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2021-2022学年高中数学 第二章 解三角形 1.1 正弦定理教案 北师大版必修5

2021-2022学年高中数学 第二章 解三角形 1.1 正弦定理教案 北师大版必修5

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第二章　解 三 角 形
§1　正弦定理与余弦定理
1.1　正 弦 定 理

导思
1.正弦定理的内容是什么?
2.正弦定理可以解决哪些问题?
1.正弦定理
公式表达
语言描述
===2R.(R为△ABC的外接圆的半径)
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等(定值)
【说明】(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立;
(2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式;
(3)刻画规律:正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系,可以实现三角形中边角关系的互化.
2.正弦定理的变形
(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(边化角). 
(2)sin A=,sin B=,sin C=(角化边).
(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C(边角互化). 
(4)===.
(其中R是△ABC外接圆的半径)

(1)在△ABC中,如果已知边a,边b和角A,能否求出其他的角和边?
提示:利用=,可得sin B=sin A,求出角B,再利用C=π-A-B求出角C,最后利用=,
即c=求出边c.
(2)在△ABC中,若a>b,如何得到sin A>sin B?
提示:若a>b,则由a=2Rsin A,b=2Rsin B,可得2Rsin A>2Rsin B,即sin A>
sin B.(R为△ABC的外接圆的半径)
3.三角形的面积公式
S=absin C=bcsin A=acsin B=.

在△ABC中,已知边a,c和角B,选择哪个公式求△ABC的面积更好?
提示:S=acsin B.

1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)正弦定理仅对于直角三角形成立. (　　)
(2)在三角形中,相等的两边所对的角相等. (　　)
(3)在△ABC中,若sin A=,则A=. (　　)
(4)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则△ABC为等腰三角形. (　　)
提示:(1)×.正弦定理对于任意三角形都成立.
(2)√.在三角形中,若a=b,则2Rsin A=2Rsin B,得sin A=sin B,所以A=B或A=π-B(舍去).
(3)×.A=时,sin A=也成立.
(4)×.由sin 2A=sin 2B,可得2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,即三角形ABC为等腰三角形或直角三角形.
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=30°,B=45°,a=,则b=
(　　)
A.2 B.1 C. D.
【解析】选A.由正弦定理=得b====2.
3.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,若a=2,b=3,B=60°,则sin A
=________. 
【解析】由正弦定理得sin A===.
答案:
关键能力·合作学习
类型一　利用正弦定理求解三角形的边与角(逻辑推理)

1.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B等于 (　　)
A.- B.
C.- D.
2.在△ABC中,a=2,b=2,∠B=45°,则∠A为 (　　)
A.30°或150° B.60°或120°
C.60° D.30°
3.在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,求边b.
【解析】1.选D.由正弦定理得=,
所以sin B===.
因为a>b,所以A>B,
又因为A=60°,
所以B为锐角,
所以cos B== =.
2.选B.由正弦定理得=,
所以sin A===.
因为0°<A<135°,
所以∠A=60°或120°.
3.因为=,
所以sin C===,
因为0°<C<180°,
所以C=60°或C=120°.
当C=60°时B=75°,
b===+1;
当C=120°时B=15°,
b===-1.
所以b=+1或b=-1.

1.正弦定理的表示形式
===2R,
或a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C(k>0).
2.正弦定理的应用范围
(1)已知两角和任一边,求其他两边和其余一角.
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其余两角.
3.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求唯一锐角.
(3)如果已知的角为小边所对的角,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.
类型二　判断三角形的形状(直观想象)
【典例】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin2B=bcos Acos B,则△ABC的形状是 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
【思路导引】根据正弦定理得到sin Asin2B=sin Bcos Acos B,化简得到-sin Bcos(A+B)=0,计算得到答案.
【解析】选B.asin2B=bcos Acos B,
所以sin Asin2B=sin Bcos Acos B,
所以sin B(sin Asin B-cos Acos B)=0,
即-sin Bcos(A+B)=0.
因为0<A<π,0<B<π,所以A+B=,
故△ABC是直角三角形.

　判断三角形形状的方法
(1)判断三角形的形状,可以从三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手,从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,呈现出边与边的关系或角与角的关系,从而进行判断.
(2)判断三角形的形状,主要看其是否为正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形等,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别.

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
【解析】选B.因为bcos C+ccos B=asin A,
所以由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,
sin(B+C)=sin2A⇒sin A=sin2A,
所以sin A=1,A=,
所以△ABC是直角三角形.
【拓展延伸】
正弦定理的作用
(1)解三角形(①已知两角和任一边,求其他两边和其余一角;②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其余两个角).
(2)证明化简过程中边角互化.
(3)求三角形外接圆半径.
【拓展训练】
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的外接圆的半径是3,a=3,则A= (　　)
A.30° B.60°
C.60°或120° D.30°或150°
【解析】选D.根据正弦定理得=2R,
所以sin A===,
因为0°<A<180°,
所以A=30°或150°.
类型三　三角形的面积问题(数学运算)
【典例】(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则△ABC的面积S=________. 
(2)已知在△ABC中,边a,b,c的对角分别为A,B,C,且a=,c=,C=,则△ABC的面积S=________. 
【思路导引】(1)可由余弦值,得出相应的正弦值,再求出其中的一边长,再利用面积公式求出三角形的面积.
(2)由正弦定理求sin A从而求得∠A,∠B,再利用面积公式求出三角形的面积.
【解析】(1)在△ABC中,由cos A=,cos C=,
可得sin A=,sin C=,
sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos A·sin C=,
又a=1,由正弦定理得b==.
所以S=absin C=×1××=.
答案:
(2)由正弦定理知,sin A=a=·=.
由a<c,得A<C,
所以A∈,所以A=,
所以B=π-A-C=,
所以S=acsin B=×××sin =.
答案:

在△ABC中,∠A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积为 (　　)
A.4 B.4 C.2 D.
【解析】选C.因为在△ABC中,∠A=60°,AC=4,BC=2,
由正弦定理得=,
所以=,
所以sin B=1,
所以∠B=90°,∠C=30°,
所以S△ABC=×2×4×sin 30°=2.

1.利用正弦定理求三角形面积的步骤
(1)依据已知条件,先确定应该求出哪个量.
(2)选择相应的边及相应的角,利用正弦定理求出所需要的量.
(3)利用面积公式求解.
2.求三角形面积的两点注意
一是注意选择哪类、哪个三角形面积公式;
二是要注意三角形内角和定理的应用.

1.在△ABC中,若a=3,cos C=,S△ABC=4,则b=________. 
【解析】因为cos C=,所以C∈,
所以sin C==,
又S△ABC=absin C=·3·b·=4,
所以b=2.
答案:2
2.在△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,S△ABC=,则C= (　　)
A.60°或120° B.30°
C.60° D.45°
【解析】选C.在△ABC中,AB=,AC=1,
S△ABC=AB·AC·sin A=,
可得sin A=1,
所以A=90°,
所以C=180°-A-B=180°-90°-30°=60°.
备选类型　三角形解的个数判断(数学运算、逻辑推理)
【典例】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3,b=,A=,则B=
(　　)
A. B.
C.或π D.
【思路导引】根据正弦定理求解可得sin B,然后根据a>b,可得B为锐角.
【解析】选B.由正弦定理得=,
所以sin B===.
又因为b<a,所以B<A,故B=.

1.已知三角形的两角和任意一边,求另两边和另一角,此时有唯一解,三角形被唯一确定.
2.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定.
在△ABC中,已知边a,边b和角A时,解的情况如下:

A为锐角
A为钝角或直角
图
形

关
系
式
①a=
bsin A
②a≥b
bsin A
<a<b
a<
bsin A
a>b
a≤b
解的
个数
一解
两解
无解
一解
无解

△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,b=10,则结合a的值解三角形有两解的为 (　　)
A.a=8 B.a=9 C.a=10 D.a=11
【解析】选B.由正弦定理知sin B=,
由题意知,若a=b,则A=B=60°,只有一解;
若a>b,则A>B,只有一解;从而要使a的值解三角形有两解,则必有b>a,且0<
sin B<1,即=<1,解得a>5,即75<a2<100,因此只有B选项符合条件.