基于可分离替代函数优化的CT重建.pdf

【光电工程/Optoelectronic Engineering】Vol.40 No.6Nov.2023第 40 卷 第 6 期2023 年 11 月深圳大学学报理工版Journal of Shenzhen University Science and Engineeringhttp：/基于可分离替代函数优化的CT重建侯晓文1，2，郭金川1，陈伟2，江浩川21）深圳大学物理与光电工程学院，广东深圳 518060；2）明峰医疗系统股份有限公司，浙江杭州 310018摘 要：针对应用迭代坐标下降算法，且基于q广义高斯马尔科夫随机场正则化模型的计算机断层成像（computed tomography，CT）目标函数优化中存在的耗时过长问题，提出一种基于可分离替代函数的优化方法根据目标函数特性，采用优化转换策略，将目标函数的优化转换为可分离替代函数的优化，使得待重建CT图像各个像素可以同时更新，再结合图形处理器（graphics processing unit，GPU）技术并行运算能力，最终极大降低了迭代重建所需时间实验结果表明，与迭代坐标下降算法相比，通过本研究算法重建的CT图像具有相同的空间分辨率和噪声水平，计算耗时仅为迭代坐标下降算法的1/20本算法在极低的计算耗时下，保持了迭代坐标下降算法优异的图像性能，为临床应用所面临的耗时过长问题提供解决途径关键词：医学成像技术；计算机断层成像；迭代重建；优化转换；并行运算；q广义高斯马尔科夫随机场；计算耗时中图分类号：R445.3；O434.19 文献标志码：A DOI：10.3724/SP.J.1249.2023.06681CT reconstruction based on separable surrogate optimizationHOU Xiaowen 1,2,GUO Jinchuan 1,CHEN Wei 2,and JIANG Haochuan 21)College of Physics and Optoelectronic Engineering,Shenzhen University,Shenzhen 518060,Guangdong Province,P.R.China2)MinFound Medical Systems Co.Ltd.,Hangzhou 310018,Zhejiang Province,P.R.ChinaAbstract:In response to the time-consuming problem of optimizing the objective function in computed tomography(CT)using the iterative coordinate descent algorithm and the regularization model of q-generalized Gaussian Markov random field,an optimization method based on separable surrogate is proposed.According to the characteristics of the objective function,the optimization transformation strategy is adopted to transform the optimization of the objective function into that of the separable surrogate,so that each pixel of the CT image to be reconstructed can be updated simultaneously.Combined with the parallel computing ability of the graphics processing unit(GPU)technology,the time required for iterative reconstruction is greatly reduced.The experimental results show that compared with the iterative coordinate descent algorithm,the CT image reconstructed by the proposed algorithm has the same spatial resolution and noise level,and the calculation time is only 1/20 of that of the iterative coordinate descent algorithm.The proposed algorithm maintains the excellent image performance of the iterative coordinate descent algorithm with extremely low calculation time,problem of excessive time consumption faced by the application of the iterative reconstruction algorithm.Key words:medical imaging technology;computed tomography;iterative reconstruction;optimization transformation;parallel computing;q-generalized Gaussian Markov random field;calculation timeReceived:2023-09-07;Accepted:2023-10-24;Online(CNKI):2023-11-01Foundation:National Natural Science Foundation of China(11674232);Leading Wild Goose Program of Science Technology Department of Zhejiang Province(2022C03072);LingChuang Research Project of China National Nuclear CorporationCorresponding author:Professor GUO Jinchuan();Professor JIANG Haochuan(Harry.J)Citation:HOU Xiaowen,GUO Jinchuan,CHEN Wei,et al.CT reconstruction based on separable surrogate optimization J.Journal of Shenzhen University Science and Engineering,2023,40(6):681-687.(in Chinese)第 40 卷深圳大学学报理工版http：/计算机断层成像（computed tomography，CT）技术1在临床诊断和治疗中已获得越来越广泛的应用2-6，与此同时，患者承受的X射线辐射剂量也日益增高7-12，尤其新型冠状病毒肺炎（corona virus disease 2019，COVID-19）爆发以来，患者接受的CT扫描频次大幅增加13，因此，降低CT扫描剂量具有广泛且迫切的临床需求能谱CT技术14-15（包括双能CT与光子计数CT等）对于低剂量扫描下的高质量成像亦有迫切需要然而，对于传统的滤波反投影（filtered back projection，FBP）重建算法，降低扫描剂量将导致CT图像噪声水平增高，影响医生的临床诊疗判断1，7迭代重建（iterative reconstruction，IR）算法能够在降低扫描剂量的同时，提供高质量图像1IR算法在问题描述中引入数据非理想性，并将非理想性构建到统计模型中，进而使CT图像重建公式转化为以目标函数形式表达的正弦图数据及图像估计的统计度量通过迭代计算，优化该统计度量，重建出CT图像为更好地降低图像噪声并保持算法稳定性，需在目标函数中加入图像空间分布先验信息1马尔科夫随机场（Markov random field，MRF）是图像先验分布的一种典型选择16使用MRF作为先验分布能够获得仅具有局部相互作用的正则项函数正则项函数中的势函数能够惩罚图像局部差异，从而降低图像噪声势函数的恰当选择对迭代重建至关重要：势函数应为凸函数，以保证目标函数最小值的全局唯一性，且可以通过较简单的优化方法求解；势函数应具有足够的灵活性，以便灵活控制迭代重建图像噪声、空间分辨率及低对比度分辨率等特性，满足临床诊疗的不同需求文献 16 提出的 q 值广义高斯马尔可夫随机场（q-generalized Gaussian MRF，q-GGMRF）同时具有凸特性和灵活性，以其为势函数的迭代重建结果在噪声及空间分辨率等方面表现优越但是，基于q-GGMRF的迭代重建算法计算成本高、重建时间长文献 16 采用迭代坐标下降（iterative coordinate descent，ICD）算法优化目标函数，在每次迭代中假定除当前图像像素外，其余像素均为常数，从而实现对目标函数的一维求导，再利用二分查找算法，求取上述一维导数的根；将上述一维优化过程遍历目标图像的所有像素点，即实现1次完整的迭代过程；通过多次迭代，使图像收敛到最优点由于优化过程在一维进行，计算复杂度大幅降低但是，遍历像素的过程使得重建耗时漫长，难以满足临床要求为降低计算成本，减少重建时间，文献 17 提出一种非均匀ICD（nonhomogeneous ICD，NH-ICD）算法，根据像素选择标准自适应确定需要更新的像素，利用像素选择算法确定像素更新顺序为加快每个像素的更新速度，NH-ICD算法使用替代函数方法获得一维目标函数的封闭解，避免了搜素算法的多次计算NH-ICD相对于ICD重建速度提高了3倍，但重建时间仍需约12 h，相应地FBP重建算法仅需几分钟就能完成重建由于NH-ICD的重建时间过长，仍难以满足临床需求为进一步降低迭代重建时长，本研究提出一种基于可分离替代函数优化，以q-GGMRF为正则项统计模型的迭代重建算法针对该统计模型目标函数为凸函数的特点，采用优化转换策略，构建恰当的可分离替代函数，将目标函数优化转换为各个像素相互独立的替代函数优化，实现各个像素的同时优化，大幅提高了算法的并行性实验结果验证了算法的可行性1统计模型和目标函数令X=x1，x2，xNT为三维图像离散向量，即图像估计；令y=y1，y2，yMT表示投影的离散向量首先根据统计模型，将上述X和y的统计度量关系表达为目标函数的形式迭代重建中假设离散向量X和y是随机向量在CT扫描过程中，每个探测器单元记录了穿透目标物体的X射线强度=i，i=1，2，3，M 根据比尔定律，与衰减系数线积分相关，且i Poisson(Iie-y i)，其中，Ii是入射 X 射线光子强度；y i是理想的无噪声线性衰减系数线积分根据贝叶斯公式X=arg maxxi 0 P(X|y)其中，P表示概率取负自然对数后得X=arg minxi 0-ln P(y|X)-ln P(X)（1）图像估计X和投影测量y采用如下线性模型y=AX+n其中，A为系统矩阵；向量n中每一分量对应光子噪声和电子噪声强度和y满足比尔定律，且服682第 6 期侯晓文，等：基于可分离替代函数优化的CT重建http：/从泊松分布，式（1）等号右边第1项可通过二阶泰勒级数展开，以足够的精度近似为-ln P(|y X)12(y-AX)TD(y-AX)+f(y)（2）其中，f（y）是关于y的函数，与X无关，可忽略；D=diag d1，d2，dM是对角权重矩阵，反映测量数据固有可信度对于临床CT范围内的泊松计数，上述近似足够精确系统矩阵A和权重矩阵D的恰当选择对于重建速度和最终的重建图像质量至关重要文献 16 采用距离驱动（distance driven，DD）系统矩阵模型，可以在保持CT系统扫描几何结构精度下快速实现正反投，兼顾了计算时间和重建精度本研究采用相同系统矩阵模型CT扫描中，D的对角元di i式（1）中等号右边第2项是图像估计先验分布的负对数，等于目标函数正则项R（X）加1个常数R（X）用来控制图像估计的噪声，并保证算法的稳定性图像估计先验分布的典型选择是马尔科夫随机场，本研究采用基于MRF的正则项形式为R(X)=1ppj，h Sjbj，h(xj-xh)（3）其中，参数p用来平衡图像降噪和边界保持，p值增大，降噪水平增强，边界保持减弱；参数为标量，控制图像估计中相邻像素集合Sj所定义的局部邻域上，相对于噪声模型的先验强度，参数值根据经验确定；bj，h是方向加权系数，采用中心像素和Sj中第h个元素之间距离的倒数，并进行归一化，即 j，h Sjbj，h=1；（）为势函数，用来惩罚局部差异，本研究采用文献 16 提出的q值广义高斯马尔可夫随机场所用的势函数，即()=|p1+|cp-q（4）其中，参数q用来保持图像边界，p固定时，q值越小，图像边界信息保持越好；参数c用来确定边界的强弱，其值增大时，表示更大像素差值才被当作边界当1 q p 2时，式（3）和式（4）所示的正则函数是严格凸的此外，参数p和q为调节图像估计的噪声及空间分辨率等提供了更好的灵活性结合式（1）式（4），可得用于迭代重建的目标函数为L(X)=H(X)+R(X)（5）其中，H（X）为目标函数的数据拟合项，H(X)=12(y-AX)TD(y-AX)（6）因此，CT图像重建问题等价为根据统计模型构建的上述目标函数的最小化问题，即X=arg minxi 0 L(X)（7）2可分离替代函数优化算法对式（7）所示的目标函数进行优化非常困难，文献 16 和 17 分别采用ICD和NH-ICD算法进行优化但由于需要对所有像素逐个优化，导致迭代重建耗时过长，无法满足临床要求本研究基于目标函数的凸特性，利用优化转换原理，将优化过程转换为对可分离替代函数的优化可分离替代函数具有并行性高的优点，结合图形处理器（graphics processing unit，GPU）技术，能够极大提高迭代重建计算速度2.1优化转换原理优化转换是在第k次迭代中，用容易优化的替代函数Lk（t）取代难以优化的目标函数L（t），替代函数的最优点是目标函数的第k+1次估计，即tk+1=min Lk(t)由此可得估计数列 tk 若每次迭代构建的替代函数满足Lk(tk)=L(tk)（8）Lk(t)L(t)，t （9）则数列 tk 将使目标函数单调下降其中，是L（t）的定义域若目标函数是凸函数，数列 tk 将收敛到目标函数最小值点此外，替代函数还具有如下性质引理1若目标函数是n个函数的和，即L(t)=L1(t)+L2(t)+Ln(t)，相应替代函数为Lk1()t、Lk2(t)、Lkn(t)，记Lk(t)=Lk1(t)+Lk2(t)+Lkn(t)，若i=1，2，n满 足Lki(tk)=Li(tk)且Lki(t)Li(t)，t ，则Lk(t)为L(t)满足Lk(tk)=L(tk)且Lk(t)L(t)，t 的替代函数【证】记替代函数的和为Lk（t），则有Lk(t)=Lk1(t)+Lk2(t)+Lkn(t)（10）又L(t)=L1(t)+L2(t)+Ln(t)（11）且Lki(t)Li(t)，i=1，2，n，t ，显然有Lk(t)L(t)，t 683第 40 卷深圳大学学报理工版http：/又Lki(tk)=Li(tk)，将t=tk代 入 式（10）和 式（11）得Lk(tk)=Lk1(tk)+Lk2(tk)+Lkn(tk)L(tk)=L1(tk)+L2(tk)+Ln(tk)因此，Lk(tk)=L(tk).证毕文献 16 已经证明，式（7）中的目标函数是凸函数，因此，可以利用上述优化转换原理计算全局最优值基于此，文献 17 对每个一维优化过程采用优化转换方法替代二分查找方法的算法，提高了迭代重建速度但其构建的替代函数仅适用于一维优化过程，总的迭代过程仍需要遍历所有需要优化的像素点，导致迭代时间仍然很长本研究基于优化转换原理，根据目标函数的具体特征构建一种可分离替代函数2.2替代函数由式（5）可知，L（X）为数据拟合项H（X）和正则项R（X）的和根据引理1，分别推导H（X）和R（X）的替代函数，并以二者替代函数的和作为L（X）的替代函数2.2.1数据拟合项替代函数将式（6）改写为H(X)=12i=1Mdi(AiX)2-2yiAiX+y2i（12）其中，Ai表示系统矩阵A的第i行由式（12）可见，H（X）为M个凸函数的和，且这些函数形式相同根据引理1，可先推导这些凸函数的可分离替代函数，然后以其和作为H（X）的可分离替代函数记Hi(X)=(AiX)2-2yiAiX+y2i（13）其中，Hi（X）是关于X的凸函数，但各个元素不可分离为实现所有像素同时优化，保证迭代并行性，为Hi（X）构建逐个像素可分离的替代函数首先，构建一组组合系数ijaijj=1NaijaijAi（14）其中，aij是Ai的第j列元素显然，ij是非负的，且j=1N ij=1根据凸函数的定义可得Hi(X)=j=1Nij()Ai()xj-xkj+AiXk 2-2yiAiX+y2ij=1Nij(Ai(xj-xkj)+AiXk)2-2yiAiX+y2iHki(X)（15）Hki（X）即为函数Hi（X）的像素可分离替代函数显然，Hki（X）满足式（8）和式（9）结合引理 1，H（X）满足式（8）和式（9）的可分离替代函数为Hk(X)=12i=1MdiHki(X)（16）2.2.2正则项替代函数由式（3）可得，正则项函数由一系列具有相同形式势函数（xj-xh）的线性组合构成（xj-xh）为凸函数16，则其可分离替代函数为(xj-xh)=(2xj-xkj-xkh2+xkj+xkh-2xh2)()2xj-xkj-xkh2+()xkj+xkh-2xh2k(xj-xh)（17）因此，式（17）的替代函数满足式（8）和式（9）据引理1，正则项函数满足式（8）和式（9）的可分离替代函数为Rk(X)=1ppj，h Sjbj，hk(xj-xh)（18）综上可得，目标函数满足式（8）和（9）的可分离替代函数为Lk(X)=Hk(X)+Rk(X)（19）2.3优化式（7）所示的CT迭代重建优化过程可转换为X=arg minxi 0 Lk(X)（20）由于Lk（X）的各个像素可分离，可同时对所有像素进行优化不失一般性，以下以像素xj的优化为例，推导式（20）优化过程的更新公式结合式（15）式（18）对 Lk（X）求 xj处的导数，并令其为0，即|3+4()x-xkj+1pph Sjbj，hI()xx=xk+1j=0（21）I(xj)=|2xj-xkj-xkhp-11+|2xj-xkj-xkhcp-qp-(p-qcp-q)|2xj-xkj-xkhp-q1+|2xj-xkj-xkhcp-qsign(2xj-xkj-xkh)（22）684第 6 期侯晓文，等：基于可分离替代函数优化的CT重建http：/3=i=1Mdiaij(yi-AiXk)（23）4=i=1MdiaijAi（24）由式（21）式（24）可见，像素点xj的更新只与该像素点本身以及图像估计的上一次迭代结果有关，与图像估计中其他像素当前迭代过程无关因此，各个像素点可以同时更新求解式（21）的根即可得到xj的更新该方程的根难以计算封闭解，参考ICD方法，采用二分查找方法求解3实验和结果为评估算法性能，采用明峰医疗ScintCare CT 128第3代CT扫描系统采集数据，分别采用FBP、ICD及本算法重建图像其中，ICD算法和本算法中用来控制图像质量的参数（p、q、c和）值依据文献 16 中的最优参数值选取3.1模体实验采用明峰医疗ScintCare CT 128头颅轴扫协议，64 mm 0.625 mm开口，管电压为120 kV，管电流为100 mA，扫描转速1 s，扫描Catphan 500模体CTP528空间分辨率模块FBP、ICD及本算法对上述扫描数据的重建结果如图 1重建图像层厚为0.625 mm，像素大小为0.488 3 mm 0.488 3 mm，窗位和窗宽为 680，1，单位为 Hounsfield 单位（HU）模体的中心区域由相同物质组成，在中心区域选择感兴趣区域（region of interest，ROI）来评价图像噪声水平图1的表示圆形ROI中各像素CT值的均方根误差，即图像噪声水平，单位为HU由图1可见，FBP、ICD和本算法所重建图像的空间分辨率相同（12 lp/cm），但ICD算法与本算法的噪声水平约为FBP的50%，且二者非常接近因此，本算法保持了ICD算法既能降低噪声水平又能保持空间分辨率的优异性能，其在图像质量上的表现与ICD基本一致为比较ICD与本算法的收敛速度，对重建过程的归一化均方根误差（normalized root mean square error，NRMSE）进行测量计算为(Xk)=()y-AXkT()y-AXk()y-AX0T()y-AX0其中，上标0和k表示迭代次数，设置迭代终止条件为（Xk）0.01记录每次迭代的NRMSE，以及迭代终止时相应的迭代次数与消耗时间NRMSE与迭代次数的关系见图2迭代终止时，ICD与本算法所需的迭代次数与消耗时间见表1由图2可见，ICD算法的RMSE随迭代次数下降的速度比本算法要快，这是因为本算法中构建的可分离替代函数需要满足式（8）和式（9），每次迭代所得的最小值点略大于ICD方法，即迭代步长相对较小，导致NRMSE随迭代次数下降的速度相应变慢NRMSE曲线变化速度表明ICD算法收敛速度明显快于本算法表1中迭代终止所需迭代次数的对比同样验证了上述结论然而，对比迭代终止消耗时间，本算法耗时远小于ICD算法这是因为本算法中每次迭代所有像素同时更新，使得迭代耗时大幅降低因此，本算法中即使迭代次数增加，总的迭代耗时反而降低=62 45.=58 40.=132 03.（a）（b）（c）图图1 1（a）FBP、（b）ICD和（c）本算法对Catphan 500模体的重建结果FigFig.1 1The reconstruction results by（a）FBP，（b）ICD and（c）algorithm proposed in this paper for Catphan 500.685第 40 卷深圳大学学报理工版http：/3.2临床结果真实临床数据重建成功与否对算法有效性至关重要采用明峰医疗ScintCare CT 128腹部螺旋扫描协议，64 mm 0.625 mm开口，扫描人体腹部，分别利用 FBP、ICD 和本算法进行重建，重建图像层厚为0.625 mm，像素大小为0.976 6 mm 0.976 6 mm，窗位和窗宽为 60 HU，400 HU，结果如图3ICD和本算法的迭代终止条件与前文模体实验相同图3中表示小圆形CT值的均方根误差，即噪声水平，单位为HU由图3可见，ICD算法与本算法的噪声水平约为FBP的50%.此外，在ICD和本算法重建图像中，一些软组织和小血管清晰可见，而在FBP图像中则被严重的噪声覆盖，难以清晰观察；观察图中肋骨可见，ICD和本算法都能够保持与FBP相当的肋骨边界，即具有相近的空间分辨率综合来看，ICD和本算法显著降低噪声水平，提高了临床图像质量；本算法重建图像质量与ICD基本相同迭代终止时，ICD和本算法所需迭代次数与消耗时间如表2可见，ICD方法迭代次数少，收敛速度快，但耗时更长；本算法迭代次数较多，收敛速度较慢，但重建耗时极大降低本算法在取得与ICD算法基本相同的图像质量同时，极大降低迭代重建所需时间结 语针对采用q-GGMRF正则模型的CT目标函数，基于优化转换思想，提出一种并行优化目标函数的迭代重建方法利用目标函数凸特性，构建满足特定条件的可分离替代函数，结合GPU并行运算优势，在保证迭代重建图像质量的同时，极大降低了迭代重建的耗时模体实验结果表明，本算法能够获得与ICD相同的空间分辨率和噪声水平，重建耗时仅为ICD算法的1/20临床数据重建结果验证了本算法的临床有效性接下来研究将集中于把本算法推广至能谱CT成像技术，以期在低剂量扫描情况下，获得高质量的能谱CT图像近年来深度学（a）（b）（c）=6836.=2867.=115 61.图图3（a）FBP、（b）ICD及（c）本算法的临床实验结果Fig.3 The reconstruction results by（a）FBP，（b）ICD and（c）algorithm proposed in this paper for clinical experiment.表表2 临床实验迭代终止所需迭代次数和消耗时间Table 2 Number of iterations and time consumed for iteration termination about phantom experiment算法ICD本研究迭代次数1323耗时/s10 789337?ICD?1.00.80.60.40.2246810121416180图图2ICD及本算法的NRMSE变化曲线Fig.2NRMSE profiles of ICD algorithm(solid line)and algorithm proposed in this paper(dashed line).表表1 模体实验迭代终止所需迭代次数和消耗时间Table 1 Number of iterations and time consumed for iteration termination about phantom experiment算法ICD本研究迭代次数917耗时/s7 193294686第 6 期侯晓文，等：基于可分离替代函数优化的CT重建http：/习方法在CT重建领域得到越来越多的关注和应用，展现出优异的重建图像质量本算法中的参数值通过经验确定，方法繁琐且难以得到最优值将来研究中，可以利用深度学习方法对算法相关参数进行估计，从而自适应确定最优参数值，进而获得最优质量重建图像基金项目：国家自然科学基金资助项目（11674232）；浙江省科技厅领雁计划资助项目（2022C03072）；中核集团领创科研基金资助项目作者简介：侯晓文()，深圳大学博士后研究人员研究方向：医学成像技术、能谱CT成像算法引文：侯晓文，郭金川，陈伟，等.基于可分离替代函数优化的 CT 重建 J.深圳大学学报理工版，2023，40（6）：681-687.参考文献/References：1 WILLEMINK M J,NOL P B.The evolution of image reconstruction for CT-from filtered back projection to artificial intelligence J.European Radiology,2019,29(5):2185-2195.2 YANG Fengchang,ZHANG Jiayi,ZHOU Liu,et al.CT-based radiomics signatures can predict the tumor response of non-small cell lung cancer patients treated with first-line chemotherapy 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