重庆市万州二中2020-2021学年高二数学下学期期中试题.doc

重庆市万州二中2020-2021学年高二数学下学期期中试题

重庆市万州二中2020-2021学年高二数学下学期期中试题

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重庆市万州二中2020-2021学年高二数学下学期期中试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．火车开出车站一段时间内，速度v（单位：m/s）与行驶时间t（单位：s）之间的关系是v（t）＝0.4t+0.6t2，则火车开出几秒时加速度为2.8m/s2？（　　）
A． B． C． D．2s
2．如图，函数y＝f（x）的图象在点P（2，y）处的切线是L，则f（2）+f′（2）＝（　　）

A．﹣4 B．3 C．1 D．﹣2

3．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（　　）
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
4．若函数在上可导，且，则（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
5．有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有（　　）
A．24种 B．72种 C．144种 D．240种
6．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x＝2，类似的不难得到＝（　　）
A． B． C． D．
7．已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
8．从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为（　　）
A．252 B．216 C．162 D．228
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．复数z＝1+2i（i为虚数单位），为z的共轭复数，则下列结论正确的是（　　）
A．z•＝5
B．的虚部为﹣2i
C．复数z是方程x2﹣2x+5＝0的一个虚根
D．若复数z1满足|z1|＝1，则|z﹣z1|max＝+1
10．以下关于函数的说法正确的是（　　）
A．函数f（x）在（0，+∞）上不单调
B．函数f（x）在定义域上有唯一零点
C．函数f（x）的最小值为
D．是f（x）的一个极值点
11．若，则（ ）

C． D．
12．设函数，若方程有六个不等的实数根，则实数a可取的值可能是（　　）
A． B． C．1 D．2

三．填空题（共4小题,每小题5分，共计20分）
13.的二项展开式中的常数项是_______.(用数字作答）
14．欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足（eiπ+i）•z＝i+1，则|z|＝　 　．
15．下图中共有__________个矩形.

16．已知函数f（x）＝axlnx+（a＞0）．
（1）当a＝1时，f（x）的极小值为　 　；
（2）若f（x）≥ax在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为　 　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知复数z＝a+bi（a，b∈R）满足z+3i为实数，为纯虚数，其中i是虚数单位．
（1）求实数a，b的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．

18．（本小题满分12分）某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法．（请写出计算的式子，并用数字作答）
（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；
（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；
（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加．

19.（本小题满分12分）为了缓解城市交通压力，某市市政府在市区一主要交通干道修建高架桥，两端的桥墩现已建好，已知这两桥墩相距m米，“余下的工程”只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记“余下工程”的费用为y万元．
(1)试写出工程费用y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使工程费用y最小？并求出其最小值．

20.（本小题满分12分）（1）用组合数公式证明：
（2）证明：.
（3）证明：.

21. （本小题满分12分）已知曲线在处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

22．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝lnx﹣mx，m∈R．
（1）若f（x）在点A（1，f（1））处的切线与直线x+2y+1＝0垂直，求m的值；
（2）设函数，且函数H（x）的两个极值点为x1，x2，求证：H（x1）+H（x2）＜﹣3；
（3）若对于∀x∈[1，+∞），xf（x）+m≤0恒成立，求正实数m的取值范围．
万州二中高2019 级高二（下）期中
数学试卷答案
一、 单项选择题：DCAC CBAD
二、 多项选择题：ACD ABD CD BC
8 解：将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}．
若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：
①三个数字均取第一组，或均取第二组，有2A33＝12个；
②若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有A43﹣A32＝18个；
③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有C31•C31•C31•A33＝162个，
④若三组各取一个数字，第三组中取0，有C31•C31•2•A22＝36个，这样能被3整除的数共有228个．
故选：D．
12．解：当x≤0时，f（x）＝（x+1）ex，
则f′（x）＝（x+2）ex，
当x＜﹣2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞﹣2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
故当x＝﹣2时，函数取得极小值f（﹣2）＝﹣，
其函数大致图象如图所示，
由图象可知，0＜f（x）≤1时，有3个不同的x与f（x）对应，设t＝f（x），
则方程有6个不同的实数根，
所以在t∈（0，1]上有2个不等的实数根，
设g（t）＝，则，
解可得，
所以a的可取值是，1．
故选：BC．

三．填空题（共4小题,每小题5分，共计20分）
60， 1， 45， 1 （0，]．
16.解：（1）a＝1时，f（x）＝xlnx+，（x＞0），
f′（x）＝lnx+1﹣，f″（x）＝+＞0，
故f′（x）在（0，+∞）递增，而f′（1）＝0，
故x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
故f（x）极小值＝f（1）＝1；
（2）若f（x）≥ax在（0，+∞）上恒成立，
即a（1﹣lnx）≤在（0，+∞）恒成立，
1﹣lnx≤0即x≥e时，∵a＞0，（1﹣lnx）≤0，＞0，
故a（1﹣lnx）≤在（0，+∞）恒成立，
1﹣lnx＞0即0＜x＜e时，问题转化为a≤在（0，+∞）恒成立，
即a≤[]min，只需求出g（x）＝x2（1﹣lnx）的最大值即可，（0＜x＜e），
g′（x）＝x（1﹣2lnx），令g′（x）＞0，解得：0＜x＜，令g′（x）＜0，解得：＜x＜e，
故g（x）在（0，）递增，在（，e）递减，
故g（x）max＝g（）＝，
故a≤＝，
综上，a∈（0，]．
故答案为：1，（0，]．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）由z＝a+bi（a，b∈R），得z+3i＝a+（b+3）i，
＝，
再由题意可得：，解得；-----------------------------5分
（2）由（1）得，，
则＝-----------------------------7分
＝（2m﹣）+（m2﹣2）i，
则，即＜m＜．
∴实数m的取值范围是（，）．-----------------------------10分
18．解：（1）根据题意，每人恰好参加一项，每项人数不限，则每人都有4种选择，
则有4×4×4×4×4×4＝46＝4096报名方法；-----------------------------3分
（2）根据题意，每项限报一人，且每人至多参加一项，
在6人中任选4人，安排其参加四个比赛项目即可，有A64＝360种报名方法；-----------------------------6分
（3）根据题意，分2步进行分析：
①将6人分成4组，若分为3、1、1、1的四组，有C63＝20种分组方法，--------8分
若分为2、2、1、1的四组，有＝45种分组方法，------------------------10分
则一共有20+45＝65种分组方法，
②将分好的四组安排参加4项比赛，有A44＝24种情况，
则有65×24＝1560种报名方法．-----------------------------12分
19.【解析】：（1）相邻桥墩间距米，需建桥墩个，则-----------------------------2分，()-------------5分
（2）当米时，，，-----------------------------7分
∵且时，，单调递增，时，，单调递减，∴，∴需新建桥墩个.---------------------12分
20.证明：（1）左边，
右边，
所以；----------------------------3分
（2）利用公式，
则
，
∴．----------------------------7分
（3）

.---------------------------12分
21.【解析】（1）由得，，
由题意得在处的切线斜率为，
又，可得，解得，.----------------------------4分
（2）由（1）知，，
，即为，
由知，上式等价于函数在为增函数，
，即，
令，，
当时，时，递减；，时，递增，，
则，即，所以实数的范围为.-----------------------------12分

22．解：（1）∵f（x）＝lnx﹣mx，则，
直线x+2y+1＝0的斜率为，由题意可得f'（1）＝1﹣m＝2，解得m＝﹣1，
所以，f（x）＝x+lnx，则f（1）＝1，则点A（1，1），
因此，所求切线的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0； ----------------------------3分
（2）证明：∵，所以，，
函数y＝H（x）的定义域为（0，+∞）由题意
设方程x2﹣mx+1＝0的两根分别为x1、x2，
则⇒m＞2，

＝
＝
＝
∴H（x1）+H（x2）＜﹣3-----------------------------7分
（3）∀x∈[1，+∞），xf（x）+m＝xlnx﹣mx2+m≤0恒成立，
即恒成立，
令，其中x≥1，且g（1）＝0，
则g（x）≤g（1）对∀x∈[1，+∞）恒成立，

①当m≤0时，对任意的x∈[1，+∞），g'（x）＞0，
此时，函数y＝g（x）在[1，+∞）上单调递增，
此时，g（x）≥g（1）＝0，不合乎题意；
②当m＞0时，则△＝1﹣4m2．
（ⅰ）若△≤0，则，对∀x∈[1，+∞），g'（x）≤0，
此时，函数y＝g（x）在[1，+∞）上单调递减，
则g（x）≤g（1）＝0，合乎题意；
（ⅱ）若△＞0，则，
令g'（x）＝0，得mx2﹣x+m＝0，解得，，
由韦达定理得x1′x2′＝1，则必有x1′＜1＜x2′，
当1＜x＜x1′时，g'（x）＞0，此时，函数y＝g（x）单调递增；
当x＞x1′时，g'（x）＜0，此时，函数y＝g（x）单调递减．
所以，g（x）max＝g（x1′）＞g（1）＝0，不合乎题意．
综上所述，实数m的取值范围是． -----------------------12分