)
说明：返回以name为分布，在随机变量X = k处，参数为A、B、C的概率密度值；对离散型随机变量X，返回X = k处的概率值，name为分布函数名。
常见的分布有：
name = bino（二项分布），hyge（超几何分布），geo（几何分布），poiss（Poisson分布）。
2. 专用概率密度函数计算特定值的概率
（1）二项分布的概率值
命令：binopdf
格式：binopdf (k,n,p)
说明：等同于pdf (‘bino’, k, n, p)。n—试验总次数；p—每次试验事件A发生的概率；k—事件A发生k次。
（2）Poisson分布的概率值
命令：poisspdf
格式：poisspdf (k, Lambda)
说明：等同于pdf (‘poiss’, k, Lambda)，参数Lambda = np。
（3）超几何分布的概率值
命令：hygepdf
格式：hygepdf (k, N, M, n)
说明：等同于pdf (‘hyge’, k, N, M, n)，N—产品总数，M—次品总数，n—抽取总数(n≤N)，k—抽得次品数。
3. 通用函数cdf用来计算随机变量X≤k的概率之和（累积概率值）
命令：cdf
格式：cdf (‘name’, k, A)
cdf (‘name’, k, A, B)
cdf (‘name’, k, A, B, C)
说明：返回以name为分布、随机变量X≤k的概率之和（即累积概率值），name为分布函数名。
4. 专用函数计算累积概率值（随机变量X≤k的概率之和，即分布函数）
（1）二项分布的累积概率值
命令：binocdf
格式：binocdf (k, n, p)
（2）Poisson分布的累积概率值
命令：poisscdf
格式：poisscdf (k, Lambda)
（3）超几何分布的累积概率值
命令：hygecdf
格式：hygecdf (k, N, M, n)

8.2.2.1 二项分布
1. 求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率P。
命令：pdf
或 binopdf
格式：pdf (‘bino’, k, n, p)
或 binopdf (k, n, p)
说明：该命令的功能是计算二项分布中事件A恰好发生k次的概率。pdf为通用函数，bino表示二项分布，binopdf为专用函数，n为试验总次数，k为n次试验中，事件A发生的次数，p为每次试验事件A发生的概率。
2. 在n次独立重复试验中，事件A至少发生k次的概率P_s。
命令：cdf
或 binocdf
格式：cdf (‘bino’, k, n, p)
或 binocdf (k, n, p)
说明：该命令的功能是返回随机变量X≤k的概率之和（即累积概率值）。其中cdf为通用函数，binocdf为专用函数，n为试验总次数，k为n次试验中，事件A发生的次数，p为每次试验事件A发生的概率。

所以，至少发生k次的概率为
P_s = 1- cdf (‘bino’, k-1, n, p) 或 P_s = 1- binocdf (k-1, n, p)
例8-1 某机床出次品的概率为0.01，求生产100件产品中：
（1）恰有1件次品的概率；
（2）至少有1件次品的概率。
解：此问题可看作是100次独立重复试验，每次试验出次品的概率为0.01。
（1）恰有1件次品的概率
在Matlab命令窗口键入：
>> p=pdf('bino',1,100,0.01) %利用通用函数计算恰好发生k次的概率
p =
0.3697
或在Matlab命令窗口键入：
>> p=binopdf(1,100,0.01) %利用专用函数计算恰好发生k次的概率
p =
0.3697
（2）至少有1件次品的概率
在Matlab命令窗口键入：
>> p=1-cdf('bino',0,100,0.01) % cdf是用来计算X≤k的累积概率值的通用函数，这里是计算X≥1的概率值。
p =
0.6340
或在Matlab命令窗口键入：
>> p=1-binocdf(0,100,0.01)
p =
0.6340

8.2.2.2 Poisson分布
在二项分布中，当n的值很大，p的值很小，而np又较适中时，用Poisson分布来近似二项分布较好（一般要求= np<10）。
1. n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率P_k。
命令：pdf
或 poisspdf
格式：pdf (‘poiss’, k, Lambda)
或 poisspdf (k, Lambda)
说明：在Matlab中，poiss表示Poisson分布。该命令返回事件恰好发生k次的概率。
2. n次独立重复试验中，事件A至少发生k次的概率P
（1）累积概率值
命令：cdf
或 poisscdf
格式：cdf (‘poiss’, k, Lambda)
或 poisscdf (k, Lambda)
说明：该函数返回随机变量X≤k的概率之和，Lambda = np
（2）A至少发生k次的概率P_k
P_k = 1- cdf (‘poiss’, k-1, Lambda) 或 P_k = 1- poisscdf (k-1, Lambda)
例8-2 自1875年到1955年中的某63年间，某城市夏季（5—9月间）共发生暴雨180次，试求在一个夏季中发生k次（k = 0, 1, 2, …, 8）暴雨的概率P k（设每次暴雨以1天计算）。
解：一年夏天共有天数为
n = 31+30+31+31+30 = 153
故可知夏天每天发生暴雨的概率约为，很小，n = 153较大，可用Poisson分布近似= np = 。
在Matlab编辑器中编写M文件：LX0802.m
p=input('input p=')
n=input('input n=')
lambda=n*p
for k=1:9 %循环变量的最小取值是从k = 1开始。
p_k(k)=poisspdf(k-1,lambda);
end
p_k
在Matlab的命令窗口键入LX0802，回车后按提示输入p和n的值，显示如下：
input p=180/(63*153)
p =
0.0187
input n=153
n =
153
lamda =
2.8571
p_k =
Columns 1 through 7
0.0574 0.1641 0.2344 0.2233 0.1595 0.0911 0.0434
Columns 8 through 9
0.0177 0.0063
注意：在Matlab中，p_k (0)被认为非法，因此应避免。
例8-3 某市公安局在长度为t的时间间隔内收到的呼叫次数服从参数为t/2的Poisson分布，且与时间间隔的起点无关（时间以小时计）。
求：（1）在某一天中午12时至下午3时没有收到呼叫的概率；
（2）某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼叫的概率。
解：在此题中，Lamda = t/2
设呼叫次数X为随机变量，则该问题转化为：
（1）求P{X = 0}；
（2）求1-P{X≤0}。
解法一：在Matlab命令窗口键入：
>> poisscdf (0,1.5) %X = 0表示0次呼叫，Lambda = t/2 = 1.5
ans =
0.2231
即（1）中没有收到呼叫的概率为0.2231。
>> 1-poisscdf (0,2.5)
ans =
0.9179
即（2）中至少收到1次呼叫的概率为0.9179。
解法二：
由于呼叫次数X≤0就是呼叫0次，即X = 0。因此，此题也可用poisspdf求解。即：
poisspdf (0, 1.5)和1-poisspdf (0, 2.5)。

8.2.2.3 超几何分布
1. 设N为产品总数，M为其中次品总数，n为随机抽取件数（n≤N），则次品数X恰为k件的概率p_k（k = 0, 1, 2, …, min (n, M)）可由下列命令求得：
命令：pdf
或 hygepdf
格式：pdf (‘hyge’, k, N, M, n)
或 hygepdf (k, N, M, n)
2. 累积概率值的求法：
命令：cdf
或 hygecdf
格式：cdf (‘hyge’, k, N, M, n)
或 hygecdf (k, N, M, n)
说明：该函数的功能是返回次品数X≤k的概率之和。
例8-4 设盒中有5件同样的产品，其中3件正品，2件次品，从中任取3件，求不能取得次品的概率。
解：在Matlab编辑器中编辑M文件：LX0802.m
N=input('input N=')
M=input('input M=')
n=input('input n=')
for k=1:M+1
p_k=hygepdf(k-1,N,M,n)
end
在Matlab的命令窗口键入LX0804，回车后按提示输入N、M、n的值，显示如下：
input N=5
N =
5
input M=2
M =
2
input n=3
n =
3
p_k =
0.1000
p_k =
0.6000
p_k =
0.3000
这里，p_k=(0.1000 0.6000 0.3000)表示取到次品数分别为X = 0, 1, 2的概率。

8.3 连续型随机变量的概率及其分布
8.3.1 几个常见的分布
8.3.1.1 均匀分布
若随机变量X的概率密度为
，
则称X在区间[a, b]上服从均匀分布，记为X~U (a, b)。
8.3.1.2 指数分布
若随机变量X的概率密度为
，其中为常数
则称X服从参数为的指数分布，记为E ()。
8.3.1.3 正态分布
若随机变量X的概率密度为

其中，是两个常数，则称X服从参数为，的正态分布，记为X~N (,)。
8.3.1.4 分布
， 其中，
记为：
8.3.1.5 分布
， 其中，
记为：
8.3.1.6 分布（卡方分布）
X的分布密度为
， n为正整数，则称X为服从自由度为n的分布，记为：X~(n)。
8.3.1.7 t分布
若随机变量t的分布密度为
，
n为正整数，则称t为服从自由度为n的t分布，记为：T~ t (n)。
8.3.1.8 F分布
若随机变量x的分布密度为
，n1，n2为正整数，则称X服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，记为：X~F (n1, n2)。

8.3.2 概率密度函数值
连续型随机变量：如果存在一非负可积函数，使对于任意实数，X在区间上取值的概率为：，则函数称作随机变量X的概率密度函数。通用函数pdf和专用函数用来求密度函数在某个点x处的值。
1. 利用概率密度函数值通用函数pdf计算
格式：pdf (‘name’, x, A)
pdf (‘name’, x, A, B)
pdf (‘name’, x, A, B, C)
说明：返回以name为分布的随机变量在X = x处、参数为A、B、C的概率密度函数值。name取值如下表8.1所示。
表8.1 常见通用函数密度函数表
name
分 布
unif
均匀分布密度函数
exp
指数分布密度函数
norm
正态分布密度函数
chi2
卡方（）分布
t或T
t分布
f和F
F分布密度函数
gam
分布密度函数
beta
分布
logn
对数分布
nbin
负二项分布
ncf
非中心F分布
nct
非中心t分布
ncx2
非中心卡方分布
rayl
瑞利分布
weib
weibull（韦伯）分布

2. 利用专用函数计算概率密度函数值，如表8.2所示。

表8.2 专用函数概率密度函数表
函 数 名
调 用 形 式
注 释
unifpdf
unifpdf (x, a, b)
[a, b]上均匀分布概率密度在X = x处的函数值
exppdf
exppdf (x, Lambda)
指数分布概率密度在X = x处的函数值
normpdf
normpdf (x, mu, sigma)
正态分布概率密度在X = x处的函数值
chi2pdf
chi2pdf (x, n)
卡方分布概率密度在X = x处的函数值
tpdf
tpdf (x, n)
t分布概率密度在X = x处的函数值
fpdf
fpdf (x, n1, n2)
F分布概率密度在X = x处的函数值
gampdf
gampdf (x, a, b)
分布概率密度在X = x处的函数值
betapdf
betapdf (x, a, b)
分布概率密度在X = x处的函数值
lognpdf
lognpdf (x, mu, sigma)
对数分布概率密度在X = x处的函数值
nbinpdf
nbinpdf (x, R, P)
负二项分布概率密度在X = x处的函数值
ncfpdf
ncfpdf (x, n1, n2, delta)
非中心F分布概率密度在X = x处的函数值
nctpdf
nctpdf (x, n, delta)
非中心t分布概率密度在X = x处的函数值
ncx2pdf
ncx2pdf (x, n, delta)
非中心卡方分布概率密度在X = x处的函数值
raylpdf
raylpdf (x, b)
瑞利分布概率密度在X = x处的函数值
weibpdf
weibpdf (x, a, b)
weibull分布概率密度在X = x处的函数值
例8-5 计算正态分布N (0,1)在点0.7733的概率密度值。
解：在Matlab命令窗口键入：
>> pdf('norm',0.7733,0,1) %利用通用函数
ans =
0.2958
>> normpdf(0.7733,0,1) %利用专用函数
ans =
0.2958
两者计算结果完全相同。
例8-6 绘制卡方分布密度函数在n分别等于1，5，15时的图形。
解：在Matlab编辑器中编辑M文件：LX0806.m
x=0:0.1:30;
y1=chi2pdf(x,1);
plot(x,y1,':')
hold on
y2=chi2pdf(x,5);
plot(x,y2,'+')
y3=chi2pdf(x,15);
plot(x,y3,'o')
axis([0,30,0,0.2])
xlabel('图8.1')
在命令窗口键入LX0806，回车后得结果为图8.1。

8.3.3 累积概率函数值（分布函数）
连续型随机变量的累积概率函数值是指随机变量X≤x的概率之和。即：
P{X≤x}=
也就是连续型随机变量的分布函数F (x)，F (x)既可以用通用函数，也可用专用函数来计算。通常用这些函数计算随机变量落在某个区间上的概率和随机变量X的分布函数F (x)。
1. 利用通用函数cdf计算累积概率值
格式：cdf (‘name’, x, A)
cdf (‘name’, x, A, B)
cdf (‘name’, x, A, B, C)
说明：返回随机变量X≤x的概率之和。name为上述分布函数名。
2. 利用专用函数计算累积概率值
其命令函数是在上述分布后面加上cdf，其用法同专用函数计算概率密度函数值。
如正态分布的累积概率值：
命令函数为：normcdf (x, mu, sigma)
则显示结果为 F (x) =的值。
例8-7某公共汽车站从上午7:00起每15分钟来一班车。若某乘客在7:00到7:30间的任何时刻到达此站是等可能的，试求他侯车的时间不到5分钟的概率。
解：设乘客7点过X分钟到达此站，则X在[0，30]内服从均匀分布，当且仅当他在时间间隔（7:10，7:15）或（7:25，7:30）内到达车站时，侯车时间不到5分钟。故其概率为：
p = P{10<X<15}+P{25<X<30}
在Matlab编辑器中建立M文件LX0807.m如下：
format rat
p1=unifcdf(15,0,30)-unifcdf(10,0,30);
p2=unifcdf(30,0,30)-unifcdf(25,0,30);
p=p1+p2
运行结果为：
p =
1/3
例8-8 设X~N (3, 22)，求P{2<X<5}，P{-4<X<10}，P{|X|>2}，P{X>3}。
解：在Matlab编辑器中编辑M文件LX0808.m如下：
p1=normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2)
p2=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2)
p3=1-normcdf(2,3,2)+normcdf(-2,3,2)
p4=1-normcdf(3,3,2)
运行结果为：
p1 =
0.5328
p2 =
0.9995
p3 =
0.6977
p4 =
0.5000
例8-9 设随机变量X的概率密度为

（1）确定常数c；
（2）求X落在区间内的概率；
（3）求X的分布函数F (x)。
解：（1）在Matlab编辑器中建立M文件LX08091.m如下：
syms c x
p_x=c/sqrt(1-x^2);
F_x=int(p_x,x,-1,1)
运行结果为：
F_x =
pi*c
由pi*c=1得 c=1/pi
（2）在Matlab编辑器中建立M文件LX08092.m如下：
syms x
c='1/pi'; %'1/pi'不加单引号“’’”，其结果的表达式有变化。
p_x=c/sqrt(1-x^2);
format rat
p1=int(p_x,x,-1/2,1/2)
运行结果为：
p1 =
1/3
（3）在Matlab编辑器中建立M文件LX08093.m如下：
syms x t
c='1/pi';
p_t=c/sqrt(1-t^2);
F_x=int(p_t,t,-1,x)
运行结果为：
F_x =
1/2*(2*asin(x)+pi)/pi
>> simple(F_x)
ans =
asin(x)/pi+1/2
所以X的分布函数为：F (x) =
例8-10 设lnX ~ N (1, 22)，求P{}。
解：利用对数分布累积专用函数，在Matlab命令窗口键入：
>> p=logncdf(2,1,2)-logncdf(1/2,1,2)
p =
0.2404

8.3.4 逆累积概率值
已知分布和分布中的一点，求此点处的概率值要用到累积概率函数cdf，当已知概率值而需要求对应概率的分布点时，就要用到逆累积概率函数icdf，icdf返回某给定概率值下随机变量X的临界值，实际上就是cdf的逆函数，在假设检验中经常用到。
即：已知F (x) = P{X≤x}，求x
逆累积概率值的计算有下面两种方法。
8.3.4.1 通用函数icdf
格式：icdf (‘name’, p, a1, a2, a3)
说明：返回分布为name，参数为a1, a2, a3累积概率值为p的临界值，这里name与前面相同。
如：p = cdf (‘name’, x, a1, a2, a3)
则：x = icdf (‘name’, p, a1, a2, a3)
例8-11设X~N (3, 22)，确定c，使得P{X>c} = P{X<c}。
解：若要P{X>c} = P{X<c}，只需P{X>c} = P{X<c}= 0.5
在Matlab命令窗口键入：
>> c=icdf('norm',0.5,3,2)
运行结果为：
c =
3
例8-12 在假设检验中，求临界值问题：
已知：，查自由度为10的双边界检验t分布临界值。
解：在Matlab命令窗口键入：
>> t0=icdf('t',0.025,10)
运行结果为：
t0 =
-2.2281
8.3.4.2 专用函数-inv
如：norminv (p, mu, sigma) %正态逆累积分布函数，返回临界值。用法与前面类似。
关于常用临界值函数可查表8.3：
表8.3 常用临界值函数表
函 数 名
调 用 形 式
注 释
unifinv
x = unifinv (p, a, b)
[a, b]上均匀分布逆累积分布函数，X为临界值
expinv
x = expinv (p, lambda)
指数逆累积分布函数
norminv
x = norminv (p, mu, sigma)
正态逆累积分布函数
chi2inv
x = chi2inv (p, n)
卡方逆累积分布函数
tinv
x = tinv (p, n)
T分布逆累积分布函数
finv
x = finv (p, n1, n2)
F分布逆累积分布函数
gaminv
x = gaminv (p, a, b)
分布逆累积分布函数
betainv
x = betainv (p, a, b)
分布逆累积分布函数
logninv
x = logninv (p, mu, sigma)
对数逆累积分布函数
ncfinv
x = ncfinv (p, n1, n2, delta)
非中心F分布逆累积分布函数
nctinv
x = nctinv (p, n, delta)
非中心t分布逆累积分布函数
ncx2inv
x = ncx2inv (p, n, delta)
非中心卡方逆累积分布函数
raylinv
x = raylinv (p, b)
瑞利逆累积分布函数
weibinv
x = weibinv (p, a, b)
韦伯逆累积分布函数

例8-13 公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过1%设计的。设男子身高X（单位：cm）~ N (175, 36)，求车门的最低高度。
解：设h为车门高度，X为男子身高，求满足条件P{X>h}≤0.01的h，即P{X<h}≥0.99。
在Matlab命令窗口键入：
>> h=norminv(0.99,175,6)
h =
188.9581
例8-14 设二维随机向量(X, Y)的联合密度为

求：（1）P{0<X<1, 0<Y<1}；
（2）（X，Y）落在x+y = 1, x = 0, y = 0所围成区域G内的概率。
解：在Matlab编辑器中编辑M文件LX0814.m如下：
syms x y
f=exp(-x-y);
p_XY=int(int(f,y,0,1),x,0,1)
p_G=int(int(f,y,0,1-x),x,0,1)
运行结果为：
p_XY =
exp(-2)-2*exp(-1)+1
p_G =
-2*exp(-1)+1

8.4 数字特征
随机变量的数字特征是概率统计学的重要内容。在对随机变量的研究中，如果对随机变量的分布不需要作全面的了解，那么只需要知道它在某一方面的特征就够了。这些特征的数就是随机变量的数字特征。
8.4.1 随机变量的期望
期望是随机变量的所有可能取值乘以相应的概率值之和，即

其中是对应于的概率，即权重。
是常用的情况：给定一组样本值x = [x1, x2, …, xn]

此时，期望称为样本均值。
8.4.1.1 离散型随机变量X的期望计算
1. 函数：sum %求和
格式：sum (X)
说明：若X为向量，则sum (X)为X中的各元素之和，返回一个数值；
若X为矩阵，则sum (X)为X中各列元素之和，返回一个行向量。
2. 函数：mean
格式：mean (X)
说明：若X为向量，则mean (X)为X中的各元素的算术平均值，返回一个数值；
若X为矩阵，则mean (X)为X中各列元素的算术平均值，返回一个行向量。
例8-15设随机变量X的分布律为：
X
-2
-1
0
1
2
p
0.3
0.1
0.2
0.1
0.3
求EX，E (X2-1)。
解：在Matlab编辑器中建立M文件LX0815.m：
X=[-2 -1 0 1 2];
p=[0.3 0.1 0.2 0.1 0.3];
EX=sum(X*p')
Y=X.^2-1;
EY=sum(Y*p')
运行结果为：
EX =
0
EY =
1.6000
或
X=[-2 -1 0 1 2];
p=[0.3 0.1 0.2 0.1 0.3];
EX=sum(X.*p)
Y=X.^2-1;
EY=sum(Y.*p)
EX =
0
EY =
1.6000
例8-16 随机抽取6个滚珠测得直径如下：（单位：mm）
14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32
试求样本均值。
解：在Matlab命令窗口键入：
>> X=[14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32];
>> mean(X)
ans =
15.0600
8.4.1.2 连续型随机变量的期望
若随机变量X的概率密度为p (x)，则X的期望为：

若下式右端积分绝对收敛，则X的函数f (X)的期望为：

例8-17 已知随机变量X的概率密度

求EX和E (4X-1)。
解：在Matlab编辑器中建立M文件LX0817.m：
syms x
p_x=3*x^2;
EX=int(x*p_x,0,1)
EY=int((4*x-1)*p_x,0,1)
运行结果为：
EX =
3/4
EY =
2
例8-18 设随机变量X的概率密度为

求EX。
解：在Matlab编辑器中建立M文件LX0818.m：
syms x
p_x=1/2*exp(-abs(x));
EX=int(x*p_x,-inf,inf)
运行结果为：
EX =
0
8.4.2 方差
方差是随机变量的个别偏差的平方的期望：
DX = E (X-EX)2 = EX2-(EX)2
标准差：
对于样本x = [x1, x2, …, xn]，有
样本方差：
样本标准差：
8.4.2.1 离散型随机变量的方差
1. 方差
DX = E (X-EX)2 = EX2-(EX)2
在Matlab中用sum函数计算：
设X的分布律为P{X = xk} = pk，k = 1, 2, …
则方差 DX = sum (X - EX).^2.*p
或 DX = sum (X .^2.*p) - (EX).^2
标准差： = sqrt (DX)
例8-19 设随机变量X的分布律为
X
-2
-1
0
1
2
p
0.3
0.1
0.2
0.1
0.3
求DX，D (X2-1)。
解：在Matlab编辑器中建立M文件LX0819.m：
X=[-2 -1 0 1 2];
p=[0.3 0.1 0.2 0.1 0.3];
EX=sum(X.*p)
Y=X.^2-1
EY=sum(Y.*p)
DX=sum(X.^2.*p)-EX.^2
DY=sum(Y.^2.*p)-EY.^2
运行结果为：
EX =
0
Y =
3 0 -1 0 3
EY =
1.6000
DX =
2.6000
DY =
3.0400
2. 样本方差
设随机变量X的样本为x = [x1, x2, …, xn]，由于X取xi的概率相同且均为1/n，因此可以用上面的方法计算方差。另一方面，在Matlab中又有专门的函数var计算样本方差。
函数：var %计算一组采集数据即样本的方差
格式：var (X) %var (X) = ，若X为向量，则返回向量的样本方差；若X为矩阵，则返回矩阵列向量的样本方差构成的行向量。
var (X, 1) %返回向量（矩阵）X的简单方差（即置前因子为1/n的方差）
var (X, w) %返回向量（矩阵）X的以w为权重的方差
函数：std %计算一组采集数据即样本的标准差
格式：std (X) %返回向量（矩阵）X的样本标准差即：
std (X) =
std (X, 1) %返回向量（矩阵）X的标准差（置前因子为1/n）
std (X, 0) %与std (X)相同
std (X, flag, dim) %返回向量（矩阵）X中维数为dim的标准差