2021-2022学年高中数学-第3章-圆锥曲线的方程-3.1-3.1.2-第1课时-椭圆的简单几何.doc

2021-2022学年高中数学 第3章 圆锥曲线的方程 3.1 3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质学案 新人教A版选择性必修第一册

2021-2022学年高中数学 第3章 圆锥曲线的方程 3.1 3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质学案 新人教A版选择性必修第一册

年级：
姓名：

3.1.2　椭圆的简单几何性质
第1课时　椭圆的简单几何性质
学 习 任 务
核 心 素 养
1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义．(重点)
2.能根据几何性质求椭圆方程，解决相关问题．(难点、易混点)
通过研究椭圆的几何性质，提升直观想象、逻辑推理与数学运算素养.

已知椭圆C的方程为＋y2＝1，根据这个方程完成下列任务：
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出椭圆C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出椭圆C是否关于x轴、y轴、原点对称；
(3)指出椭圆C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标．
知识点　椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形

标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
(1)离心率对椭圆扁圆程度有什么影响？
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值分别是多少？
[提示]　(1)e越大(接近于1)，椭圆越扁，e越小(接近于0)，椭圆越圆．
(2)最大值a＋c，最小值a－c.
(1)经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程为(　　)
A．＋＝1　　　 B．＋＝1
C．－＝1 D．－＝1
(2)已知椭圆＋＝1，则椭圆的离心率e＝________.
(1)A　(2)　[(1)由题易知点P(3,0)，Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知a2＝16，b2＝9，则c2＝7，
从而e＝＝.]

类型1　由椭圆方程研究几何性质
【例1】　(对接教材P112例题)(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝λ(λ＞0且λ≠1)有(　　)
A．相同的焦点　 B．相同的顶点
C．相同的离心率 D．相同的长、短轴
(2)设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
(1)C　[在两个方程的比较中，端点a、b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C．]
(2)[解]　椭圆方程可化为＋＝1.
①当0<m<4时，a＝2，b＝，c＝，
∴e＝＝＝，
∴m＝3，∴b＝，c＝1，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．
②当m>4时，a＝，b＝2，
∴c＝，
∴e＝＝＝，解得m＝，
∴a＝，c＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．

试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的基本步骤.
[提示]　(1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质.

[跟进训练]
1．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
[解]　(1)由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1.几何性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e＝，焦距为12.
类型2　由椭圆的几何性质求其标准方程
【例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同的离心率．
[解]　(1)若焦点在x轴上，则a＝3，
∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.
∴椭圆的方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝＝＝＝，解得a2＝27.
∴椭圆的方程为＋＝1.
∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，

OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
(3)法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
将点M(1,2)代入椭圆方程得
＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置；
②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
提醒：与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＋＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．

[跟进训练]
2．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为________．
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
(1)＋＝1　(2)＋＝1或＋＝1　[(1)由题意，得
解得
因为椭圆的焦点在x轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.]
类型3　求椭圆的离心率
【例3】　(1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知P为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则椭圆离心率的范围是(　　)
A． B．
C． D．

离心率e＝，因此建立a，b，c中二个量之间的关系式就可以求离心率或其范围，由此思考根据条件如何建立关系式.

(1)B　(2)D　[(1)法一：由题意知，|PF1|＝2|PF2|，且|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以|PF1|＝a，|PF2|＝a，
又|F1F2|2＋|PF2|2＝|PF1|2，
∴(2c)2＋＝，
∴＝，即e＝＝.
法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
(2)由题意知
解得
由|PF1|＝a≤a＋c得e≥，又0<e<1，
∴≤e<1，故选D．]

1．求椭圆的离心率的常见思路
一是先求a，c，再计算e；二是依据条件，结合有关知识和a，b，c的关系，构造关于e的方程，再求解；三是注意e＝，可以利用a，b直接求e，注意e的范围：0<e<1.
2．注意特殊线段在解题中的应用
在求离心率的过程中，常用到一些特殊线段、特殊值，如过F1(－c,0)垂直于长轴的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝，A等，解题中要善于总结，应用．

[跟进训练]
3．(1)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)
A．1－ B．2－
C． D．－1
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为________．
(1)D　(2)　[(1)在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，
则|PF2|＝c，|PF1|＝c，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴c＋c＝2a，
∴e＝＝＝－1，故选D．
(2)由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形，
所以c≥b，即c2≥a2－c2，所以a≤c，
因为e＝，0<e<1，所以≤e<1.]

1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率为，则C的方程是(　　)
A．＋＝1　　　 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋y2＝1
C　[依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，
且c＝1，e＝＝，则a＝2，b2＝a2－c2＝3，
因此椭圆的方程是＋＝1.]
2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是(　　)
A．(－1,0)，(1,0) B．(0，－1)，(0,1)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
D　[椭圆方程可化为x2＋＝1，焦点在y轴上，长轴端点的坐标为(0，±)．]
3．已知椭圆C2过椭圆C1：＋＝1的两个焦点和短轴的两个端点，则椭圆C2的离心率为(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
A　[椭圆C1：＋＝1的焦点为(±，0)，短轴的两个端点为(0，±3)，由题意可得椭圆C2：a＝3，b＝，可得c＝＝2，即离心率e＝＝.]
4．与椭圆＋＝1有相同的离心率且长轴长与＋＝1的长轴长相等的椭圆的标准方程为________．
＋＝1或＋＝1　[椭圆＋＝1的离心率为e＝，椭圆＋＝1的长轴长为4.
所以解得a＝2，c＝，故b2＝a2－c2＝6.
又因为所求椭圆焦点既可在x轴上，也可在y轴上，故方程为＋＝1或＋＝1.]
5．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．
　[由题意知0<m<2，且e2＝1－＝1－＝.
所以m＝.]

回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的步骤．
[提示]　①化标准，把椭圆方程化成标准形式；
②定位置，根据标准方程中x2，y2对应分母的大小来确定焦点位置；
③求参数，写出a，b的值，并求出c的值；
④写性质，按要求写出椭圆的简单几何性质．
(2)试总结根据椭圆的几何性质，求其标准方程的思路．
[提示]　已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：
①确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；
②确立关于a，b，c的方程(组)，求出参数a，b，c；
③写出标准方程．
(3)试总结求椭圆离心率的方法．
[提示]　①若已知a，c的值或关系，则可直接利用e＝求解；
②若已知a，b的值或关系，则可利用e＝＝求解；
③若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的方程或不等式，进而得到关于e的方程或不等式进行求解．