四川省遂宁二中2020-2021学年高二数学上学期期中试题-文.doc

四川省遂宁二中2020-2021学年高二数学上学期期中试题 文

四川省遂宁二中2020-2021学年高二数学上学期期中试题 文

年级：
姓名：

- 10 -

四川省遂宁二中2020-2021学年高二数学上学期期中试题 文
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。）
1．过点和的直线的斜率为1，则实数a的值为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 1或4 D. 1或2
2．已知圆，圆 ，则圆C1与圆C2的位置关系是
（ ）
A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切
3．平行线和的距离是 （　　）
A． B． C． D．
4．设有直线m，n和平面α，β，下列四个命题中，正确的是 （ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，l∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，mα，则m∥α
5．对于a∈R，直线（x+y﹣1）﹣a（x+1）=0恒过定点P，则以P为圆心，为半径的圆的方程是（　　）
A． B．
C． D．
6．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
7．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 （ ）
A．πR3 B．πR3 C．πR3 D．πR3
8．已知满足约束条件，则的最大值为 （　 　）
A．0 B．2 C．3 D．4
9．如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 （ ）
A．2＋
B．4＋
C．2＋2
D．5

11．已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12． N为圆x2+y2=1上的一个动点，平面内动点M（x0，y0）满足|y0|≥1且∠OMN=30°（O为坐标原点），则动点M运动的区域面积为 （　 　）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、 填空题：本大题四小题，每小题5分，共20分．
13．两圆x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2－6x＝0的公共弦方程是_______________．
14．在轴上与点和点等距离的点的坐标为______________．
15．若满足约束条件，则的最大值为 ．
16．已知直线l1：ax﹣y+1=0与l2：x+ay+1=0，给出如下结论：其中正确的结论有 ．
①不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；
②当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（﹣1，0）；
③不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；
④当a变化时，l1与l2的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点）．
三、解答题：本大题共六小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（本题满分10分）
在正方体中，、分别是、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．

18．（本小题满分12分）
已知三角形的顶点坐标为，，，是边上的中点．
（1）求边所在的直线方程；
（2）求中线的长；
（3）求边的高所在直线方程．

19．（本小题满分12分）
已知直线l1的方程为．
（1）若直线l2与l1平行，且过点，求直线l2的方程；
（2）若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程．

20．（本题满分12分）
已知点M（3，1），圆O1：．
（1）若直线与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值；
（2）求过点M的圆O1的切线方程．

21．（本题满分12分）
如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，，点在侧棱上，且．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．

22．（本题满分12分）
已知圆,直线．
（1）若直线与圆O交于不同的两点A,B,当时,求的值；
（2）若，P是直线上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD切点为C、D，
问：直线CD是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（3）若EF、GH为圆的两条相互垂直的弦,垂足为，求四边形EGFH的面积S的最大值．

答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
D
A
B
A
D
D
C
C
B

12． 解：如图，过M作⊙O切线交⊙O于T，根据圆的切线性质，有∠OMT≥∠OMN=30°．
反过来，如果∠OMT≥30°，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=30°．
∴若圆C上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMT≥30°．
∵|OT|=1，∴|OM|≤2．即（|y0|≥1）．
把y0=1代入，
求得A（），B（），∴，
∴动点M运动的区域面积为2×（）=．
二、填空题
13．x＋3y＝0 14．(0，0，1) 15．3 16．①②④

16．【答案】①②④ 【解析】①a×1﹣1×a=0恒成立，l1与l2垂直恒成立，故①正确；
②直线l1：ax﹣y+1=0，当a变化时，x=0，y=1恒成立，所以l1经过定点A（0，1）；
l2：x+ay+1=0，当a变化时，y=0，x=﹣1恒成立，所以l2经过定点B（﹣1，0），故②正确
③在l1上任取点（x，ax+1），关于直线x+y=0对称的点的坐标为（﹣ax﹣1，﹣x），
代入l2：x+ay+1=0的左边，显然不为0，故③不正确；
④联立直线l1：ax﹣y+1=0与l2：x+ay+1=0，消去参数a可得：x2+x+y2﹣y=0（x≠0，y≠0），
∴当a变化时，l1与l2的交点轨迹是以AB为直径的圆（除去原点），故④正确．
三、解答题
17．解：（1）∵为正方体，∴，
又平面，
∵平面，则，
又∵，
∴平面
（2）设的中点为，连接
∵E、G分别是、BC的中点，则，

∵，
∴平面，
同理平面。
又∵，
则平面平面，
∵平面，
∴平面
18．解：（1）由两点式写方程得，即．

（3）因为直线的斜率为，
设边的高所在直线的斜率为，则有，
∴，
所以边上高所在直线方程为，
即．
19． 解：（1）由直线l2与l1平行，可设l2的方程为3x+4y+m=0，
以x=﹣1，y=3代入，得﹣3+12+m=0，即得m=﹣9，
∴直线l2的方程为3x+4y﹣9=0．
（2） 由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为4x﹣3y+n=0，
令y=0，得x=﹣，令x=0，得y=，
故三角形面积S=•|﹣|•||=4∴得n2=96，即n=±4
∴直线l2的方程是4x﹣3y+4=0或4x﹣3y﹣4=0．
20．解：（1）根据题意，圆O1：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，圆心为（1，2），半径r＝2，
若弦AB的长为，则圆心到直线ax﹣y+4＝0的距离d＝，
又由圆心为（1，2），直线ax﹣y+4＝0，
则有d＝，解得；
（2）根据题意，分2种情况讨论：
当切线斜率不存在时，其方程为x＝3，与圆相切，符合条件，
当切线斜率存在时，设其方程为y﹣1＝k（x﹣3），
圆心到它的距离，解得，
切线方程为3x﹣4y﹣5＝0，
所以过点M的圆的切线方程为x＝3或3x﹣4y﹣5＝0
20． 解：（1）设的中点为，连接。
由已知，，底面，
∵平面，∴，
又∵，∴平面，
∵平面，∴
（2） 在边上找一点，连接，使。
由已知，底面，∴底面，
又由已知，则
∵∽，且
则，,
∴。
22． 解：（1），
即
(2) 由题可知O,P,C,D四点共圆且在以OP为直径的圆上，
设P（t,-t）,其方程为x(x-t)+y(y-t+4)=0,
即，又C,D在圆上
∴
由，
所以直线过定点（1，-1）
（3） 设圆心O到直线EF,GH的距离分别为d1,d2，
则
，
当且仅当时等号成立，
此时，四边形EFGH面积的最大值为5.