山东省济宁市曲阜市第一中学2020-2021学年高一数学下学期4月月考试题.doc

山东省济宁市曲阜市第一中学2020-2021学年高一数学下学期4月月考试题

山东省济宁市曲阜市第一中学2020-2021学年高一数学下学期4月月考试题

年级：
姓名：

10

山东省济宁市曲阜市第一中学2020-2021学年高一数学下学期4月月考试题
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是(　　)
A．－＝　　 B．＋＝0
C．0·＝0　　 D．＋＋＝
2．如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）.
A． B． C． D．
3．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（　　）

A． B．
C． D．
5．已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，b＝，c＝，B＝，那么a等于(　　)
A．1　　 B．2　　
C．4　　 D．1或4
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,5)，若(a＋λb)⊥c，则实数λ＝(　　)
A．－　　 B．　　
C．－2　　 D．2
7．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为(　　)
A．1　　 B．2　　
C．　　 D．
8．如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是( )

A．2　　 B．0　　
C．－1　　 D．－2
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．若复数满足，则（ ）
A． B．
C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．为纯虚数
10．已知向量，是两个非零向量，在下列条件中，一定能使，共线的是（ ）
A．且
B．存在相异实数λ，μ，使
C．(其中实数x，y满足x+y=0)
D．已知梯形ABCD，其中
11．对于△ABC，有如下命题，其中正确的有(　　)
A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形
B．若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形
C．若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形
D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或
12．给出下列四个命题，其中正确的选项有( )
A．非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角是30°
B．若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形
C．若单位向量a，b的夹角为120°，则当|2a＋xb|(x∈R)取最小值时x＝1
D．若＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m>－
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝__
14．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝___

15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sinB＝___，c＝____.
16．已知正三角形的边长为4，是边上的动点（含端点），则的取值范围是 ____.
四．解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)当实数取何值时，在复平面内与复数对应的点满足：
（1）在第三象限.
（2）在虚轴上.
（3）在直线上.
18．(本小题满分12分)在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
已知的内角，，的对边分别为，，，___________，，，求的面积.

19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1).
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值.

20．(本小题满分12分)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.

21．(本小题满分12分)如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．

此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：≈2.449)．

22．(本小题满分12分)已知向量a＝(2＋sinx,1)，b＝(2，－2)，c＝(sinx－3,1)，d＝(1，k)，(x∈R，k∈R).
(1)若x∈[－，]，且a∥(b＋c)，求x的值；
(2)若函数f(x)＝a·b，求f(x)的最小值；
(3)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.

数学答案
一． 单选题
1-8 D D C B C C D D
二．多选题
9. BD 10. AB 11. ACD 12. ABC
三．填空题
13. 14. 150m 15. ， 3 16.
四．解答题
17．解：（1）由复数在对应点的坐标为，
因为点Z在第三象限，可得，解得.
（2）因为点Z在虚轴上，则，解得或.
（3）因为点Z在直线上，可得，
整理得，解得.

18．解：（1）若选择①，
由余弦定理，，
因为，所以；
由正弦定理，得，
因为，，所以，
所以
所以.
（2）若选择②，则，
因为，所以，
因为，所以；
由正弦定理，得，
因为，，所以，
所以，
所以.
（3）若选择③，
则，所以，
因为，所以，
所以，所以；
由正弦定理，得，
因为，，所以，
所以，
所以.
19.(1)＝(3,5)，＝(－1,1)，
由＋＝(2,6)，得|＋|＝2，
由－＝(4,4)，得|－|＝4.
(2)＝(－2，－1)，
∵(－t)·＝·－t2，
易求·＝－11，2＝5，
∴由(－t)·＝0得t＝－.
20.(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB，①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，②
由①，②得cosA＝－.因为0<A<π，所以A＝.
(2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，
从而AC＝2sinB，AB＝2sin(π－A－B)＝3cosB－sinB.
故BC＋AC＋AB＝3＋sinB＋3cosB＝3＋2sin.
又0<B<，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2.
21. 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝10t(海里)，BD＝10t(海里)．
在△ABC中，∵AB＝(－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC＝＝(海里)．根据正弦定理，可得sin∠ABC＝＝＝.
∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.
在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝(海里)，则有10t＝，t＝≈0.245小时＝14.7分钟．故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．
22.(1)∵b＋c＝(sinx－1，－1)，又a∥(b＋c)，
∴－(2＋sinx)＝sinx－1，即sinx＝－.
又x∈[－，]，
∴x＝－.
(2)∵a＝(2＋sinx,1)，b＝(2，－2)，
∴f(x)＝a·b＝2(2＋sinx)－2＝2sinx＋2．
又x∈R，
∴当sinx＝－1时，f(x)有最小值，且最小值为0．
(3)∵a＋d＝(3＋sinx,1＋k)，b＋c＝(sinx－1，－1)，
若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，
即(3＋sinx)(sinx－1)－(1＋k)＝0，
∴k＝sin2x＋2sinx－4＝(sinx＋1)2－5．
由sinx∈[－1,1]，
∴－5≤(sinx＋1)2－5≤－1，得k∈[－5，－1].
∴存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c).