定积分及其应用练习-带详细答案.doc

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定积分及其应用
题一
题面：
求由曲线与轴，直线所围成的平面图形的面积．
答案：．

变式训练一
题面：
函数f(x)＝的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为(　　)
A. B．2
C．3 D．4
答案：D.
详解：
画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x轴所围成的封闭图形的面积为×2×2＋∫02cos xdx＝2＋2sin x＝4.

变式训练二
题面：
由直线y＝2x及曲线y＝3－x2围成的封闭图形的面积为(　　)
A．2 B．9－2
C. D.
答案：
详解：
注意到直线y＝2x与曲线y＝3－x2的交点A，B的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y＝2x与曲线y＝3－x2围成的封闭图形的面积为(3－x2－2x)dx＝＝3×1－×13－12－＝，选D.

题二
题面：
如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为(　　)．
A． B． C． D．

变式训练一
题面：
函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．

若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．
答案：.
详解：
设A(x0,0)，则ωx0＋φ＝，∴x0＝－.
又y＝ωcos(ωx＋φ)的周期为，
∴|AC|＝，C.
依题意曲线段与x轴围成的面积为
S＝－∫－＋－ωcos(ωx＋φ)dx＝2.
∵|AC|＝，|yB|＝ω，∴S△ABC＝.
∴满足条件的概率为.

变式训练二
题面：
（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（　　）

A．

B．

C．

D．

答案：C.
详解：
根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，
而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，
则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；
故选C．

金题精讲
题一
题面：
（识图求积分，二星）已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为(　　)．
A． B． C． D．

答案：

变式训练一
题面：
如图求由两条曲线y＝－x2，y＝－x2及直线y＝－1所围成的图形的面积．

答案：.
详解：
由得交点
A(－1，－1)，B(1，－1)．
由得交点C(－2，－1)，D(2，－1)．
∴所求面积
S＝2＝.

变式训练二
题面：
例1求在上，由轴及正弦曲线围成的图形的面积.
答案：4.
详解：
y
作出在上的图象如右
Л
0
x
与轴交于0、、，所
2Л
求积

题二
题面：
（作图求积分，四星）求曲线与曲线所围成的图形的面积．
交点的横坐标分别为，．

变式训练一
题面：
求曲线，及所围成的平面图形的面积.
答案：.
详解：
y=x2
y=2x
y
作出，及的图如右
B(2,4)
解方程组 得
A(1,1)
y=x
2
1
x
o
解方程组 得
所求面积

答：此平面图形的面积为

变式训练二
题面：
求由抛物线与直线及所围成图形的面积.
答案：.
详解：
y
作出及的图形如右：
6
解方程组 得
x
解方程组 得
6
2
O
所求图形的面积

题三
题面：
（1）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为_______．
（2）由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为_______．
答案：（1）；（2）．

变式训练一
题面：
设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

答案：C.
详解：
根据题意作出函数的图象：

根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=
故选C

变式训练二
题面：
已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（　　）

A．
1/2
B．
1
C．
2
D．
3/2
答案：D.
详解：
由题意图象与x轴所围成图形的面积为

.
故选D．

题四
题面：
（导数与积分结合，二星）设函数的导函数为，则的值等于______．
答案：．

变式训练一
题面：
设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx的值等于(　　)
A. B.
C. D.
答案：A.
详解：
由于f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是∫f(－x)dx＝∫(x2－x)dx＝＝.

变式训练二
题面：
设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx的值等于(　　)
A. B.
C. D.
答案：A.
详解：
由于f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是f(－x)dx＝ (x2－x)dx＝＝.

题五
题面：
（化简后求积分，四星）（1）求

（2）

变式训练一
题面：
与定积分∫dx相等的是(　　)
A.∫sindx　　　　　 B.∫dx
C. D．以上结论都不对
答案：B.
详解：
∵1－cos x＝2sin2，
∴∫dx＝∫ dx
＝∫dx.

变式训练二
题面：
________.
答案：.
详解：
因为sin x＝sin＝，所以∫0cos xdx＝.

题六
题面：
（定积分的运用，三星）函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．
(1)若φ＝，点P的坐标为，则ω＝________；
(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．

　[解析] (1)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)求导得，f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)，把φ＝和点代入得ωcos＝解得ω＝3．
(2)取特殊情况，在(1)的条件下，导函数f′(x)＝3cos，求得A，
B，C，故△ABC的面积为S△ABC＝××3＝，曲线段与x轴所围成的区域的面积S＝－＝－sin＋sin＝2，所以该点在△ABC内的概率为P＝＝.

同类题一
题面：
设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x－2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
答案：
(1) f(x)＝x2－2x＋1.
(2) .
详解：
(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.又f′(x)＝2x－2，
所以a＝1，b＝－2，即f(x)＝x2－2x＋c.
又方程f(x)＝0有两个相等实根，
所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
故f(x)＝x2－2x＋1.
(2)依题意，所求面积为
S＝(x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)|＝.

同类题二
题面：
设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且
f′（x）=2x+2.
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.
答案：
（1）f（x）=x2+2x+1.
（2）.
（3）t=1－.
详解：
（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，
又已知f′（x）=2x+2
∴a=1，b=2.
∴f（x）=x2+2x+c
又方程f（x）=0有两个相等实根，
∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.
故f（x）=x2+2x+1.
（2）依题意，有所求面积=.
（3）依题意，有，
∴，－t3+t2－t+=t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，
∴2（t－1）3=－1，于是t=1－.

思维拓展
题一
题面：
（几何法求积分，四星）
（1）计算，；（2）求椭圆的面积．
，转化为圆的面积．

同类题一
题面：
求定积分的值.
答案：．
详解：
表示圆x2＋y2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．
因为，又在x轴上方．
所以＝．

同类题二
题面：
的值是（　　）
A. B. C. D.
答案：A.
详解：
积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，
故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差．
即

.
故答案选A

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