2020-2021学年高中数学-第一章-推理与证明-1.2.1-综合法课时素养评价北师大版选修2-2.doc

2020-2021学年高中数学 第一章 推理与证明 1.2.1 综合法课时素养评价北师大版选修2-2

2020-2021学年高中数学 第一章 推理与证明 1.2.1 综合法课时素养评价北师大版选修2-2

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姓名：

课时素养评价三　综　合　法
(20分钟·50分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.A，B为△ABC的内角，A>B是sin A>sin B的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.若A>B，则a>b.
又因为=，所以sin A>sin B.
若sin A>sin B，则由正弦定理得a>b，所以A>B.
2.在△ABC中，已知sin Acos A=sin Bcos B，则该三角形是 (　　)
A.等腰三角形　 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
【解析】选D.由sin Acos A=sin Bcos B，得
sin 2A=sin 2B，所以2A=2B或2A=π-2B，
所以A=B或A+B=.
3.设a>0，b>0且ab-(a+b)≥1，则 (　　)
A.a+b≥2(+1) B.a+b≤+1
C.a+b≤(+1)2 D.a+b>2(+1)
【解析】选A.由条件知a+b≤ab-1≤-1，
令a+b=t，则t>0且t≤-1，解得t≥2+2.
4.已知a，b为非零实数，则使不等式：+≤-2成立的一个充分而不必要条件是 (　　)
A.a·b>0 B.a·b<0
C.a>0，b<0 D.a>0，b>0
【解析】选C.因为+≤-2，所以≤-2.
因为a2+b2>0，所以ab<0，
所以使不等式+≤-2成立的一个充分而不必要的条件是a>0，b<0.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知x，y∈(0，+∞)，a=x4+y4，b=x3y+xy3，则a，b的大小关系是_________. 
【解析】因为a=x4+y4，b=x3y+xy3，
所以a-b=(x4+y4)-(x3y+xy3)=(x3-y3)(x-y)≥0.故a≥b.
答案：a≥b
6.已知数列{an}的前n项和为Sn，f(x)=，an=log 2，则S 2 017=_________. 
【解析】an=log2=log2f(n+1)-log2f(n)，
所以S2 017=a1+a2+a3+…+a2 017
=[log2f(2)-log2f(1)]+[log2f(3)-log2f(2)]
+[log2f(4)-log2f(3)]+…+[log2f(2 018)-log2f(2 017)]=log2f(2 018)-log2f(1)
=log2-log2=log2+1.
答案：log2+1
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.已知a，b，c成等差数列，求证：a2-bc，b2-ac，c2-ab也成等差数列.
【证明】因为a，b，c成等差数列，所以2b=a+c，
所以4b2=(a+c)2，
因为2(b2-ac)-[(a2-bc)+(c2-ab)]
=2(b2-ac)-[a2+c2-b(a+c)]
=2(b2-ac)-a2-c2+2b2=4b2-(a+c)2=0，
所以2(b2-ac)=(a2-bc)+(c2-ab)，
所以a2-bc，b2-ac，c2-ab是等差数列.
8.在△ABC中，若a2=b(b+c)，求证：A=2B.
【证明】因为a2=b(b+c)，
所以cos A===，
cos 2B=2cos2B-1=2-1
=2-1==，
所以cos A=cos 2B.
又A，B是三角形的内角，所以A=2B.
(15分钟·30分)
1.(5分)设x，y∈R，a>1，b>1，若ax=by=3，a+b=2，则+的最大值为(　　)
A.2 B. C.1 D.
【解析】选C.因为ax=by=3，所以x=loga3，y=logb3，
所以+=log3(ab)≤log3=1.
2.(5分)下面的几个不等式：
①a2+b2+c2≥ab+bc+ca；
②a(1-a)≤；
③+≥2；
④(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2.
其中恒成立的有 (　　)
A.1个　 B.2个
C.3个　 D.4个
【解析】选C.因为(a2+b2+c2)-(ab+bc+ac)=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0，
a(1-a)-=-a2+a-=-≤0，
(a2+b2)·(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2=(ac+bd)2.所以应选C.
3.(5分)若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a+b，2，a2+b2，2ab中最大的是_________. 
【解析】由0<a<1，0<b<1，且a≠b，得a+b>2，a2+b2>2ab.又a>a2，b>b2，知a+b>a2+b2，从而a+b最大.
答案：a+b
4.(5分)已知a，b，c，m∈R，且满足a<<b<<c，则m的取值范围为_________. 
【解析】因为a<<b<<c，
所以>0，
且>0，<0，
因为a<b<c，所以b-a>0，b-c<0.
所以>0，<0，>0，
所以m<0或1<m<2.
所以m的取值范围为(-∞，0)∪(1，2).
答案：(-∞，0)∪(1，2)
5.(10分)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-n(n∈N*).
(1)证明：数列{an+1}为等比数列.
(2)若数列{bn}为等差数列，且b3=a2，b7=a3，求数列的前n项和Tn.
【解析】(1)由Sn=2an-n，得Sn-1=2an-1-n+1(n≥2)，
两式作差可得：an=2an-2an-1-1，
即an=2an-1+1(n≥2)，
所以an+1=2(an-1+1)(n≥2).
由Sn=2an-n，取n=1，可得a1=1，则a1+1=2.
所以数列{an+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列.
(2)由(1)知，an+1=2n，所以an=2n-1.
b3=a2=3，b7=a3=7.
因为数列{bn}为等差数列，
所以公差d===1.
所以bn=b3+(n-3)×1=n，
所以==-，
则数列的前n项和Tn=1-+-+-+…+-=1-=.

1.已知α，β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α+β|>5；③|α|>2，|β|>2.
以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题_________.(用序号及“⇒”表示) 
【解析】因为αβ>0，|α|>2，|β|>2，所以|α+β|2=α2+β2+2αβ>8+8+2×8=32>25.
所以|α+β|>5.故可得①③⇒②.
答案：①③⇒②
2.已知函数f(x)=.
(1)证明：函数f(x)是偶函数.
(2)记A=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)，B=f(1)+f+f+…+f，求A+B的值.
(3)若实数x1，x2满足f(x1)+f(x2)>1，求证：|x1x2|>1.
【解析】(1)对任意实数x，有f(-x)===f(x)，故函数f(x)是偶函数.
(2)当x≠0时，f(x)+f=+=+=1，
所以A+B=[f(1)+f(1)]++…+=2 019.
(3)由f(x1)+f(x2)>1⇒+>1
⇒(+1)+(+1)>(+1)(+1)
⇒>1⇒|x1x2|>1.