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2021-2022学年高中数学 第一章 空间几何体章末综合提升学案 新人教A版必修2

2021-2022学年高中数学 第一章 空间几何体章末综合提升学案 新人教A版必修2

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第一章 空间几何体

[巩固层·知识整合]

[提升层·题型探究]

空间几何体的结构特征
【例1】　(1)设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
(2)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(1)A　(2)D　[(1)①若侧棱不垂直于底面，则底面是矩形的平行六面体不是长方体，错误；②若底面是菱形，则棱长都相等的直四棱柱不是正方体，错误；③若侧棱垂直于底面两条平行边，则侧棱不一定垂直于底面，故侧棱垂直于底面两条边的平行六面体不一定是直平行六面体，错误；④若平行六面体对角线相等，则对角面皆是矩形，于是可得侧棱垂直于底面，因此对角线相等的平行六面体是

直平行六面体，正确．
(2)如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，取四棱锥A1­ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．]

与空间几何体结构特征有关问题的解答技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．

1．棱台上、下底面面积分别为16，81，有一平行于底面的截面，其面积为36，则截面截得两棱台高的比为(　　)
A．1∶1 B．1∶2 C．2∶3 D．3∶4
C　[将棱台还原为棱锥，如图所示，设顶端小棱锥的高为h，两棱台的高分别为x1，x2，则＝，解得x1＝，＝，解得x2＝h. 故＝.]

空间几何体的表面积与体积
【例2】　(1)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为(　　)

A．4π　　　　　　　 B．(4＋)π
C．6π D．(5＋)π
(2)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥 A1­BB1D1D的体积为________．

(1)D　(2)　[(1)∵在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱减去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥的组合体，∴几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋×2π×1×＝(5＋)π.
(2)∵正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，
∴矩形BB1D1D的长和宽分别为，1.
∵四棱锥A1­BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1对角线长的一半，即为，
∴V四棱锥A1­BB1D1D＝Sh＝×(1×)×＝.]

空间几何体的表面积与体积的求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
(3)求复杂几何体的体积常用割补法、等积法求解．

2．如图所示，已知三棱柱ABC­A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABC­A′B′C′的体积．

[解]　连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．

设所求体积为V，显然三棱锥A′­ABC的体积是V.
而四棱锥A′­BCC′B′的体积为Sa，
故有V＋Sa＝V，即V＝Sa.

与球有关的切、接问题
【例3】　(1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为(　　)
A．π　　　B．π　　　C．π　　　D．16π
(2)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，如果这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是(　　)
A．96 B．16 C．24 D．48
(1)B　(2)D　[(1)如图，设PE为正四棱锥P­ABCD的高，则正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF.

由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，
又底面边长为4, 所以AE＝2， PE＝6, 所以侧棱长PA＝＝＝＝2. 设
球的半径为R, 则PF＝2R. 由三角形相似得PA2＝PF·PE，即44＝2R×6，解得R＝，所以S＝4πR2＝4π×＝，故选B.
(2)由球的体积公式可求得球的半径R＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a，高即侧棱长，为h，则h＝2R＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有×＝R＝2，解得a＝4.故此三棱柱的体积V＝××(4)2×4＝48.]

与球相关问题的解题策略
(1)作适当的截面(如轴截面等)时， 对于球内接长方体、正方体， 则截面一要过球心， 二要过长方体或正方体的两条体对角线，才有利于解题．
(2)对于“内切”和“外接”等问题， 首先要弄清几何体之间的相互关系， 主要是指特殊的点、线、面之间的关系， 然后把相关的元素放到这些关系中来解决．

3．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　　)
A．64π　　　　　　　　　　 B．48π
C．36π 　　　　　　　　　 D．32π
A　[如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以＝2r，解得AB＝2，故OO1＝2，所以R2＝OO＋r2＝(2)2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.故选A.]