高等数学中值定理的题型与解题方法.doc

高等数学中值定理的题型与解题方法
高数中值定理包含：1.罗尔中值定理(rolle); 2.拉格朗日中值定理(lagrange); 3.柯西中值定理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式(taylor), 其中，一定是开区间.
全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。
题型一：证明：
基本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle)，还要考虑极值的问题。
例1. 在可导，，，
证明：存在，使得.
分析：由，，容易想到零点定理。
证明：，存在，使得，
又，同号，，
存在，使得，
，所以根据罗尔中值定理：存在，使得.
例2. 在内可导，，，
证明：存在，使得
证明：（1），在使得上有最大值和最小值，
根据介值性定理，即
存在，使得，
（2），所以根据罗尔中值定理：存在，
使得.
例3. 在三阶可导，，，
证明：存在，使得
证明：（1），存在，使得，
（2），所以，
存在，使得，
（3），所以，
存在，使得，
例3. 在内可导，，，，
证明：存在，使得
证明：，，存在，使得，
又在内可导，存在，使得
题型二：证明：含，无其它字母
基本思路，有三种方法：
（1）还原法。能够化成这种形式
例1. 在可导，，
证明：存在，使得.
分析：由，

证明：令 ，
存在，使得，而
存在，使得
例2. 在可导，，
证明：存在，使得.
分析：由，

证明：令 ，，
存在，使得，而

即存在，使得
例3. 在上二阶可导，，
证明：存在，使得.
分析：由，

证明：令 ，，使得，
所以，又因为
由罗尔定理知，存在，使得.
记：①
②
（2）分组构造法。
①

② （还原法行不通）

例1. ，在内可导，，
证明：①存在，使得，
②存在，使得.
证明：① 令 ，
，使得，即
② （分析）
令 ，
存在，使得.
题型三：证明：含.
分几种情形：情形1：结论中只有
例1. ，在内可导，，
证明：①存在，使得，
②存在，使得.
证明：① 令 ，
使得
②,使得
，所以存在，使得
例2. ，在内可导，，
证明：①存在，使得，
②存在，使得.
证明：① 令 ，，
，使得
②,使得，
，所以存在，使得
情形2：结论中含有，但是两者复杂度不同。

例1. ，在内可导
证明：存在，使得.
证明：① 令 ，由柯西中值定理
使得，所以
使得，得证。
例2. ，在内可导
证明：存在，使得.
证明：① 令 ，由柯西中值定理
使得，所以
使得，得证。
例3. ，在内可导,
证明：存在，使得.
(分析：“留复杂”)
证明：① 令 ，由拉格朗日中值定理
使得，

，即.
题型四：证明：拉格朗日中值定理的两惯性思维。
可导
①
②见到3点两次使用拉格朗日中值定理。
例1. ，且则
解：，
.
又因为

例2. ，且，则
的大小关系。
解：由拉格朗日中值定理知，
单调递增
又
又因为
例3. 在内可导，且，在内至少有一个零点。
证明：
证明：1）因为在内至少有一个零点，所以
2）下边用两次拉格朗日中值定理
，

所以

，
，
例4. 在内二阶可导，有一条曲线，如图

证明：，使得
证明：1）使得
因为共线，所以，所以由罗尔定理知，使得

题型五：Taylor公式的常规证明。

例1. ，
证明：存在，使得.
（题外分析：考虑什么时候该用泰勒公式什么时候不用！
时考虑，但是为题型一，考虑罗尔定理
时比较尴尬，有时候用拉格朗日中值定理，有时候不用，该怎么考虑呢，分情况：
）
证明： ，

两个式子相减得：
，在上有，则
，所以根据介值定理得：
存在，使得
例2. ，在二阶可导，，，
证明：存在，使得.
证明：由知，存在，使得且
由泰勒公式：，

①
②
例3. 在上二阶可导，，在内取最大值。
证明：存在.
证明：由在内取最大值知，存在，使得

所以存在.