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第八章：曲线和曲面合肥工业大学，计算机与信息学院1曲线和曲面2曲线和曲面3曲线和曲面Y基本原则：v用一组点表示、记录曲线Y关键问题：v如何“连接”这些点生成线？4曲线和曲面假设、前提！5曲线和曲面Y样条曲线曲面YBezier曲线曲面YB样条曲线曲面Y有理样条曲线曲面Y讨论原理讨论性质6目 录Y曲线曲面基础Y自由曲线v三次样条曲线vBezier曲线vB样条曲线v有理样条曲线Y自由曲面的表示7曲线曲面基础Y曲线、曲面数学描述的发展Y曲线、曲面的表示Y连续性条件8曲线与曲面数学描述的发展Y早期：vy=y(x)vF(x,y)=0Y现代：v1963年波音公司提出矢函数的方法v1964年，MIT的Conns孔斯双三次曲面片vBezierv9曲线曲面表示的要求Y唯一性(给定已知信息，形状唯一）Y几何不变性（点相对位置确定，几何形状确定；不同坐标系；标量函数不具备；）Y易于定界（参数方程描述能确定边界）Y统一性（统一的数学形式表示不同曲线曲面）Y易于实现光滑连接（曲线、曲面片间连接）Y几何直观（几何意义明显，易被工程人员接受）10曲线曲面的表示非参数形式参数形式11曲线曲面的参数表示12连续性条件13连续性条件14拟合与逼近Y曲线完全通过给定的点序列；v点：型值点v中间点：插值Y曲线不一定完全通过给定的点序列v点：控制点v控制多边形拟合逼近15曲线曲面表示方法的性能指标Y描 述 性Y计算代价Y易操作性16目 录Y曲线曲面基础Y自由曲线v三次样条曲线vBezier曲线vB样条曲线v有理样条曲线Y自由曲面的表示17样条描述如何根据已知条件求如何根据已知条件求C?C?18样条描述19 样条描述几何约束条件！基矩阵！20基矩阵MSY每一种自由曲线曲面都有固定的MSY讨论自由曲线曲面时，我们讨论推导MS的过程。21几何约束条件GY表示几何约束信息Y能够根据几何约束信息直接获取22三次样条Y三次Hermite样条Y三次自然样条23三次Hermite样条24三次Hermite样条25三次样条26三次Hermite样条基函数基函数27Hermite基函数28Hermite样条函数权重系数29Hermite样条函数局部控制性（每段只跟两端点有关）需要输入切向量连续性条件！30自然三次样条Y给定n+1个型值点Pk=(xk,yk,zk),k=0,1,2,n，自然三次样条曲线要求在所有连接点处满足二阶连续性Yn段三次样条曲线31自然三次样条的一段t0,132n段自然三次样条Yx(t)未知数：4nY可联立的方程数：v内 点：2(n-1)(一内点分别在左右两条曲线上）v一阶导数：n-1（两侧两条曲线在内点上相等）v二阶导数：n-1vP0，P1 分别在起点和终点曲线上：2Y还少两个方程，有多种方法33自然三次样条四种方法中的第三种34自然三次样条Y不能局部控制（任一点对整条曲线有有影响）Y只适应于型值点分布均匀的情况Y不好构造35三次样条Y很多型值点时，都是分段构造Y局部修改性很重要v分而治之36目 录Y曲线曲面基础Y自由曲线v三次样条曲线vBezier曲线vB样条曲线v有理样条曲线Y自由曲面的表示37Bezier曲线Y逼近曲线Y控制方便、直观v控制多边形反应曲线形状v控制点的数目确定阶次Y由工程师发明的38Bezier曲线控制点基函数阶次取决于控制点数目有局部控制性吗？39一次Bezier曲线40二次Bezier曲线41三次Bezier曲线42三次Bezier曲线的基函数43三次Bezier曲线 VS三次Hermite曲线44Bezier曲线的性质端点45Bezier曲线的性质一阶导数46端点处一阶导数Bezier曲线在起点处的切线落在头两个控制点的连线上，在终止点处的切线落在最后两个控制点的连线上47Bezier曲线的性质二阶导数Y起始点或终止点的r阶导数是由起始点或终止点和它们的r个邻近的控制多边形的顶点来决定的。48Bezier曲线拼接一般不使用G2连续49问题分析Bernstein基函数具有如下形式：阶次取决于控制点个数控制点影响整条曲线50引 言Y阶次和控制点个数无关？Y每个控制点只影响曲线的一部分？Y改变基函数51目 录Y曲线曲面基础Y自由曲线v三次样条曲线vBezier曲线vB样条曲线v有理样条曲线Y自由曲面的表示52B样条曲线53B样条曲线给定控制点Pk给定m给定节点矢量54B样条类型Y均匀周期性B样条曲线vtk+1-tk=常数vT=（-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2）vT=（0,1,2,3,4,5,6,7）Y非均匀周期性B样条曲线vtk+1-tk!=常数vT=（0,0.1,0.2,0.2,0.5,1）vT=（0,1,1,3,3）Y开放均匀B样条曲线v在两个端点重复m次，其余节点的节点间距是均匀的；vT=(0,0,0,1,2,3,4,5,5,5)55均匀周期性B样条曲线Y均匀B样条的基函数呈周期性tm-1,tn+156均匀二次（三阶）B样条曲线Y取n=3，m=3，则n+m=6，不妨设节点矢量为：T=(0,1,2,3,4,5,6)：5758B1,3(t)59B2,3(t)、B3,3(t)60二次（三阶）均匀B样条基函数61曲线的起点和终点值t=2,t=462结论Y对于由任意数目的控制点构造的二次周期性B样条曲线来说，曲线的起始点位于头两个控制点之间，终止点位于最后两个控制点之间。Y对于高次多项式，起点和终点是m-1个控制点的加权平均值点。若某一控制点出现多次，样条曲线会更加接近该点。式8-23图8-1363讨论Bk,m(t)的阶次=Bk,m-1(t)的阶次+1Bk,m(t)非零区域为Bk,m-1(t)和Bk+1,m-1(t)的并集阶数为m次数为m-164讨论（续)65结论Ym-1是B样条曲线的次数;Ytk是节点值，T=(t0,t1,tn+m)构成B样条的节点矢量；v节点非递减排序v所生成曲线定义在tm-1,tn+1v每个基函数定义在t的取值范围：tk,tk+mY每个控制点最多影响m个曲线段；m 阶数（节点段数）66开放均匀B样条67开放均匀的二次（三阶）B样条曲线Y假设m=3，n=4，Y节点矢量为：T=(t0,t1,tn+m)=(t0,t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7)=(0,0,0,1,2,3,3,3)。6869非均匀B样条曲线70非均匀B样条曲线Y基函数不具有平移性质，基函数形状各不相同计算量大；Y可以随意插入、删除或修改节点方便控制节点局部形状；如果有不懂的地方，仔细阅读课本p231-p237部分，仍有问题可提问71B样条曲线性质Y局部支柱性YB样条的凸组合性Y导 数Y连续性72局部支柱性YB样条的基函数是一个分段函数，其重要特征是在参数变化范围内，每个基函数在tk到tk+m的子区间内函数值不为零，在其余区间内均为零，通常也将该特征称为局部支柱性73局部支柱性Y第k段曲线段 仅由m个控制点Pk-m+1,Pk-m+2,Pk控制；Y修改控制点对曲线的影响是局部的，Pk最多影响m个线段(tk,tk+m)。Pk只与基函数Bk,m相乘，而每个基函数覆盖的节点范围为tk,tk+m。P233 图8-11，当取k=2时t2,t3之间只有m个（三个）基函数，而每个基函数只与一个相应的控制点相乘共n-(m-1)+1=7-2+1=6段凸包性时再讲74B样条曲线性质Y局部支柱性YB样条的凸组合性Y导 数Y连续性75B样条的凸组合性第k段曲线段处于m个（m=3）控制点（PK与其前面的2个控制点）组成的凸包内76B样条曲线性质Y局部支柱性YB样条的凸组合性Y导数Y连续性77导 数B样条曲线78B样条曲线性质Y局部支柱性YB样条的凸组合型值Y导 数Y连续性79B样条曲线性质连续性Y若一节点矢量中节点均不相同，则m阶（m-1次）B样条曲线在节点处为m-2阶连续。YB样条曲线基函数的次数与控制顶点个数无关(增加一个控制点，则增加一段次数相同的B样条曲线，且连接处具有m-2阶连续。）Y重节点问题（连续性要降低，降低为原阶数减去重复度）重复度为280目 录Y曲线曲面基础Y自由曲线v三次样条vBezier曲线vB样条曲线v有理样条曲线Y自由曲面的表示81引言Y样条曲线、Bezier曲线、Bspline曲线等均用多项式（或分段多项式）表示曲线Y不能精确表示除抛物线（面）以外的二次曲线（面）82有理样条曲线曲面YBspline是有理B样条的特例YNURBS（最常用）vNon-uniformvRationalvBspline两个样条参数多项式的比83表示二次曲线84目 录Y曲线曲面基础Y自由曲线v三次样条曲线vBezier曲线曲线vB样条曲线曲线v有理样条曲线曲线Y自由曲面的表示85自由曲面的表示86自由曲面的表示87本章小结有局部控制性无局部控制性阶次与控制点无关HermiteBsplineNURBS三次自然样条阶次与控制点有关Bezier88