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2021-2022学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判定学案 新人教A版必修2

2021-2022学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判定学案 新人教A版必修2

年级：
姓名：

2.3.2　平面与平面垂直的判定
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．(难点、易错点)
2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．(重点)
3.熟悉线面垂直、面面垂直的转化．(重点)
1. 通过学习平面与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养．
2. 通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养．

1．二面角的概念
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②这两个半平面叫做二面角的面．
(3)记法：二面角α­l­β或α­AB­β或P­l­Q或P­AB­Q.
(4)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；
③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α­l­β的平面角是∠AO B．

(5)二面角θ的取值范围为0°≤θ≤180°．当两个二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小为0°，当两个二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°.
思考：二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？
[提示]　无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．

2．平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)画法：

(3)记作：α⊥β．
(4)判定定理：
文字语言
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形语言

符号语言
l⊥α，l⊂β⇒α⊥β
思考：两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？
[提示]　不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．

1．如图所示的二面角可记为(　　)

A．α­β­l　　 B．M­l­N
C．l­M­N D．l­β­α
B　[根据二面角的记法规则可知B正确．]
2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(　　)
A．有一个 B．有两个
C．有无数个 D．不存在
C　[经过l的任一平面都和α垂直．]
3．如图所示，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B­PA­C的大小等于________．

90°　[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC为二面角B­PA­C的平面角，又∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小为90°.]

二面角的计算问题
【例1】　 如图，已知三棱锥A­BCD的各棱长均为2，求二面角A­CD­B的余弦值．

[解]　如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.
由二面角的定义可知∠AMB为二面角A­CD­B的平面角．

设点H是△BCD的重心，
则AH⊥平面BCD，且点H在BM上．
在Rt△AMH中，AM＝×2＝，
HM＝×2×＝，则cos ∠AMB＝＝，
即二面角的余弦值为.

1．求二面角的大小关键是作出平面角
求二面角大小的步骤是：
(1)找出这个平面角；
(2)证明这个角是二面角的平面角；
(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．
2．确定二面角的平面角的方法
定义法
在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线
垂面法
过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角

1．如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD, AC＝AD，求平面 ABD 与平面BCD 所成的二面角的大小．

[证明]　因为AC⊥平面 BCD，BD⊂平面 BCD，
所以BD⊥AC.
又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，
所以BD⊥平面 ACD.
因为AD⊂平面 ACD，所以AD⊥BD，
所以∠ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角．
在Rt△ACD中，AC＝AD，所以∠ADC＝30°.

平面与平面垂直的判定
【例2】　如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.

求证：平面ABC⊥平面SBC.
[证明]　(1)法一：(利用定义证明)
因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，
令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
取BC的中点D，如图所示，

连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A­BC­S的平面角．
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝a，BD＝＝a.
在Rt△ABD中，AD＝a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A­BC­S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.
法二：(利用判定定理)
因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
因为△SBC为等腰直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.

证明面面垂直常用的方法
定义法
即说明两个半平面所成的二面角是直二面角
判定定理法
在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直
性质法
两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面

2．如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.

[证明]　连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.
因为O为AC中点，E为PA的中点，

所以EO是△PAC的中位线，
所以EO∥PC.
因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO⊂平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.

线面、面面垂直的综合
[探究问题]
1．如图所示，如何作出二面角P­AB­Q的平面角？

[提示]　过点P作平面ABQ的垂线，垂足为H.过H作HO⊥棱AB于点O，连接OP，则∠POH即为二面角P­AB­Q的平面角．

2．线面、面面垂直关系是如何转化的？
[提示]　欲证面面垂直，可转化为证明线面垂直，再转化为证明线线垂直即可．
【例3】　如图所示，已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．

(1)求证：A1E⊥BD；
(2)当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD.
思路探究：(1)欲证A1E⊥BD，只需证明BD垂直A1E所在平面即可；
(2)要证平面A1BD⊥平面EBD，只需求出二面角为直二面角即可，或证明一个平面内的某一直线垂直于另一个面．
[证明]　连接AC，设AC∩DB＝O，
连接A1O，OE，

(1)因为AA1⊥底面ABCD，
所以BD⊥A1A，又BD⊥AC，A1A∩AC＝A，
所以BD⊥平面ACEA1，
因为A1E⊂平面ACEA1，所以A1E⊥BD.
(2)在等边三角形A1BD中，BD⊥A1O，
因为BD⊥平面ACEA1，OE⊂平面ACEA1，
所以BD⊥OE，所以∠A1OE为二面角A1­BD­E的平面角．
在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设棱长为2a，因为E为棱CC1的中点，由平面几何知识，得EO＝a，A1O＝a，A1E＝3a，满足A1E2＝A1O2＋EO2，所以∠A1OE＝90°，即平面A1BD⊥平面EBD.

本例中，条件不变，试求二面角E­BD­C的正切值．
[解]　连接AC交BD于O，连接OE(图略).
由例题中(2)知，BD⊥OE，BD⊥OC.
∴∠EOC为二面角E­BD­C的平面角．
设正方体棱长为a，则CE＝，OC＝a.
在Rt△OCE中，tan ∠EOC＝＝＝.
所以二面角E­BD­C的正切值为.

线面、面面垂直的综合问题的解题策略
(1)重视转化
涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直.
(2)充分挖掘线面垂直关系
解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用．

1．求二面角大小的步骤

简称为“一作、二证、三求”．
2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路
(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．
(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．

1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是(　　)
A．平行　 B．可能重合
C．相交且垂直 D．相交不垂直
C　[由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.]
2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是(　　)
A．互为余角 B．相等
C．其和为周角 D．互为补角
D　[画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂
线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.]
3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BC­A1的平面角等于________．

45°　[根据长方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1 即为二面角A­BC­A1的平面角. 又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1 ＝45°.]
4．如图，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
[证明]　因为BCC1B1是菱形，
所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，
所以B1C⊥平面A1BC1，
又B1C⊂平面AB1C，
所以平面AB1C⊥平面A1BC1.