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研究生
习题2：
2-7. 设 ，为其一样本，而，
试求常数c，使得随机变量服从分布。
2-7解：设，所以
，所以
所以 ，
由于
因此 当 时，。
2-8. 设 为的一个样本，求 。（参考数据：）
2-8解：因为 ， 所以 ，
即有
所以
2-14. 设总体，求与，其中是样本容量为16的样本均值。（参考数据：）
2-14解：
由于 ， 所以
2-17. 在总体中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：）
2-17解：因为 ， 所以
所以
2-25. 设总体的密度函数为
取出容量为4的样本，求：
（1） 顺序统计量的密度函数；（2）的分布函数；（3）。
2-25解：（1）由
所以 当 时，
即 统计量的密度函数为：
（2） 由于 当时，
所以 的分布函数
（3）
习题3：
3-3. 已知总体的分布密度为：
设是容量为n的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与MIE .
3-3解：矩法 由于
令 所以
MIE 当时，构造似然函数
所以 令
得 即 的极大似然估计量为
3-5. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50L化验，每升水中大肠杆菌的个数（ 1L水中大肠杆菌个数服从Poisson分布），化验结果如下：
大肠杆菌数/ L
0
1
2
3
4
5
6
升 数
17
20
10
2
1
0
0
试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时才能使上述情况的概率为最大？
3-5解：由于 1L水中大肠杆菌个数服从Poisson分布
所以
所以 的估计量为
即有
所以 平均每升水中大肠杆菌个数为1的概率为最大。
3-26. 随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差。设炮口速度是正态分布的，求这种炮弹的炮口速度的标准差的95%置信区间。（参考数据：）
3-26解：设 则
由
得 的的置信区间为：
将数据 ，，
， 代入，得
的95%置信区间为（55.2，444.0）， 即 的95%置信区间为（7.4，21.1）.
习题4：
4-1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常下服从，现在测了5炉铁水，其含碳量分别为： 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37
如果方差没有改变，问总体均值有无变化？（显著性水平）（参考数据：）
4-1. 解：检验问题
由 且为已知，所以
即 检验问题的拒绝域为 计算得：
有 而 ，
即有 成立， 故 拒绝，即 认为总体均值有变化。
4-2. 设某厂一台机器生产的纽扣，据经验其直径服从，。为检验这台机器生产是否正常，抽取容量n =100的样本，并由此算得样本均值，问该机器生产的纽扣的平均直径为，这个结论是否成立？（显著性水平）
（参考数据：）
4-2. 解：检验问题
由 且为已知，所以
即 检验问题的拒绝域为 由 ， ， n =100
得 而 ，
即有 ≯， 故 接受，即 认为这个结论是成立的。
4-11. 已知用某种钢生产的钢筋强度服从正态分布，长期以来，其抗拉强度平均为52.00。现改变炼钢的配方，利用新法炼了7炉钢，从这7炉钢生产的钢筋中每炉抽一根，测得其强度分别为： 52.45，48.51，56.02，51.53，49.02，53.38，54.04
问用新法炼钢生产的钢筋，其强度的均值是否有明显提高？（显著性水平）（参考数据：）
4-11. 解：检验问题
由 且为未知，所以
即 检验问题的拒绝域为 计算得 ， ， n =7
得
而 ，
即有 ≯， 故 接受，即 认为强度均值无明显偏高。
4-37. 在一实验中，每隔一定时间观察一次由某种铀所放射到达计数器上的粒子数，共观察了100次，得结果如下表所示：
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
∑
1
5
16
17
26
11
9
9
2
1
2
1
100
其中是观察到有i个粒子的次数。从理论上来考虑知服从Possion分布
问：这理论考虑是否符合实际？（显著性水平） （参考数据：）
4-37. 解：检验问题 服从Possion分布 （在显著性水平下）
由公式，得
并计算的观测值，见下表：
0
1
0.0150
1.50
0.1667
1
5
0.0630
6.30
0.2683
2
16
0.1323
13.23
0.5780
3
17
0.1852
18.52
0.1248
4
26
0.1944
19.44
2.2139
5
11
0.1633
16.33
1.7397
6
9
0.1143
11.43
0.5166
7
9
0.0686
6.86
0.6676
8
2
6.39
0.0238
9
1
10
2
11
1
100
1
100
6.2994
即 检验统计量的观测值为：
而 亦即
故 接受，即 认为理论考虑符合实际。
4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取11根，并测得它们的直径（mm）如下：
10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49
试用W检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平）
（参考数据：）
4-45. 解：数据的顺序统计量为：
10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82
的计算如下表：
k
1
10.18
10.82
0.64
0.5601
0.3585
2
10.32
10.77
0.45
0.3315
0.1492
3
10.38
10.67
0.29
0.2260
0.0655
4
10.41
10.64
0.23
0.1429
0.0329
5
10.49
10.59
0.10
0.0695
0.0070
所以 ，
又 ， 得
故 ， 又 当n = 11 时，
即有 ， 从而 接受正态假设，亦即 零件直径服从正态分布。
4-47. 甲、乙两个车间生产同一种产品，要比较这种产品的某项指标波动的情况，从这两个车间连续15天取得反映波动大小的数据如下表：
甲
1.13
1.26
1.16
1.41
0.86
1.39
1.21
1.22
1.20
0.62
1.18
1.34
1.57
乙
1.21
1.31
0.99
1.59
1.41
1.48
1.31
1.12
1.60
1.38
1.60
1.84
1.95
在下，用符号检验法检验假设“这两个车间所生产的产品的该项指标的波动性情况的分布重合”。 （参考数据：）
4-47. 解： 在下， 检验假设
甲
1.13
1.26
1.16
1.41
0.86
1.39
1.21
1.22
1.20
0.62
1.18
1.34
1.57
乙
1.21
1.31
0.99
1.59
1.41
1.48
1.31
1.12
1.60
1.38
1.60
1.84
1.95
符号
－
－
＋
－
－
－
－
＋
－
－
－
－
－
由上表知：，
查 ，的符号检验表， 得 临界值，
而 ， 即：， 故 拒绝
即 认为这两车间所生产的产品的该项指标波动情况不同．
4-51. 对核动力工厂的某类仪器实施甲、乙两种不同的维修方案，现观测到两组失效时间（单位：小时）如下表所示：
甲
7
26
10
8
27
30
25
35
乙
3
150
42
84
72
28
101
29
在显著性水平下，用游程检验法（两种方法）检验这两种维修方案是否有一种维修方案显著地优于另一种方案？ （参考数据：）
4-51. 解：（１）基于游程总个数R的检验法
设 甲仪器失效时间服从分布，乙仪器失效时间服从分布。
检验问题
将、混排（的样本值带下划线）得：
3 7 8 10 25 26 27 28 29 30 35 42 72 84 101 150
即 游程总个数 R = 5
而 当，时，
所以 ，
故 拒绝，认为这两种维修方案有一种维修方案显著地优于另一种方案。
习题5：
5-4．合成纤维的强度与其拉伸倍数x有关，测得试验数据如下：
2.0
2.5
2.7
3.5
4.0
4.5
5.2
6.3
7.1
8.0
9.0
10.0
1.3
2.5
2.5
2.7
3.5
4.2
5.0
6.4
6.3
7.0
8.0
8.1
（1） 求对的回归直线方程；
（2） 检验回归直线的显著性()；
（3） 求时，的预测值及预测区间（置信度为）。
（参考数据：）
5-4．解：（1）计算得 ， ， ，
， ，
所以
有 ,
故 对的回归直线方程为： 。
(2) 检验假设 . 用F检验法：
，
得
而 即
所以 拒绝 ，即 认为线性回归效果显著。
(3) 当 时，的预测值为：
的的预测区间为：
而 ，
所以
故 所求预测区间为：（4.2992 , 6.3192）.
5-5. 某建材实验室在作陶粒混凝土强度实验中，考察每立方米混凝土的水泥用量x (kg)对
28天后的混凝土抗压强度的影响，测得数据如下：
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
56.9
58.3
61.6
64.6
68.1
71.3
74.1
77.4
80.2
82.6
86.4
89.7
（1）求对的线性回归方程，并问：每立方米混凝土中增加1kg水泥时，可提高的抗压强度是多少？
（2）检验线性回归效果的显著性()；
（3）求回归系数b的区间估计（置信度为）；
（4）求时，的预测值及预测区间（置信度为）。
（参考数据：）
5-5. 解：解：（1）计算得 ， ， ，
， ，
所以
有 ,
故 对的回归直线方程为： 。
而 ， ，
所以 每立方米混凝土中增加1kg水泥时，可提高的抗压强度是：
（2）检验假设 . 用T检验法：
由
得
而
即有
所以 拒绝，即 认为线性回归效果显著。
（3）由于 的置信区间为：
所以 当时，有：
（4）当 时，的预测值为
由于 的预测区间为：
所以 当时，有：
即得 所求预测区间为： 。
5-14. 在彩色显影中，根据以往的经验，形成染料光学密度与析出银的光学密度之间有下面类型的关系：
通过11次试验得到下面数据：
0.05
0.06
0.07
0.10
0.14
0.20
0.25
0.31
0.38
0.43
0.47
0.10
0.14
0.23
0.37
0.59
0.79
1.00
1.12
1.19
1.25
1.29
求未知参数a、b的估计值，并求回归方程的残差平方和。
5-14. 解：两边对取对数，有：，
作变换，， 得
将数据整理如下表：
0.05
0.06
0.07
0.10
0.14
0.20
0.25
0.31
0.38
0.43
0.47
0.10
0.14
0.23
0.37
0.59
0.79
1.00
1.12
1.19
1.25
1.29
20
16.67
14.29
10
7.143
5
4
3.226
2.632
2.325
2.128
-2.302
-1.966
-1.429
-0.994
-0.528
-0.236
0
0.113
0.174
0.223
0.255
计算得：；；
；
．
所以 ； ．
得 ．
换
故得 回归方程为：
且 回归方程的残差平方和为： .
习题6：
6-2. 现有某种型号的电池3批，它们分别是甲、乙、丙3个厂生产的，为评论其质量，各随机抽取5只电池为样品，经试验得其寿命（h）如下表所示：
工厂
寿 命
甲
乙
丙
40
26
39
48
34
40
38
30
43
42
28
50
45
32
50
试在显著性水平下，检验电池的平均寿命有无显著差异。（略：若差异是显著的，检验哪些工厂之间有显著差异，并求、和的95%置信区间。） （参考数据：）
6-2. 解：检验问题
工厂
寿 命
或
甲
40
(1600
48
2304
38
1444
42
1764
45
2025
213
45369
42.6
63.2
乙
26
676
34
1156
30
900
28
784
32
1024
150
22500
30
40
丙
39
1521
40
1600
43
1849
50
2500
50
2500)
222
49284
44.4
113.2
r =3
n =15
=585
所以
而
即： 故 拒绝，即 认为电池的平均寿命有显著差异．
方差分析表如下：
方差来源
平方和S
自由度f
均方和
F值
显著性
因素Ａ
615.6
2
307.8
17.07
*
误差ｅ
216.4
12
18.03
总和
832
14
或 ， ，
所以
而
即： 故 拒绝，即 认为电池的平均寿命有显著差异．
6-3. 用3种不同的小球测定引力常数的试验结果如下表所示（单位：）：
铂
金
玻璃
6.661
6.683
6.678
6.661
6.681
6.671
6.667
6.676
6.675
6.667
6.678
6.672
6.664
6.679
6.674
6.672
试问：不同小球对引力常数的测定有无显著影响？（显著性水平）
（略：并求并求、和
的95%置信区间。） （参考数据：）
6-3. 解：检验问题
元素
引力常数
或
铂
6.661
6.661
6.667
6.667
6.664
33.32
1110.22
6.664
0.000036
金
6.683
6.681
6.676
6.678
6.679
6.672
40.068
1605.45
6.678
0.000075
玻璃
6.678
6.671
6.675
6.672
6.674
33.37
1113.56
6.674
0.000030
r =3
n =16
=
106.758
所以
而
即：
故 拒绝，即 认为不同小球对引力常数的测定有显著影响．
或 ， ，
所以
而
即：
故 拒绝，即 认为不同小球对引力常数的测定有显著影响．
方差分析表如下：
方差来源
平方和S
自由度f
均方和
F值
显著性
因素Ａ
0.000568
2
0.000284
26.2
**
误差ｅ
0.000141
13
0.00001085
总和
0.000709
15
6-15. 选矿用的油膏的配方对矿石回收率有很大影响，为了提高回收率，分别选取油膏的3种成分的2种水平，所选因素、水平如下表所示：
因素水平
A
机油
B
蓖麻油
C
石蜡
1
2
60%
50%
10%
8%
12%
6%
选用正交表来安排试验，结果由1到4号试验的回收率顺次为72，58，78，84，试分析试验结果。
6-15. 解：选用正交表来安排试验，由1到4号试验的回收率指标，可计算得分析数据 ，，，进而得到优方案，具体如下表：
因素
试验号 列号
A
B
C
回收率%
1
2
3
1
2
3
4
1(60%)
1
2(50%)
2
1(10%)
2
1
2(8%)
1(12%)
2
2(6%)
1
72
58
78
84
130
162
150
142
156
136
65
81
75
71
78
68
32(16)
8(4)
20(10)
因素主→次
A C B
优方案
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