山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二数学上学期第二次月考试题-理.doc

山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二数学上学期第二次月考试题 理

山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二数学上学期第二次月考试题 理

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山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二数学上学期第二次月考试题 理
【满分150分，考试时间120分钟】
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数的虚部是
A．4 B． C． D．3
2．直线的倾斜角为
A． B． C． D．
3．圆心为，半径为的圆的方程为
A． B．
C． D．
4．设复数满足:，则在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5. 圆在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
6. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图是
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．一般的平行四边形
7．设直线:，:，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．下列命题是真命题的是
A．命题“若，则”的否命题是：“若，则”
B．若命题，则
C．“”是函数“在区间上为增函数”的充分不必要条件
D．若命题若复数满足,则;命题若复数满足,则,则为真
9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱. 已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是
A． B． C． D．
10．设圆与圆相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是
A． B． C． D．
11．已知直线恒过点, 直线上有一动点,点的坐标为，当取得最小值时，点的坐标为
A． B． C． D．
12．已知球是正三棱锥的外接球，,, 点在线段上，且, 过点作球的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．用反证法证明命题“可以被整除，那么中至少有一个能被整除”，那么假设的内容是　　 　．
14．若直线与平行，则之间的距离为　　 　．
15．设复数满足，则的最大值为　　 　．
16．过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于　 　．
三、解答题：本大题共70分.
17．(本题满分10分) 写出满足下列条件的直线的方程．
(1) 经过点，且与直线垂直；
(2) 经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的2倍．

18．(本题满分12分)
(1) 请用分析法证明：；
(2) 请用数学归纳法证明：．

19．(本题满分12分)如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，为的中点．
(1) 求证：平面；
(2) 求二面角的正弦值．

20．(本题满分12分) 已知圆经过点和, 且圆心在直线上．
(1) 求圆的标准方程；
(2) 直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程．

21．(本题满分12分) 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，,,.
(1) 求证：平面平面；
(2) 若，试判断棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

22．(本题满分12分) 在平面直角坐标系中，已知动点与两个定点,的距离之比为，记动点的运动轨迹为曲线.
(1) 求曲线的方程；
(2) 设过点的直线交曲线于两点，问在轴上是否存在定点,使得轴平分?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2020—2021学年第一学期高二第二次月考理科数学参考答案
1---12 DBADC ACCDB BA
13. 都不能被5整除 14. 15. 16.
17 解: (1)因为直线的斜率为，…………………………………………………………1分
所以所求直线的斜率为，………………………………………………………………………2分
所以所求直线的方程为，………………………………………………………4分
即.……………………………………………………………………………………5分
(2) 当直线过原点时，设直线的方程为，把点代入可得，，…………………6分
此时直线的方程为.……………………………………………………………………………7分
当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入可得，，…………8分
此时直线的方程为.…………………………………………………………………………9分
综上可得，满足条件的直线方程为或.……………………………………10分
18. 证明：(1)要证：………………………………………………1分
只需证：…………………………………………2分
只需证：
只需证：…………………………………………………4分
只需证：
只需证：………………………………………………………………………………5分
而显然成立，所以原不等式得证.……………………………………………………6分
(2)①当时，左边=1，右边=1，等式成立.…………………………………………………………7分
②假设当时等式成立，即 ,…………8分
则当时，该等式成立………………………………………………………………………………………………11分
根据①②,原等式成立.……………………………………………………………………………………12分

19. 解：(1)证明：取PA的中点G,连接BG,GE,
因为G、E分别为PA、PD的中点，所以GE//AD,…………………………………………………2分
又BC//AD, 所以GE//BC, 所以四边形GECB为平行四边形，所以CE//BG,……………………4分
又CE平面PAB, BG平面PAB，……………………………………………………………………5分
所以CE//平面PAB.…………………………………………………………………………………………6分
(2)解：以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-xyz,
………………………………………………………………………………………………………………7分
则P(0,0,2), C(1,1,0), E(0,1,1), F(,0,1), ,,
设平面PCE与平面CEF的法向量分别为和，
则, , 可取，，………………………………………10分
所以，………………………………………………………………………11分
设二面角为，则，
所以二面角的正弦值为.………………………………………………………………12分
20. 解：(1)因为,所以直线AB的斜率为,AB中点坐标为
所以线段AB的垂直平分线的方程为：，即………………………………2分
联立 ，得 所以圆心，………………………………………………4分
则半径长为,
所以圆C的方程为.………………………………………………………………6分
(2) 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心C到直线的距离为1，直线被圆C截得的弦长为，符合题意.…………………………………………………………………………8分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则圆心到直线的距离，
又，所以， ……………………………………………………………10分
所以直线的方程为.……………………………………………………………………11分
综上所述，直线的方程为或.…………………………………………………12分
21. 解：(1),,………………………………………………………………2分
又,,,…………………………………………………………5分
又,……………………………………………………………6分
(2)由(1)知且,,又，
以A为坐标原点，分别以AB、AC所在直线为x轴、y轴，平面PAB内过点A且与直线AB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz,……………………………………………………………………7分
，,,,
则A(0,0,0), P(1,0,1), B(2,0,0), C(0,2,0),,,,
设平面PBC的法向量为，则， 得，………………………………9分
设,则,………………………………………10分
，解得 或(舍去)
所以存在点E,使得时，直线CE与平面PBC所成角的正弦值为.…………………………12分
22. 解：(1)设,则，………………………………………………………………2分
化简得：，所以曲线C的方程为.……………………………………4分
(2)当直线轴时，轴平分;…………………………………………………………………5分
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，，，…6分
，得，，
， ，…………………………………………………………………………8分
若x轴平分,则,…………………………………………………………………………9分
，，…………………………………………………………10分
，，
，，…………………………………………………………………………………11分
所以当时，总成立，即x轴平分.…………………………………12分