资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知点是线段的一个黄金分割点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（ ）
A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n
3．一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是
A．60° B．90° C．120° D．180°
4．函数与抛物线的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
5．是四边形的外接圆，平分，则正确结论是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
7．四位同学在研究函数（是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．下列汽车标志中，是中心对称图形的有 ( )个.
A．1 B．2 C．3 D．4
9．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（ ）
A．x2﹣1 B．x2+2x+1 C．x2﹣2x+1 D．x（x﹣2）﹣（x﹣2）
10．把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向右平移2个单位后，再沿y轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+1 B．y＝（x+1）2﹣1 C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，正方形OABC 与正方形ODEF是位似图，点O为位似中心，位似比为 2：3 ，点A 的坐标为（0，2），则点E的坐标是 ____.
12．如图，已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果AD：DB=1：2，则CE：CF的值为____________．
13．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2,4），B（1,1），则不等式ax2＞bx+c的解集是_________.
14．化简：=______．
15．已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为_______．
16．已知，是关于的方程的两根，且满足，则的值为_______.
17．在平面直角坐标系中，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，且点．若点, 则的坐标为__________．
18．如图，双曲线与⊙O在第一象限内交于P、Q 两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若是直线上方抛物线上一点；
①当的面积最大时，求点的坐标；
②在①的条件下，点关于抛物线对称轴的对称点为，在直线上是否存在点，使得直线与直线的夹角是的两倍，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.
20．（6分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每
件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）．设每件商品的售价上涨x元（x
为整数），每个月的销售利润为y元，
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
21．（6分）如图，在中，，过点作的平行线交的平分线于点，过点作的平行线交于点，交于点，连接，交于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
22．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D．
（1）求证：△ABC∽△BDC．
（2）若AC=8，BC=6，求△BDC的面积．
23．（8分）如图，与关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE．
求证：FD=BE．
24．（8分）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：
①旋转角的度数 ；线段OD的长为 ．
②求∠BDC的度数；
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC=90°？请给出证明．
25．（10分）把二次函数表达式化为的形式.
26．（10分）满洲里市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】试题分析：根据题意得AP=AB，所以PB=AB-AP=AB，所以PB：AB=．故选B．
考点：黄金分割
点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点；其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
2、D
【解析】根据反比例函数的性质，可得答案．
【详解】∵y=−的k=-2＜1，图象位于二四象限，a＜1，
∴P（a，m）在第二象限，
∴m＞1；
∵b＞1，
∴Q（b，n）在第四象限，
∴n＜1．
∴n＜1＜m，
即m＞n，
故D正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k＜1时，图象位于二四象限是解题关键．
3、B
【解析】试题分析：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的4倍，∴4πr2=πrR．∴R=4r．∴底面周长=πR．
∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，
∴设圆心角为n°，有，∴n=1．
故选B．
4、C
【分析】一次函数和二次函数与y轴交点坐标都是(0,1)，然后再对a分a>0和a<0讨论即可．
【详解】解：由题意知：与抛物线与y轴的交点坐标均是(0,1)，故排除选项A；
当a>0时，一次函数经过第一、二、三象限，二次函数开口向上，
故其图像有可能为选项C所示，但不可能为选项B所示；
当a<0时，一次函数经过第一、二、四象限，二次函数开口向下，不可能为为选项D所示；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的图像关系，熟练掌握函数的图像与系数之间的关系是解决本类题的关键．
5、B
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对结论进行逐一判断即可．
【详解】解：与的大小关系不确定，与不一定相等，故选项A错误；
平分，，，故选项B正确；
与的大小关系不确定，与不一定相等，选项C错误；
∵与的大小关系不确定，选项D错误；
故选B．
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
6、D
【解析】反比例函数与一次函数的交点问题．根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围：由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y1．故选D．
7、B
【分析】利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论．
【详解】解：A．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确
由乙、丁同学的结论可得
解得：
∴二次函数的解析式为：
∴当x=时，y的最小值为，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；
B．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确
由甲、丙的结论可得二次函数解析式为
当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0
∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；
C． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确
由甲乙的结论可得
解得：
∴
当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；
D． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确
由甲、丙的结论可得二次函数解析式为
当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意．
故选B．
【点睛】
此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b、c的值是解决此题的关键．
8、B
【分析】根据中心对称图形的概念逐一进行分析即可得.
【详解】第一个图形是中心对称图形；
第二个图形不是中心对称图形；
第三个图形是中心对称图形；
第四个图形不是中心对称图形，
故选B.
【点睛】
本题考查了中心对称图形，熟知中心对称图形是指一个图形绕某一个点旋转180度后能与自身完全重合的图形是解题的关键.
9、B
【分析】原式各项分解后，即可做出判断．
【详解】A、原式=（x+1）（x-1），含因式x-1，不合题意；
B、原式=（x+1）2，不含因式x-1，符合题意；
C、原式=（x-1）2，含因式x-1，不合题意；
D、原式=（x-2）（x-1），含因式x-1，不合题意，
故选：B．
【点睛】
此题考查因式分解-运用公式法，提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10、C
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】把抛物线y＝（x﹣1）2+2沿x轴向右平移2个单位后，再沿y轴向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣2）2+2﹣3，即y＝（x﹣3）2﹣1．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、（3，3）
【分析】根据位似图形的比求出OD的长即可解题.
【详解】解：∵正方形OABC 与正方形ODEF是位似图，位似比为 2：3 ，
∴OA:OD=2:3,
∵点A 的坐标为（0，2），即OA=2,
∴OD=3,DE=EF=3,
故点E的坐标是（3，3）.
【点睛】
本题考查了位似图形,属于简单题,根据位似图形的性质求出对应边长是解题关键.
12、
【分析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED∽△BDF，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.
【详解】解：如图，连接DE,DF,
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC, ∠A=∠B=∠ACB=60°,
由折叠可得，∠EDF=∠ACB=60°,DE=CE,DF=CF
∵∠BDE=∠BDF+∠FDE=∠A+∠AED,
∴∠BDF+60°=∠AED+60°,
∴∠BDF=∠AED,
∵∠A=∠B,
∴△AED∽△BDF,
∴ ,
设AD=x，∵AD：DB=1：2,则BD=2x,
∴AC=BC=3x,
∵,
∴
∴
∴,
∴.
故答案为： .
【点睛】
本题考查了折叠的性质，利用三角形相似对应边成比例及比例的性质解决问题，能发现相似三角形的模型，即“一线三等角”是解答此题的重要突破口.
13、x＜-2或x＞1
【分析】根据图形抛物线与直线的两个交点情况可知，不等式的解集为抛物线的图象在直线图象的上方对应的自变量的取值范围．
【详解】如图所示：
∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，
∴二次函数图象在一次函数图象上方时，即不等式的解集为：或．
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与不等式组．解答此题时，利用了图象上的点的坐标特征来解不等式．
14、.
【解析】试题解析：原式
故答案为
15、m＞1
【分析】根据反比例函数，如果当x＞0时，y随自变量x的增大而增大，可以得到1-m＜0，从而可以解答本题．
【详解】解：∵反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴1-m＜0，
解得，m＞1，
故答案为：m＞1．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
16、5
【分析】由韦达定理得，，将其代入即可求得k的值．
【详解】解：、是方程的两个根，
，.
，
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理与方程的解的定义．
17、
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，根据相似比即可求得位似图形对应点的坐标.
【详解】由题意，得
和是以坐标原点为位似中心的位似图形，相似比为2
则的坐标为，
故答案为：.
【点睛】
此题考查了位似图形与坐标的关系，熟练掌握，即可解题.
18、1．
【详解】解：∵⊙O在第一象限关于y=x对称，也关于y=x对称，P点坐标是（1，3），
∴Q点的坐标是（3，1），
∴S阴影=1×3+1×3－2×1×1=1．
故答案为：1
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）①；存在，或
【分析】（1）先求得点的坐标，再代入求得b、c的值，即可得二次函数的表达式；
（2）作交于点,,,,根据二次函数性质可求得.
（3）求出，再根据直线与直线的夹角是的两倍，得出线段的关系，用两点间距离公式求出坐标.
【详解】解：如图
（1），
；
（2）作交于点.
①设，，
则：
则时，最大，
；
（2），则，
设，
①若：
则，
∴；
②若则
，，
作于，
，与重合，
关于对称，
∴
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，三角形面积的巧妙求法，以及对称点之间的关系.
20、（1）y=－10x2＋100x＋1，0＜x≤2（2）每件商品的售价定为5元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是3元
【解析】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（60－50＋x）元，
总销量为：（200-10x）件，
商品利润为：y=（60－50＋x）（200－10x）=－10x2＋100x＋1．
∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，∴0＜x≤2．
（2）∵y=－10x2＋100x＋1=－10（x－5）2+3，
∴当x=5时，最大月利润y=3．
答：每件商品的售价定为5元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是3元．
（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式．
（2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式（或用公式法），从而得出当x=5时得出y的
最大值．
21、（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据平行四边形的定义可知四边形是平行四边形，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可得，根据等角对等边即可证出，从而证出四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质和同角的余角相等即可证出，利用锐角三角函数即可求出AH和AG，从而求出GH．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
∵四边形是菱形
∴，
，
，
，
，
四边形是菱形，，
，
，
．
【点睛】
此题考查的是菱形的判定及性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质和解直角三角形，掌握菱形的定义及性质、平行线、角平行线和等腰三角形的关系和用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．
22、（1）详见解析；（2）
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠BCD=90°，又由BD是⊙O的切线，根据同角的余角相等，可得∠A=∠CBD，利用有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ABC∽△BDC；
（2）由AC=8，BC=6，可求得△ABC的面积，又由△ABC∽△BDC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△BDC的面积．
【详解】（1）∵BD是⊙O的切线，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD=90°．
∴∠A+∠D=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BCD=90°，
∴∠CBD+∠D=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△ABC∽△BDC；
（2）∵△ABC∽△BDC，
∴，
∵AC=8，BC=6，
∴S△ABCAC•BC8×6=24，
∴S△BDC=S△ABC24÷()2．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
23、详见解析
【分析】根据中心对称得出OB=OD，OA=OC，求出OF=OE，根据SAS推出△DOF≌△BOE即可．
【详解】证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，∴OB=OD，OA=OC．
∵AF=CE，∴OF=OE．
∵在△DOF和△BOE中，，
∴△DOF≌△BOE（SAS）．∴FD=BE．
24、（1）①，4；②；（2），证明见解析．
【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°；由旋转的性质得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD＝OB＝4；
②由△BOD为等边三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO＋∠ODC＝150°；
（2）根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD为等腰直角三角形，则OD＝OB，然后根据勾股定理的逆定理，当CD2＋OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°．
【详解】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴旋转角的度数为60°；
∵旋转至，
∴，，，
∴为等边三角形
∴，，
故答案为：60°；4
②在中，，，，
∵
∴
∴为直角三角形，，
∴
（2）时，，
理由如下：
∵绕点顺时针旋转后得到，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∴
∵当时，为直角三角形，，
∴，即
∴当满足时，．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理．
25、
【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．
【详解】解：
=x2-4x+4-4+c
=（x-2）2+c-4，
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
26、 (1)、10%；(2)、方案一优惠
【解析】试题分析：(1)、设出平均每次下调的百分率为x，利用预订每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格列方程解答即可；(2)、对于方案的确定，可以通过比较两种方案得出的费用：①方案：下调后的均价×100×0.98；②方案：下调后的均价×100﹣两年的物业管理费，比较确定出更优惠的方案．
试题解析：(1)、设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，5000（1﹣x）2=4050，
解得：x1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）；
答：平均每次降价的百分率为10%．
(2)、方案一的房款是：4050×100×0.98=396900（元）；
方案二的房款是：4050×100﹣1.5×100×12×2=401400（元）
∵396900元＜401400元．
考点：一元二次方程的应用．
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