专题10圆锥曲线-真题自测新题速览.pdf

9圆锥曲线6吗7。晦Y真题自测新题速览&对应学生用书起始页P2211.课标全国II 20179若双曲线。：5-二=1（“0,60）a o的一条渐近线被圆（4-2）2+丁=4所截得的弦长为2,则C的离心率为（）A.2 B.A C.J2 D.竽A A 解析】双曲线C的渐近线方程为旷=土 X.圆（x-a2）2+/=4的圆心为（2,0）,半径为2.设圆心到直线y=A 幺工的距离为d,则由题意得心=2?,解得d=6.则 2b=万,整理得川=3.2即-=.所以双曲线的离心率为=2.故选A.2.课标全国12016 10以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于4,3两点，交C的准线于，E两点.已知1431=%明10项=正,则C的焦点到准线的距离为（）A.2 B.4 C.6 D.8 B【解析】如图，设圆的方程为小+/二川力。），抛物 线方程为y2=2px（p 0）,4（zn,n）.抛物线y2=2px关于无 轴对称，圆关于了轴对称，且MB I=4万，/.I力I=2,.%=.V A在圆上，手+8=上.由抛物线 2P p/=2/我知，它的准线方程为x=-,v DE=2/5,:.R2=g+5.联立可解得p=4,.C的焦点到准线的距离为4.故选B.3.课标全国12017 10已知为抛物线C：y2=4x的焦点，过/作两条互相垂直的直线4，4,直线乙与C交于A,B两 点，直线22与C交于O，E两点，则丛创+IOEI的最小值为)A.16 B.14 C.12 D.10 A【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标为（1,0）.由题意，显然直线的斜率存在（若有一条不存在，则交 点个数不满足题意）.设直线乙的方程为=乂-1）,将其 与抛物线方程J=4%联立得k2x2-（2k1+4）%+*=0.设 4（町,71）,8（%2,72），n c 4/贝x+%2=2+x2=1.k kAB=，（+*）（%+）2-43%2 （1+后）（2+袁卜4=4+k2直线右的方程为了=-。（工-1）,同理，将其与抛物线方程 y2=4x 联立可得IOEI=4+4*.,AB+DE=4+3+k4+4后=8+4（*+/）力8+4 x 2=16,当且仅当人=1时 取得等号.4.四川广安、眉山2018 一诊已知椭圆E：4+忌=1（。a b/0）的左焦点为Fy轴上的点P在椭圆外,且线段PF,与 椭圆E交于点M.若1。必1=1。I=争。PI,则椭圆E的 离心率为（）A.4-B.q C.73-1 D.2 C【解析】设椭圆的右焦点为因为l 0MI=亨I。/,I,所以乙F,PO=30。，乙用F2=60,M/。为正三 角形.连接MF2,可得匕为直角三角形在Rt AMF.F,中，IMFl I=c,MF21=万c,贝ij c+JTc=2a,贝I 离心率 e=-=f i-1,故选 C.a A+l5.广西南宁2018摸底已知抛物线二姐（。0）上一点 到焦点户的距离为2t.（1）求抛物线。的方程.600分考点700分考法 高考数学(2)抛物线C上一点X的纵坐标为1,过点。(3,-1)的直线/与抛物线C交于两个不同的点(均与点4不重合).设直线AM,AN的斜率分别为kt,k2，求证也为定值.A【解】(1)由题意 0.由抛物线的定义可知IP/I=t+-7-=22,贝I a=4心 4由点在抛物线C上，得at 二看,即a =/，则屋=1.由0 0,得a=1,所以抛物线C的方程为y1=%.(2)因为点4在抛物线C上，且力=1,则%a=1,所以 4(1,1).设过点Q(3,-1)的直线/的方程为久-3=机(y+1),即第二 my+机+3.由题意知直线/不过4点，所以m#-1.将直线/的方程代 入/二%，得/一机y _ m _ 3=0.设 M(町，),7V(町，%)，则%+为=机，%=一机 一3,所以3.k,=匚1.红二I%1-1 X2-1=_-(力+)+_m2y l y2+mm+2)(%+y2)+(m+2)2_-(TH+1)_ _ 12(m+1)26.课标全国2017山20已知抛物线C：/=2x,过点(2,0)的 直线/交C于4,8两点，圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点。在圆M上；(2)设圆M过点P(4,-2)，求直线I与圆M的方程.A(1)【证明】设4(阳，),8(无2,力)，/：%=my+2.由 r x=my+2,42c这个条件是不能忽略的.当a c 0时，动点M的 轨迹是椭圆；当a=c 0时，动点M的轨迹是线段/工；当0 a，0),焦点坐标是K(-c,0),%(c,0);当焦点在y轴上时，标准方程是=+m=1(。60),焦 a b点坐标是工(0,-c),F2(0,c).确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(如焦 点的位置)和两个定形条件(如a,b),a,b是椭圆的定形条件,焦点是椭圆的定位条件.-(1)a,6,c三个量之间的关系：1 J,它们构成了 一 个直甭三角形的三边，其中。为斜边，6,c为直角边(如图)，(2)由工24的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上,短的分 母大,焦点就在X轴上，的分母大,焦点就在y轴上.(3)在方程4公+8/=c中，只有当上从。为同号且 都是不为零的常数，并且4卢8时，才表示椭圆方程.它包2含焦点在X轴或y轴上两种情形.方程可变形为一、+T=1,当日 4时,椭圆的焦点在轴上；当与 6 0)有公共焦点的椭圆方程 a b为号+=l(a/0,A -b2)；a+A+A(2)与椭圆+=1(a，0)有公共焦点的椭圆方程为 a 02 2+=1(a 6 0,A -62)；+人/+A2 2(3)与椭圆+方=1(a，0)有相同离心率的椭圆方 a b程为=l(a 6 0,7n 0)；ma mb(4)与椭圆者+75-=1(a 0)有相同离心率的椭圆方 a b2 2程为22+X?=1(a b 00).ma mb考 点 1椭 向4.椭圆的几何性质标准 方程/V2-5+4-=l(a 60)a b中心在原点，焦点在X轴上+r-=l(a 60)a2 b2中心在原点,焦点在y轴上图形产BJJB 工APP_ BxB范围x I Wa,Iy I WbI%I W，I y I W a焦点-c,O),F2(c,O)Fi(0,-c),&(0,c)顶点A(-a,0),A(a,0),B(0,-b),B(0,b)”(-6,0),4(6,0),Bz(0,-a),B(0,a)对称性对称轴为支轴、y轴,对称中心为坐标原点焦距I I=2c(c 0),c2=a2 b2长短轴长长轴长为2a,短轴长为26离心率(0e高考数学5.椭圆中的特殊量(1)椭圆的焦半径椭圆上的点P(%0，%)与左(下)焦点/或右(上)焦点F2 之间的线段长度称作焦半径，分别记作乙=I PFt I,r2=IPF21.彳 2一j-+=l(a Z)0),f =a+exQ,r2=a-ex0；a b-y 九2*2y+H=l(a 6 0),r(-a+ey,r,-a-ey0.I求适合下列条件的椭圆的标准方程：(I)两个焦点的坐标分别是(-12,0),(12,0),椭圆上一 点P到两焦点的距离的和等于26；(2)焦点在坐标轴上，且经过点4(8,-2)和8(-2/3,1)；(3)焦距是2,且过点P(-6,0).【分析】根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标 准方程，求出椭圆中的a,b即可.若判断不出焦点在哪个坐标 轴上，可采用标准方程的统一形式.【解】(1)因为椭圆的焦点在式轴上，所以设它的标准方程2 2为y+=l(a 60).a ba b推导如下:设点P(x0,打)为椭圆三+3=1(。60)上 a b的任意一点，左焦点为工(-c,0),IPF,I=/(/+了+其,由门+普=1得/=(1 一，将其代入I P/1|=a b a)考 点1椭 向，(殉+c)2，并化简得 IPK I=?%+0),由焦半径公式IP/I=a oa+ex。及-a W%o Wa可得，椭圆上任一点P到焦点八的最 小距离为a-c,最大距离为q+c,此时点P在长轴的两端点 处；由椭圆的对称性知，点P到焦点F2也有相同的结论.(2)椭圆的焦点弦当直线和椭圆相交时，截在椭圆内的线段(包括端点)叫 做椭圆的弦.当弦过焦点时，称其为焦点弦.2 2设 4(修，),B(x2,y2)是椭圆卷+?=上两a b点，若弦43过左焦点工，则1451=IAF.I+I=a+e阳+a+ex2=2a 4-e(%,+x2).(3)椭圆的焦点三角形设K，K为椭圆4+A=1(。60)的左、右焦点,P为椭圆上异于左、右顶点的点，则/%为焦点三角形.如图所示，设点 P(x0,y0),Z-FtPF2=0.IP I+IP%I=2”.4c2=PFt I2+PF22-2 I PF,I IPF21 c o s 0.II IP凡I=1”.e(62,a2.(可由余弦定理证明)1+c o s 6时.两=a Me V_c 2).1+c o s 0s吗七=；1 PF2 I s in 0=8A=62t a n。=1 2 2 1+c o s 8 Z c I%I=(a+c)r内切，当P为短轴端点时,S叫2取得最大值，可 得此时e最大.焦点三角形的周长是2(a+c).若焦点三角形的内切圆圆心为/，延长/交K&于点I PF,I 平01篙1角平分线定理)，所以制=。，制IFF,I+PF,.一 1I f n I _L I r n I 和比正理)二一I r,I 4-F2Q e(4)椭圆的通径长过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被椭圆截得的弦叫 做椭圆的通径.设点/(%,%)是椭圆的通径的一个端点，将 x0=c(x0=-C,yo=c,y0=-c)代入相应的焦半径公式，计算 得椭圆的通径长为好.aV核心方法重点突破A1.求椭圆方程的方法-求椭圆方程常用待定系数法、定义法、参数法，轨迹法 等.求椭圆方程一般采取“先定位，后定量”的方法.所谓定 位，就是研究一下此椭圆是不是标准形式的椭圆，其焦点在4 轴上还是在)轴上；所谓定量就是求出椭圆的a,6,j从而写 出椭圆方程.2a=26,2c=24,a=13,c=12.b?=a c2=132 122=25.所求的椭圆的标准方程为总+4=1.169 252(2)方法一：若焦点在x轴上，设所求椭圆的方程为三+a2=l(a 60).由4(万，-2)和以-茹,1)两点在椭圆上可得若焦点在y轴上，设所求椭圆的方程为%+今=1(a a bci 5,不合题意，舍去.b-=15,2 2故所求的椭圆的方程为=1.。2专题10圆锥曲线3m+47i=l.解得 2m+n=,即方法二：设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m 0,n 0 且加产建).由点4(万，一2)和5(-我,1)在椭圆上可得机(万)2+(2)2=1,m(-2/T)2+n-I2=1,1 机二百1 n-5故所求椭圆的方程为(+?=1.(3)若椭圆的焦点在彳轴上，设其方程为4+=a b1(a 6 0).由题意，得c=l,且过点P(-75,0),q2=5 2 22-I.椭圆的方程为=b2=4.5 42 2若椭圆的焦点在)轴上，设其方程为2r=1(。6 0).a brA=1则由*-解得 L2-62=l,.椭圆的方程为+”反思(1)求椭圆的标准方程时，首先应明确椭圆的焦点 位置，再用待定系数法求(2)第(2)小题中的椭圆是存在且唯一的，为计算简便，可 设其方程为mx2+ny2=l(m0,a 0且“iWzi),不必考虑焦 点位置，直接可求得方程.(3)椭圆的标准方程有两种形式，当焦点位置不确定时应分两种情况讨论，注意到点P(-6,0)是椭圆与轴的交点，结合图形可知a=6或/=6,再利用关系式/=b2+,2,可立 即求出结果.I求与椭圆+4=1共焦点，且过点M(3,-2)的 y 4例2椭圆方程.分析】首先需要判断已知椭圆的焦点的位置，从而可确 定所求椭圆方程的形式.【解】方法一(待定系数法)：由已知椭圆方程5+=12得0?=9-4=5,且焦点在工轴上，则设所求椭圆方程为三+a-=1(a2 5).a2-5又点M(3,-2)在椭圆上，Q 4 人、-y+-=1,得 a 18a+45=0.a a-5a-15 或 a?=3 24,可知椭 圆的焦点在y轴上，且M=36,62=24,所以c-a-b2=36-24=12,则c=2技 因此，椭圆的焦点坐标为(0,-2),(0,2#).(2)将所给椭圆的方程化为标准方程得1+?=1.由 O J8 3,可知椭圆的焦点在x轴上，且a?-8,b2=3,所以c2=a?-川=8-3=5,则c=行.因此，椭圆的焦点坐标为(-6,0),(75,0).【反思】求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先 化为标准方程，根据椭圆的标准方程确定。2,站的值，再利用 关系式q2=川+2求出C,即可根据焦点所在的坐标轴写出焦 点坐标.例4考 点1椭 向|方程七+占=1表示焦点在x轴上的椭圆,O Zt jt 1求t的取值范围.【解】方程表示焦点在X轴上的椭圆，(-8-2z 0,/.0,解得 t 3/1,/.t的取值范围是罟)【反思】由椭圆的标准方程看焦点位置的关键是抓住椭圆 标准方程的结构特点，工2,丁的分母均大于0,右端为1,且谁的 分母大，焦点就在其对应的坐标轴上.3.椭圆定义的应用|江西南昌2016模拟已知储是椭圆C的两个第例5焦点,焦距为4.若。为椭圆C上一点，且 PF工的周长为14,则椭圆C的离心率e为()D.绛【解析】；焦距为4,.-.c=2.;尸为椭圆C上一点，旦 PT4的周长为14,/.2a+2c=14,r.a=5,.椭圆C的离心 e 2率 e=-t-.故选 B.a 5【答案】B庭的河南郑州2016 一模已知椭圆、+%=1(a b/o)的左、右焦点分别为K,“，过&的直线与椭圆交于A,B 两点.若/虚是以4为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆31600分考点700分考法 高考数学的离心率为()K，2,线段B.2-#C.A-2)分成5：3的两段，则此椭圆的离)考 点1【解析】如图，设囱4=2c,l伍I=凡 由/18为以4为直角顶点的等腰直 角三甭形，则 1461=AFt =m,BF=2m.由椭圆的定义，得48%的周长为 4a,Pp 4a=2m+短mm=2(2-)a.AF21=2a m=2(-/l-1)a.在 RSFH 中，14尸2r=14Kl2+14Kl)即 4c2=4(2-2)2 a2+4(2-l)2a2c2=3(乃-1)21,e=笈-有，故 选D.【答案】D4.椭圆的几何性质-(1)求椭圆的离心率通过已知条件列方程组，解出a,c的值；D.而-仔C 5心率为16,T7B.D.Vn172/5 Tbs/_【解析】依题意得-7=c=2b,.a=4 b2+c2=b 3C-TJ5b,:.e=.a 行b 5【答案】D反思求椭圆的离心率是命题的重点，求解方法一般有 两种：易求“，时，直接代入e=/；易求小时，利用e变用公式，整体求出e,即e椭 向由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程，然后转化 为关于e的一元方程求解；通过特殊值或特殊位置，求离心率；在焦点三角形/与产2中，设乙抵P&=8,乙PF1F2=a,乙PF2K=尸，贝)J e=-出外1s in 8I PFj I+IPF2 I-s in a+s in g(2)求椭圆离心率的取值范围借助平面几何图形中的不等关系(线段长度、角度、斜 率等)，如焦半径I PF I e a-c,a+c,三角形中两边之和大 于第三边等；借助题目中给出的不等信息；借助函数的值域求解范围；二次函数、均值不等式、有界性.N例7I已知K，K是椭圆C：+M=1(60)的两 a o个焦点,P为椭圆C上一点，且再呢.若的面积为 9,则，=.【解析】方法一：由椭圆定义，得IP、I+PF2 =2a,PF.I2+PF212+21 PF,I I PF,I=4a2.耐 JL成,r.IFF,I2+IPF212=IF,F212=4c2,2 I PF,I PF2 =4o2-4c2=4/,PF.I I PF,I=2/.PF2=b2=9,/.6=3.方法二：由结论 SPFF2=9=62t a n=/2t a n=62 得b=3.【答案】3国叠，若椭圆+力=1(a 6 0)的左、右焦点分别为 a b求解；易求6,“时，利用e匕沪求解.a(2)列出含a,c的齐次式，列式时常用公式b=Va-c 代替式子中的6,然后将等式两边同时除以。的“次方(一般 除以a或),从而利用e=上转化为含e的方程，解方程即 a可.此时要注意0 e 0,P(xl,yl),则 I PFt I=a+ext,I PF2 =a-ext.在APFR 中，由余弦 定理得c o s 120(a+e%)2+(a-e%|)22(a)(a-e%)，解得说=空弟x f e 0,a2)0W4c2 心即 4c2 7/当e=-5-a又 e 112A2 1故椭圆的离心率的取值范围是【答案】A【反思】椭圆中会有一些常见结论帮助我们迅速解题，所 以平时需注重过程和推理.专题10圆锥曲线5.直线与椭圆的位置关系（1）直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于无或 y的一元二次方程.直线与椭圆相交o A0；直线与椭圆相切=A=0;直线与椭圆相离qA0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最 基本的工具.解得一笔a 2），因为4/均在椭圆上,所以2 a2 a+,=1,+普=1,b-得 4(%,-焉)+77(/1-)=0,a b即（盯-%2）（町+町）（力-%）（%+先）2 ab2=0,即=一 冬=km,kw,则 kAH 町-X2 Xq ab x0a y0例 102 2I已知椭圆C：+=1，试确定m的取值范围,使得椭圆上有两个不同的点关于直线y=+”1对称.【解】方法一：设P（阳，）,。（盯，先）是椭圆C上关于直线l：y-4x+m对称的两个点，则即。=-设P,Q所在直线方程为片-十+6.由,x,y=-彳+b,2 2 消去y,得工+J1 4+3-1,13?-86X+1662-48=0.=(-86/-4 x 13 x(1662 _48)0)解得*86 16b2-48Xj+x2=m,X,X2=设线段P。的中点为M(x,y),则有xt+x2 4b 1 4b,126.点 M4b 12613IT在直线y=42+/n上，12b A 4b.=4x-+.-.b=把代入，得(-*z n):-争n.:131.(-3m)2 一 4 3，解得窄（笔工实数m的取值范围是【反思】本题提供的两种解法是处理此类问题较典型的方 法，要注意理解，灵活运用.6.椭圆的综合问题（I）取值范围和最值问题利用判别式构造不等式、利用椭圆的有界性、利用变量 间的相互关系、挖掘题目中存在的隐含条件，计算中应注意 应用函数的思想，更加注重参变量的范围对最值问题产生的 重大影响.（2）解决定值、定点、定线问题的一般方法从特殊入手，求出定点、定值，再证明定点、定值与变 量无关；直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值.应注意到代数运算是此类问题的特点，设而不求、整体 思想和消元思想的运用可有效地化简运算.（3）探索性问题解决这类问题往往采用“假设反证法”或“假设检验法”，也可先用特殊情况得到所求值，再给出一般性的证明.WJ11课标全国 I 2016 20设圆/+y2+2%-15=0的圆心为4,直线I过点以1,0）且与轴不重合交圆4于C,D两点，过/?作4C的平行线交AD于点E.证明：I4I+IE6I为定值，并写出点E的轨迹方程；（2）设点E的轨迹为曲线C,，直线/交G于M,N两点，过 B且与I垂直的直线与圆4交于P,。两点，求四边形MPNQ面 积的取值范围.（1）【证明】因为 1401=TAS,EBAC,故乙 EBD=LACD=A A DC.所以 IEBI=IEOI,故 IEm+I EBI=EA+I EDI=AD.考 点1椭 向3l600分考点700分考法 高考数学又圆4的标准方程为(化+1y+y2=16,从而I AD I=4,所 以 IE4I+EB=4.由题设得4(-1,0),6(1,0),1481=2,由椭圆定义可得 点E的轨迹方程为+?=l(y#0).(2)【解】当I与x轴不垂直时，设/的方程为y=(x-l)户0),加(/，),Af(x2,y2).由2 得(4严+3)/-8必芯+4昭-12=0.IT+T=1从而可设/：y=4-m(m 7 1).2将 y 二人+机代入+y2=1 得(4*+1)%2+Skmx+41?-4=0.由题设可知A=16(4*-m2+1)o.设 4(X,%),8(*2,力)，则 X,+x2=一：”，久/2=774A+1 4k%1)2-1 菽+机 一 1 kx2+m-1而 k、+鼠=-4-=-4-一 X|x2 X x22kxxx2+(771-1)(%j+%2)考 点1椭 向贝，xx+x2=4*-12所以 I MN I=/TTFl x,-久21 J2(f+1).1 2 4必+3设过点8(1,0)且与/垂直的直线为m：y=到Kxx2由题设知A：+k2=-1,故(24+l)%+2+(友1)(町+久2)=0，1 4m2-4/-Skm 八即(2/c+l)-+(zn-I)-=0,4k+I 4k+I解得人m 4-I2机的距离为=,所以IPQI=2/42-y p+T y当且仅当机-I时，A。，于是/：父二-1%+i,即8后记二/行F73777故四边形 MPNQ的面积S=1-I MN I I PQ Iy+l=-等(2),所以/过定点(2,-1).12/1.y 4k2+3可得当/与其轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围 为(12,8万).当/与其轴垂直时，其方程为4=1,IMNI=3,1。1=8,四 边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8万).例13课标全国II2015 20已知椭圆C：9x2+/=m2(m 0),直线I不过原点。且不平行于坐标轴，/与C有两个交点4,凡线段48的中点为M.(I)证明:直线。时的斜率与I的斜率的乘积为定值.例12I课标全国I 2017 20已知椭圆C：(Q60),四点9(1,1)3(0,1)/3，匕(2)若/过点(生，可，延长线段OM与C交于点P,四边 形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时/的斜率;若不能，说明理由.(1)【证明】设直线/：=丘+6(4产0,6卢0),4(孙，力)，Bx2,”)，M(xM,y ).将 y=h+/)代入 9x2+y2=/,得(A：2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,中恰有：点在椭圆C上.(1)求。的方程；(2)设直线/不经过匕点且与C相交于4,8两点.若直线 P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明过定点.(1)【解】由于P：,乙两点关于y轴对称，故由题设知C经 过/314两点.1113又由-7+7T T+*7不知，,不经过点P,a b a 46=1+X2=)优+6=粤.M 2 k2+9?，/k2+9于是直线OM的斜率=次=-即km,A：=-9.所 XM K以直线。M的斜率与/的斜率的乘积为定值.(2)【解】四边形04PB能为平行四边形.因为直线/过点所以点在C上,62 f所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是 k 0,&#3.因此解得1 3./+不小，a2-4,b2=l.9由(1)得。M的方程为y=-y r设点P的横坐标为Xp.9 2 2V -Y 7 N 2k，得 Xp=2 m,即 xP=八 2 2 2 94+819x+y=rn-km3/A：2+9将点mT,znI代入/的方程得/可得4,8的坐标分别为则 h+k22故C的方程为刍-+/=1.4,(2)【证明)设直线匕4与直线匕吕的斜率分别为吊，心 如果I与X轴垂直，设l：x二t,由题设知小0,且IM 0,左 X3,i=1,2,所以当I的斜率为4-8或4+时，四边形OAPB为平行四边形.基础好题发展训练I1,其中中，化简整理得542-8+8=0,1安徽六安一中236月考已知椭圆S+系，所以a (f卜则椭圆形状最圆时的方程为A.x2+9=I B.x2+=C.x=1 D.x2+=2)2+2=2.3.已知椭圆(+三=分别为它的两个焦点，过K的 焦点弦CO与X轴成a角(0 a 0,且 t a n a 6 0)a b的左、右焦点分别为K(-c,o),K(J。)，过B作垂直于轴的直线/交椭圆C于4,8两点，满足I伍I=5.(1)求椭圆C的离心率；(2)M,N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，直线MP,NP分别和x轴相交于H,。两点,。为坐标原点.若I。刚 1。1=4,求椭圆C的方程.A【解】(1)方法一：.：旻/!的横坐标为c,代入椭圆方程，得 c 亡.a b考 点1椭 向)解得 I y I=IAF-,I,/.=a a 6A=a c.62 a A【解析】由题意知F(-1,0),设点尸(与，九)，贝:才+y=1,解得?o=因为=(3,%),徉=(3+1,%),所以 FP=x0(x0+去-1=0,解得负值舍去).1)+4=%0(%0+1)+=+(%0+2)2+2.因为-方法二:在 Rt ZUKK 中，IK&I=2c,%lo2W3W2,所以当与=-2 时，(/F?)mil,=f-x(-2+由勾股定理，得14Kl2+4,2=需2 4 ri IAF,I 二三c 62a63c 6丽 A-=y,g pe=-A.10B.12C.20()D.不能确定 C【解析】由椭圆方程知a=5,IC I+=2a=10,I PF,I+I DF2 I=2a=10,则C。的周长 I K C +F2D+CD=I CFj I+I CF2 I+DFt +DF2 =10+10=20.4.已知斜率为1的直线/过椭圆三+丁=1的右焦点，交椭圆 于4,8两点，求弦4B的长.A【解】设点4,8的坐标分别为4(阳,y,),B(x2,y2).由椭圆 方程知 a2=4,b2=1,c2-3右焦点 F(6,0).直线/的斜率k=1，且过点F,2直线/的方程为夕二%一万.将其代入椭圆方程亍+/=1(2)设M(0,6),N(0,-b),P(o，y),则直线MP的方程为y=直二4+b.令y=。,得点R的横坐标为.b-/o/y+I)直线/VP的方程为y-x-b.xo.()R ()Q=令y=0,得点Q的横坐标为-b+%2 12 2 2a b 一 a 九b2 Toa=4,.*.c2=3,b2=1,椭圆c的方程为”3l600分考点700分考法 高考数学V考法例析成就能力A椭圆是圆锥曲线中最重要的内容之一，因而是高考命题的 热点之一.常常会出现考查椭圆的基础知识，椭圆的定义，借椭 圆的形式考查把几何条件转化为代数形式的变形能力，对这部 分知识的考查三种题型均有呈现.（%+力）（%f）考法1求椭圆的标准方程b2=0.由48的中点是（1,-1）知考 点1椭 向椭圆的标准方程的求法（1）定义法:根据椭圆定义确定a,h2的值,再结合焦点位 置求出椭圆方程.其中常用的关系有b?=a?-c2；椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；椭圆上一短轴端点到椭圆两焦点的距离相等且等于实半 轴长a.【注意】用此种方法求动点轨迹时，有时需根据题意舍去 一些不符合题意的点，有时可能要分类讨论，不要漏解.（2）待定系数法如果已知椭圆的中心在原点,且确定焦点所在位置，可设 出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a,b,c的方程 组，解出a z,从而写出椭圆的标准方程（求得的方程可能是一 个，也可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解）.当焦点位置不确定时,有两种方法可以解决:一种是分类 讨论，注意考虑要全面;一种是已知椭圆的中心在原点，可以设 椭圆的一般方程为 mx+ny=l（zn 0,n 0,mn）.阳+=2,b2%-先 1所以=-=,力+%=-2,a%x2 2联立a-b2=9,解得a2=18,川=9.故椭圆E的方程为【答案】D点拨】涉及弦中点的问题一般有两种方法：根与系数的 关系法和点差法，这两种方法在本题中均可运用，解题时若能 灵活利用点差法的结论，则可以快速求解选择题，另外注意椭 圆的基本量a,b,c之间的关系：=b1+c2.例1课标全国四3。已知椭圆小+/=3b 0）的右焦点为F（3,0），过点F的直线交E于A,B两点.若考法2椭圆定义的应用辽宁2014 15已知椭圆C：5+=1,点M与 C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为4,丛线 段MN的中点在C上，则I4M+I.【解析】如图，设线段MN的中点为G,C在椭圆C上.因为 点M关于C的焦点招，%的对称点分别为4,8,故有I GFt I=,16入 I=。I BN I,所以 I 4N I+BN =2（I GF,I+I GF21）=4a=12.例2AB的中点坐标为（1,-1）,则E的方程为)c.W+=1=12 2B.白+白 36 272 2D +18 9=1=1【解析】方法一：由题意知，直线48的斜率存在且不为0,故设直线48的方程为=乂X-3）*0）,4（阳，以），8（42,r）-=Kx-3）,J?）.由，*2 消去 y,得（川+妙）久2 6.2好 久=1a2b2=0,贝寸%1+欠？=工02 k,=2,a k+b【答案】12【点拨】本题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查转化与化归思想，结合三角形中位线的性质，灵活应用椭圆的定义是解题的关键.y+/2=k(x、-3)+kx2-3)=.2：-6k=-2.2例3|辽宁2013 15已知椭圆C：2+a=l(a b 由得202r2=)2,由得2a2尤=6品2-2/.0）的左焦点为七椭圆c与过原点的直线相交于4,8两点，连 4接AF,BF.若IABI=10,14川=6,侬4/16/=-,则椭圆。的由得6kb2-2*=b?,解得将k=代入，得 a2=2及，结 合a2-b2=c2=9,解得a=18,/=9.故E的方程 2 2喉离心率e=.方法二：由题意知kw=0 J J=1，设4（孙，力），【解析】如图所示.在48r中，由 余弦定理，得=IA&I2+18*2 _ 214*BF c o s A ABF,I BF I2-16IBFI+64=0,解得 IB 川=8.又在08r中，由余弦定理，得 OF2=OB 2+I BF I2-2()B BFc o sAABF,OF=5.专题10圆锥曲线设椭圆右焦点为K,由椭圆的对称性得14八I=BF,AF+l/IF,I=AF+BF=2a=14,/.a=7.又；I()F=c=5,e=【答案考法3椭圆的几何性质及其应用（1）椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如椭圆W+a-=l（a 60）中变量满足-a Wx W”，乏0以且0 De=（工-。），将直线方程代入椭圆方 O程，整理得5炉-Sex=0,解得=0或4=-c,所以M（0,一万c），/当c）,因此=与，=16,所以c=5,a=10,6=5.2 2所以椭圆的方程为点6+*=1,故选B.2.江西南昌2016 一模已知椭圆的左焦点为K，右焦点为 死.若椭圆上存在一点P,满足线段03相切于以椭圆的短 轴为直径的圆，切点为线段P%的中点，则该椭圆的离心率 为（）A.与 B.；C.D乌3 3 6 3 A【解析】如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段Pa 相切于点M,连接。M.M,0分别是的中点，MO/PFl，且 I*I=21M。I=2b.突破”的4.例4|课标全国HI2017 10已知椭圆。：4+=1 a o（。60）的左、右顶点分别为4，4,且以线段442为直径 的圆与直线/沈-a y+2而=0相切，则C的离心率为（）A.咚 B.与 C.与 D.：3 3 3 3【解析】以线段AL为直径的圆，是以原点为圆心，以。为 半径的圆.由相切可得，圆心（。，0）到直线bx-ay+2ab=0的距离d=加=a,可得3/=/y（T 4-62由 川 二/一02 得 3（一）=q2,从而6=咚 a 3【答案】A考 点 1又；()M PF2,PF,PF2.椭,_弓-=-固IKKI=2c,：.PF2 =M4c2-4.根据椭圆的定义，IP/I+IPF2I=2a,2b+J密-4/2=2a,a-b=y/c2-b2.两边平方，得 a2-2ab+b2-c2-b2.c-a2-6?,代入并化2简得 2a=3b,b=-a.I2 4 rr Aja-va 区 区:-=经，即椭圆的离心率为经，故选A.a a 5 33.点P在椭圆l x+4f=28上，则点P到直线3%-2y-16=0 的距离的最大值为()A 12711 16/1T-13-,、24/n n 28/ITC D-13-2 2 C【解析】椭圆方程可化为亍+三=1,设椭圆上点P的 坐标为(2c o s a,77-s in a)，则 P 点到直线 l：3x-2y-16=0 的 耳前 7 13 x 2c o s a-2 x-f l s in a-161 18s in(/3-a)-161/32+(-2)2(其中s in(3=)，当s in(/3-a)=-1时,d有最大值，最大 代.24713值为一.31600分考点700分考法 高考数学考 点1椭 向4.江西新余2016模拟椭圆C的两个焦点分别是八，外,若C 上的点p满足I/岑I=忘I K KI,则椭圆C的离心率e的取 值范围是()A(词 13.十,1)MH D.(0,扑 c【解析卜.椭圆c上的点。满足IP/I=年1居KI,由 14Kl=31创，得4K=3 FB,即(-2c,-62)=3(冷+c，%)=(3&+3c,3%),%0=一/c=-y Vl-b2,y0=-yb2.代入椭圆方程,得25(1/)+=1，解得川=y.故椭圆E的方程为%2+竽=18.点P(0,l)到椭圆号+丁)上点的最大距离为3I PF,I=-x 2c=3c.由。-c W I P/I Wa+c,解得。4 a 2椭圆C的离心率e的取值范围是5.椭圆色+卷=1的一个焦点为K，M为椭圆上一点，且 IMK I=2,N是线段M片的中点，则I ON I(。为坐标原点)为()2A.y B.2 C.4 D.8 C【解析】设椭圆的另一个焦点为K,连接M八由 IMF,I+MF2 =2a=10,MFi =2,知 IM储 I=8.又 ON 是 的中位线，故I0M=1=4.6.设/，是椭圆卷+卜1上任意一点，工，入是椭圆的两个焦 点，则c o s4/。用的最小值是()A B c I)_ 2 9 9 9 D【解析】设IP/I=/n,IP/2l=九在中，由余弦 定理，得(2c)2=病+“2 _ 2mn-c o s/_ 工 PF2=(m+n)2-2mn(1+c o s L F)PF2)=4a2-27n zi(1+c o s 乙 Fx PF2).由此得 8 _c o s Z_ F,PF2-1.=m+n=2a=6,m+n 2 Jmn,mnQmtiW9,当且仅当m=n时等号成立.c o s/_ F PF2=-mnQ 1 11 N5-1=-c o sZ_F PF2 的最小值是.二、填空题7.安徽2014 14设，尸2分别是椭圆E：#+m=1(。60）的半焦距为J原点()到经过两点(J。)，(0,/)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，45 是圆 M：(x+2)2+(-1)2 的一条直径,若椭圆E经过4,8两点,求椭圆E的方程.A【解】(1)设经过点(c,0),(0,6)的直线方程为bx+c y-be=0,则原点。到该直线的距离7 he bea=,=./F7Z a由 d=c,a=26=2 y/a1-c2,解得离心率上=与.a 2(2)方法一：由(1)知，椭圆E的方程为+4y 2=4上依题意，圆心M(-2,1)是线段48的中点，且1/181=710.易知,与x轴不垂直，设其方程为y=乂%+2)+1,代入得专题10圆锥曲线(1+4 储)工2+8-2左+1)%+4(24+1)2-4b2=0.设 4(%,%),B(%2,力)，则8M2L+1)4(2人+1尸-4*町+%2=一+心2，/出=一.由/+的=-4,得-号篝9=-4,解得k=万-.从而%1%2=8-2b2.于是 I AB I=J1+(I%i 一 町 =/(%+%2尸 _4M%2=10(l r-2).由 1/181 二 用,得10(/-2)=解得/=3.故椭圆E的方程为高+挤=1.方法二：由（1）知，椭圆E的方程为/+4/=4/.依题意，点4,8关于圆心M（-2,1）对称，且1481=/10.设4（的，）,B（x2,y2），则x+4y=4/,+4y