北京大学高等数学D2012年高数期末试题.doc

2012-2013学年第一学期期末考试试卷（高等数学D类）
考试时间：2013年 1月15 日 8:30 -10:30 共7大题，满分100分
一、 判断题（指出下列说法的正确性，如果错误请简述理由或给出反例；3分/题，共计15分）
1. 在某一变化过程中，若为无穷小量，且，则是无穷大量。
2. 函数在上可积的充分必要条件是函数在上连续。
3. 广义积分。
4. 多元函数在某点各偏导数存在，则该函数在该点可微，反之不成立。
5. 由于对函数求不定积分与求导互为逆运算，因而对函数先积分再求导等于函数本身，对函数先求导再积分也等于函数本身。
二、 选择题（2分/题，共计10分）
1. 若是的一个原函数，则正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2. 设，且，则（ ）
（A）存在且为零 (B) 存在但不一定为零 (c) 不一定存在 (D) 一定不存在
3. 下列求极限问题中能够使用洛必达法则的是（ ）
（A） (B) (C) (D)
4. （ ）
（A） (B)
（C） (D)
5. 若，则k为（ ）
（A）0 (B)1 (C)2 (D)3
三、 填空题（3分/题，共计15分）
1. 设隐函数，则=________
2. 设是的原函数，则_______
3. 函数的全微分是_____________
4. 已知，则__________
5. 由曲线和所围成的平面图形的面积为__________
四、 计算题（40分）
1. 求下列不定积分（4分/题，共计20分）
（1） （2）
（3） （4）
（5）
2. 设，具有二阶连续偏导数，求、及（10分）
3. 计算二重积分 其中Ｄ是以（0,0），（1,1），（0,1）为顶点的三角形区域（5分）
4. 求极限（5分）

五、 证明题（10分）
设函数在在[0,1]上连续且单调递减，证明对任意的，有.

六、 求平面和柱面的交线上与平面距离最短的点。（10分）