基于深度学习的单元复习课教学设计——以人教A版选择性必修第二册第四章“数列”为例.pdf

合适的评估证据”时，我们也遇到了类似的问题，即有的“预期结果”与“评估证据”是难分难解的 例如：单元教学目标中“理解公式的意义”与评估证据中“解释公式的本质”，似乎是一句话的两种不同表达 所以，需要在校本研修时，结合具体内容来厘清“评估证据”与“预期结果”的区别、“整体设计”怎样“整”？首先，从内容上合理整合“乘法公式”单元有三个不同公式，但它们本质上都是多项式乘法法则的特殊情况，可以从这个角度将它们整合在一起，没有必要一个公式接着一个公式地去教 其次，从学生认知规律上有效整合 例如，经历公式内容的探求过程，证明其成立并将其作为公式之后，安排学生学习公式的直接运用，更具有学习连贯性 所以，在学习顺序上做了调整，把用几何图形的面积关系验证公式的“思考”安排到最后 其三，在思想方法上提炼整合 把不同的内容但能用相同思想方法解决的问题，可以整合在一起 例如，把三个公式的“几何验证”统筹到一起，并且采用“举一反三”的教学策略、“教、学、评”如何“一体化”？“逆向设计”的特色之一就是“评价先行”，其目的是促进“教、学、评”的一体化 本单元我们着力从如下三个方面体现“教、学、评一体化”的思想：一是逆向设计三阶段之间的有机衔接 例如，我们采用“目标（几何直观）证据（构造图形）活动（探究公式几何意义）”这种目标对应式的衔接与延续，以保证三阶段的一致性 二是设计问题串例如，通过精心设置关系密切、层次递进的 个问题，达到聚焦学生核心素养和关键能力的发展 三是巧用“研究套路”数学中有许多不同内容，但研究方法和研究路径几乎是相同的或者说是“同构”的 于是，在本单元的设计中，“平方差公式”侧重于“教”，“两数和的完全平方公式”侧重于小组合作式地“学”，“两数差的完全平方公式”的学习探究则侧重于独立完成，并作为“评”的证据，这就形成了“教、学、评”的一体化设计参考文献 义务教育数学课程标准（版）北京师范大学出版社，罗许霞 理论指导下的单元整体教学设计 基础教育研究，（）：檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻 基于深度学习的单元复习课教学设计 以人教 版选择性必修第二册第四章“数列”为例广东省广州市第九十七中学（）徐进勇 关于深度学习的内涵，国内外有很多界定，喻平教授认为有几点是相对统一的（）深度理解 即学习者对知识本质的理解，对事物或知识意义的理解及对自我生命意义的理解（）高阶思维 即学习者在知识建构、问题解决的过程中，要有多种思维形式介入以及元认知的参与（）知识迁移 学习者能将一个学科习得知识或方法迁移到另一学科情境或现实情境中去解决问题（）实践创新 即学生的问题解决能力、迁移能力和创新能力在学习中能够得到发展 普通高中数学课程标准（年版 年修订）在教学建议中强调：“教学要整体把握教学内容，把握数学知识的本质，理解数学知识产生与发展过程中所蕴含的数学思想，在此基础上，探索通过什么样的途径能够引发学生思考，让学生在掌握知识技能的同时，感悟知识的本质，实现教育价值”章建跃博士认为站在“一般观念”的视角审视数学知识，超越碎片化的知识观，追求数学的整体性，自然生成的就是单元教学 指出单元教学主要特征体现在（）整体性 基于整体思维的教学设计方式，纵览全局，从整体上掌握数学学习内容，从结构上更好地把握数学知识的整体性（）层次性与有序性 强调从单元到课时，先进行单元教学设计，再将本单元内容按知识的发生发展过程、学生的认知过程分解到课时（）系统性 同一单元的数学教学内容相对完整，能构成一个相对独立的知识中学数学研究 年第 期本文系广东省教育科学规划课题 基于深度学习的高中数学单元教学设计的研究（编号：）阶段性成果系统和逻辑关系，有助力学生的系统思维发展 单元教学的实施要按“总 分 总”的形式展开，前一个“总”常常以章引言展开，后一个“总”往往是以单元复习课结束 单元复习课对单元的回顾、总结、整合、联系、拓展、升华具有重要意义，是单元教学必不可缺少的重要环节 下面以人教 版选择性必修第二册“数列”为例，基于深度学习的内涵构建单元复习课，促进学生数学核心素养的形成与发展 梳理数列的学习路径，深度理解数列概念，形成“一般观念”问题 数列单元主要学习了哪些内容？这些内容是按怎样的逻辑展开的？又是如何研究的？预设：数列的内容与已学的函数有相似之处，既包括一般数列，又包括特殊数列，因此数列内容的编排采用了与函数相似的框架，这也是研究一个数学对象的基本路径，即数列的事实 数列概念的定义、表示 性质 等差数列与等比数列 等差数列与等比数列的研究，也都采用了与研究基本初等函数类似的路径，即“事实概念性质应用”等比数列与等差数列在研究思路和方法上有很强的可类比性，都是通过发现取值规律获得定义，通过与相应函数类比探索性质，通过运算、代数变换等一般性的方法解决相关问题等，突出“递推关系通项公式求和公式实际问题”的研究路径，具体如图 图 设计意图：梳理数列的研究内容、研究路径、研究方法与研究视角，形成“数列”这一数学对象的研究套路 让学生形成用“数列”的眼光的看待问题，用“数列”的思维思考问题，用“数列”的语言表达问题的意识与能力，实现“四基”的落实与“四能”的提升 以“一般观念”为指导，创新问题解决，形成高阶思维教材中章头图（如图）的背景是辽阔而波涛汹涌的大海以及远处的灯塔，象征着数学的悠久文化与历史传承，数学是指引人类文明进步的“灯塔”沙滩上画“三角形数”、“四边形数”、“五边形数”传说是古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在海滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，并通过摆成的某些形状来研究数的规律图 问题 你发现“三角形数”、“四边形数”、“五边形数”分别是多少？预设：通过观察可得到三角形数 ，四边形数 ，五边形数 ，问题 按照数列的研究套路，从运算的角度你能发现项与项间存在怎样的关系？预设：三角形数满足 ；四边形数满足 ；五边形数满足 问题 你能由递推关系求出通项公式吗？预设：通过累加法，利用等差数列的求和公式可求得三角形数满足；四边形数满足；五边形数满足 问题 你能求它们的和吗？预设：可利用分组求和法，但我不知道？问题 事实上，古代数学家在海滩上画点或用小石子来表示数，不是简单地数一下就完事，而是把小石子摆成某些形状来研究，是通过“形”来研究“数”的方法，数学史上称为“数形理论”如图 ，图 高斯根据“三角形数”解决了 （），你知道他是怎么计算的吗？同样，毕达哥拉斯从“正方形数”中也得到了一个结论（如图），你能写出这个结论吗？图 预设：（）问题 如果我们把三角形数中的点扩大到一 年第 期中学数学研究个小圆圈，再在每个小圆圈按规律填上数字：第 行填，第 行都填，第 行都填（如图（），这个三角形所有小圆圈的数字和怎样表示？预设：问题 将这个三角形按顺时针方向旋转 得到第二个三角形（如图（）；再将这第二个三角形按顺时针方向旋转 得到第三个三角形（如图（），将这三个三角形对应位置的小圆圈里的数相加，得到第四个三角形（如图 （），则第四个三角形中所有数字之和是多少呢？图 （）图 （）图 （）图 （）预设：算出第 个三角形各小圆圈数字和为（）（）（）（），结合上面结论，可得 （）（）设计意图：依据等差、等比数列的研究思路，回归对章头图的研究，一方面让学生经历以“一般观念”为引导的探究式学习，体会“研究套路不变，思想方法不变”，逐步掌握解决数学问题的那个“相似的方法”，同时从相邻两项差为常数转变为相邻两项差是一个变量，实现了高阶思维的跃进，体现方法的高通路迁移；另一方面，教师提供的新材料，也是对“数形理论”拓展，使学生对章头图的涵义有深度理解，彰显数学文化内涵的同时，拓宽了学生视野，培养学生实践创新，过程中有具体形象思维、抽象逻辑思维介入以及元认知的参与，提高了学生的数学直观与数学推理能力 探索一般数列解决方案，形成通性通法，实现知识迁移等差数列与等比数列是数列中两种特殊数列，高中阶段只学习这两种数列，如何把一般数列转化到这两种数列中去，并通过等差数列、等比数列的通项公式与求和公式解决问题也本单元学习的一个重点和难点教材“等比数列”例 ：某牧场今年初牛的存栏数为 ，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出 头牛，设牧场从今年起每年初的计划存栏数依次为，（）写出一个递推公式，表示 与 之间的关系；（）将（）中的递推公式表示成 （）的形式，其中，为常数；（）求 ，的值（精确到 ）问题 例题向我们说明怎样的解题思路，对你有何启发？预设：将 转化为一个等比数列，体现将一般数列通过变形转化为等差或等比数列追问：上述问题的转化方法具有一般性吗？即形如 （其中 ，为常数），如何求其通项公式预设：可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步，假设递推公式可改写为 （）；第二步，由待定系数法，解得；第三步，写出数列 的通项公式；第四步，写出的通项公式变式方向一：将常数 变为关于 为变量的代数式题 若数列 满足，如何求 的通项公式分析：由 得 （）（），所以 是等比数列题 若数列 满足，如何求 的通项公式分析：由 得 ，所以 是等差数列题 若数列 满足，如何求 的通项公式分析：由 得 ，令，得 ，转化为“”形式中学数学研究 年第 期变式方向二：两项间递推关系变为三项间递推关系题 若数列 满足 ，如何求 的通项公式分析：由 得（）（），所以数列 是等差数列题 斐波那契数列，如何求 的通项公式分析：再回到待定系数法 第一步，假设递推公式可改写为 （）；第二步，由待定 系 数 法 解 出 槡，不 妨 取 槡，得 槡；第三步，利用等比数列通项公式可得 槡（槡）；第四步，按 变 式 方 向 一 中 的 题 可 得槡（槡）（槡）设计意图：从特殊到一般，从常量到变量，从二项到三项，实施“形”与“质”的变化，提高学生的应用迁移能力，发展了学生的高阶思维，使学生对“变形”的目标、策略有清晰的理解 整个过程有利于学生形成对数列的完整认识与本质理解，体会知识的发展过程与相互联系，体现思想的一致性与方法的普适性，学生的“四能”得到发展 用“数列模型”解决综合问题，实践应用中文化育人随着高科技与信息技术的发展，数学在自然科学、工程技术领域发挥着越来越重要的作用 在用数学方法解决科技和生产领域问题的过程中，关键的一步是建立研究对象的数学模型并计算求解，因此数学建模已成为现代科技工作者必备的重要能力之一例题（年全国统一高考数学理科试卷新课标 第 改编）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 分 现甲、乙两种药的治愈率分别为 和 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 分，（，）表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，并且有 （，）请求，并根据 的值解释这种试验方案的合理性预设：由 ，()整理可得 （），()是以 为首项，为公比的等比数列，得 ()，作和可得 ()，()由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 ，乙药治愈率为 时，认为甲药更有效的概率为 ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理设计意图：通过实例让学生体会用数学语言表达现实世界，以高考题为例，更有说服力 一方面向学生说明高考数学题的命题趋势，即提高利用数学知识解决跨学科问题或现实问题，要有较强的迁移能力与建模应用能力 另一方面也能让学生体会数学的“善”服务于生活，服务于社会及人类的应用价值；欣赏数学的“美”“掩盖不住冰冷美丽下火热的思考”；崇尚数学的“真”震撼于数学的理性精神，这一切终将迁移、升华，并内化为学生自身的思维品质与科学素养所以，单元复习课的设计要站在知识整体的高度，在整体视角下确定目标、设计情境、把握内容、选择方法、实现应用，要突出联系、迁移与创新，使学习成为一种有生命的意义建构，以达到彻底解决问题和情感的满足，方能实现深度学习的目标，最终让数学核心素养落地参考文献 喻平 发展学生数学核心素养的教学与评价研究 上海：华东师范大学出版社，中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准（年版 年修订）北京：人民教育出版社，年第 期中学数学研究