2020-2021学年高中数学-第一讲-坐标系-二-第1课时-极坐标系的概念学案新人教A版选修4-4.doc

2020-2021学年高中数学 第一讲 坐标系 二 第1课时 极坐标系的概念学案新人教A版选修4-4

2020-2021学年高中数学 第一讲 坐标系 二 第1课时 极坐标系的概念学案新人教A版选修4-4

年级：
姓名：

二　极坐标系
第一课时　极坐标系的概念
考　纲　定　位
重　难　突　破
1.理解极坐标系及其概念，会求点的极坐标.
2.能建立极坐标系，由点的极坐标确定位置.
重点：极坐标系的概念与点的极坐标的表示.
难点：极坐标系中点与极坐标之间的对应关系.

授课提示：对应学生用书第4页
[自主梳理]
1．平面内点的位置
在平面直角坐标系中，点的位置用有序实数对确定，平面内的点的位置也可以用距离和角度确定．
2．极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
3．极坐标
设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．
一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任意实数．
4．点与极坐标的关系
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．
如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．

[双基自测]
1．极坐标系中，与点相同的点是(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.
解析：因为极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，故选A.
答案：A
2．极坐标系中，集合{(ρ，θ)|ρ＝1，θ∈R}表示的图形是(　　)
A．点 B．射线
C．直线 D．圆
解析：由于ρ＝1，θ∈R表示到极点距离等于1的点的集合，即以极点为圆心，半径为1的圆．
答案：D
3．极坐标系中，点M与N两点间的距离为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：M，N，O(0,0)三点共线，故|MN|＝|MO|＋|NO|＝1＋1＝2.
答案：B

授课提示：对应学生用书第4页

探究一　由极坐标确定点的位置
[例1]　在极坐标系中，画出点A，B，C，D.
[解析]　在极坐标系中先作出线，再在线上截取|OA|＝1，这样可得到点A.同样可作出点B，C.由于π＝＋4π，故点D可写成D，如图位置．

怎样确定极坐标点的位置
由极坐标确定点的位置，常常首先由θ的值确定射线(方向)，再由ρ的值确定位置．如果θ的值不在[0,2π)范围内，先根据θ＝θ0＋2kπ(k∈Z)确定出θ0∈[0,2π)的值再确定方向．

1．在极坐标系中，作出以下各点：A(4,0)，B，C，D.
解析：如图所示，A，B，C，D四个点分别是唯一确定的．

探究二　求点的极坐标
[例2]　已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．
(1)点P是点Q关于极点O的对称点；
(2)点P是点Q关于直线θ＝的对称点．
[解析]　(1)由于P、Q关于极点对称，得极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，点P的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．
(2)由P、Q关于直线θ＝对称，
得它们的极径|OP|＝|OQ|，
点P的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，
所以点P的坐标为
(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．
设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．

2．设点A，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)．
解析：

如图所示，
关于极轴的对称点为B.
关于直线l的对称点为C.
关于极点O的对称点为D.
四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2为半径的圆上．
探究三　极坐标系的实际应用

[例3]　

如图，以温州所在城市为极点，正东方向为极轴正方向，建立极坐标系，今有某台风中心在东偏南60°，距离极点800千米处，假设当距离台风中心700千米时应当发布台风蓝色警报，已知福州所在城市的极坐标为.
(1)求台风中心的极坐标；
(2)福州是否已发布台风蓝色警报？
[解析]　(1)由题意知，台风中心距离极点800千米，极角取，所以台风中心的一个极坐标为.
(2)福州所在城市的极坐标为.由(1)得，
福州距离台风中心的距离为
d＝
＝100×＝100>700，
所以该城市还未发布蓝色警报．
用极坐标求两点间的距离
(1)用极坐标求两点间的距离，就是根据余弦定理解以极点O为顶点的三角形．由于极坐标中有极角，则求三角形的内角就较为方便．
(2)两点A、B的极坐标分别为A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，
则|AB|＝ .

3．已知极坐标系的极点为O，点M，N的极坐标分别为M，N，求△MON的重心G的极坐标(限定ρ＞0,0≤θ＜2π)．

解析：如图所示．
|OM|＝|ON|＝2，
∠xOM＝，∠xON＝，
∴点M、N关于极轴对称，∠MON＝，所以△MON为等边三角形．
设MN交极轴于H，
则|OH|＝|OM|cos＝2×＝，
∴H(，0)，由于△MON的重心G在中线OH上，且|OG|＝|OH|＝，
∴G为所求．

极坐标的实际应用
[典例]　(本题满分12分)某大学校园的部分平面示意图如图所示．

用点O，A，B，C，D，E，F分别表示校门，器材室，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0))
[解析]　以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示．
　4分
由|OB|＝600 m，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，得
|AB|＝300 m，|OA|＝300 m，
同样求得|OD|＝2|OF|＝300 ，8分
所以各点的极坐标分别为
O(0,0)，A(300 ，0)，B，C，
D，E(300，π)，F.12分
[规律探究]　　在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在ρ≥0，θ∈[0,2π)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的．
[随堂训练]　对应学生用书第6页

1．下列各点中与极坐标表示同一个点的极坐标是(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.
解析：因为＝－＋2π，故选B.
答案：B
2．若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是(　　)
A．关于极轴所在的直线对称
B．关于极点对称
C．关于过极点垂直于极轴的直线对称
D．重合
解析：因为点(ρ，θ)关于极点的对称点为(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)，故选B.
答案：B
3．已知M，N，求|MN|.
解析：|MN|＝
＝
＝
＝＝7.