山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二数学上学期第二次月考试题-文.doc

山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二数学上学期第二次月考试题 文

山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二数学上学期第二次月考试题 文

年级：
姓名：

- 11 -

山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二数学上学期第二次月考试题 文
【满分150分，考试时间120分钟】
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数的虚部是
A．4 B． C． D．3
2．直线的倾斜角为
A． B． C． D．
3．圆心为，半径为的圆的方程为
A． B．
C． D．
4．设复数满足:，则在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．圆在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
6. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图是
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．一般的平行四边形
7．设直线:，:，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．下列命题是真命题的是
A．命题“若，则”的否命题是：“若，则”
B．若命题，则
C．“”是函数“在区间上为增函数”的充分不必要条件
D．若命题若复数满足,则;命题若复数满足,则,则为真
9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱. 已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是
A． B． C． D．
10．若直线与直线关于点对称，则直线经过定点
A． B． C． D．
11．已知圆，则过点的最短弦所在直线的方程是
A． B．
C． D．
12．已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，则球心到截面的距离为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．直线与的交点坐标是　　 　．
14．若直线与平行，则之间的距离为　　 　．
15．圆与圆的公共弦长为　 　．
16．设复数满足，则的最大值为　　 　．
三、解答题：本大题共70分
17．(本题满分10分) 写出满足下列条件的直线的方程．
(1) 经过点，且与直线垂直；
(2) 经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的2倍．

18．(本题满分12分)
(1) 请用分析法证明：；
(2) 请用反证法证明：设，则与中至少有一个不小于．

19．(本题满分12分)如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．
(1) 求证：平面；
(2) 求点到平面的距离．

20．(本题满分12分) 已知圆经过点和, 且圆心在直线上．
(1) 求圆的标准方程；
(2) 直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程．

21．(本题满分12分) 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，,,.
(1) 求证：平面平面；
(2) 若，点在线段上，且三棱锥的体积为，求．

22．(本题满分12分) 在平面直角坐标系中，已知动点与两个定点,的距离之比为，记动点的运动轨迹为曲线.
(1) 求曲线的方程；
(2) 设过点的直线交曲线于两点，问在轴上是否存在定点,使得(分别表示直线的斜率)恒成立，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2020—2021学年第一学期高二第二次月考数学答案（文科）
1---12 DBADC ACCDB BA
13. 14. 15. 16.
17 解: (1)因为直线的斜率为，…………………………………………………………1分
所以所求直线的斜率为，………………………………………………………………………2分
所以所求直线的方程为，………………………………………………………4分
即.……………………………………………………………………………………5分
(2) 当直线过原点时，设直线的方程为，把点代入可得，，…………………6分
此时直线的方程为.……………………………………………………………………………7分
当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入可得，，…………8分
此时直线的方程为.…………………………………………………………………………9分
综上可得，满足条件的直线方程为或.……………………………………10分
18. 证明：(1)要证：………………………………………………1分
只需证：…………………………………………2分
只需证：
只需证：…………………………………………………4分
只需证：
只需证：………………………………………………………………………………5分
而显然成立，所以原不等式得证.……………………………………………………6分

(2)假设结论不成立，即都小于2，…………………………………………………………7分
则①………………………………………………………………………………8分
而由基本不等式，，，…………………………………………………………………10分
与①式矛盾，…………………………………………………11分
所以假设不成立，原命题成立.……………………………………………………………………………12分

19. 解：(1)证明：取PA的中点G,连接BG,GE,
因为G、E分别为PA、PD的中点，所以GE//AD,…………………………………………………2分
又BC//AD, 所以GE//BC, 所以四边形GECB为平行四边形，所以CE//BG,……………………4分
又CE平面PAB, BG平面PAB，……………………………………………………………………5分
所以CE//平面PAB.…………………………………………………………………………………………6分
(2)解：,,
,,又,,
又,.
,.…………………………………………………………………………8分
设点D到平面PBC的距离为，则,………………………………………………10分
即,，解得，
所以点D到平面PBC的距离为.…………………………………………………………………12分
20. 解：(1)因为,所以直线AB的斜率为,AB中点坐标为
所以线段AB的垂直平分线的方程为：，即………………………………2分
联立 ，得 所以圆心，………………………………………………4分
则半径长为,
所以圆C的方程为.………………………………………………………………6分
(2) 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心C到直线的距离为1，直线被圆C截得的弦长为，符合题意.…………………………………………………………………………8分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则圆心到直线的距离，
又，所以， ……………………………………………………………10分
所以直线的方程为.……………………………………………………………………11分
综上所述，直线的方程为或.…………………………………………………12分

21. 解：(1),,………………………………………………………………2分
又,,,…………………………………………………………5分
又,……………………………………………………………6分
(2)，,,,
过点P作交AB于点M,则PM=1,………………………………………………………………7分
由(1),且,,且,……8分
设点E到平面ACD的距离为，则

………………………………………………………………………………………………………………………10分
解得：，所以点E到平面ACD的距离为，…………………………………………………………11分
.………………………………………………………………………………………………12分

22. 解：(1)设,则，………………………………………………………………2分
化简得：，所以曲线C的方程为.……………………………………4分
(2)存在，理由如下：
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，，，
……………………………………………………………………………………………………………………5分
，得，，
， ，…………………………………………………………………………7分
若,即，………………………………………………………………………9分，………………………………………………………………………………………9分
，，
，，……………………………………………………………………10分
当直线轴时，, 当时，也成立.……………………11发
综上所述，当时，恒成立.……………………………………………………………12分