第三章3.2.2直线的两点式方程.doc

3.2.2直线的两点式方程学习目标1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标知识点一直线方程的两点式思考1已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2，求通过这两点的直线方程答案yy1(xx1)，即.思考2过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？答案不能，因为110，而0不能做分母过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示梳理名称已知条件示意图方程使用范围两点式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2斜率存在且不为0知识点二直线方程的截距式思考1过点(5,0)和(0,7)的直线能用1表示吗？答案能由直线方程的两点式得，即1.思考2已知两点P1(a,0)，P2(0，b)，其中a0，b0，求通过这两点的直线方程答案由直线方程的两点式，得，即1.梳理名称已知条件示意图方程使用范围截距式在x，y轴上的截距分别为a，b且a0，b01斜率存在且不为0，不过原点知识点三线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则类型一直线的两点式方程例1已知A(3,2)，B(5，4)，C(0，2)，在ABC中，(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程解(1)BC边过两点B(5，4)，C(0，2)，由两点式，得，即2x5y100，故BC边的方程是2x5y100(0x5)(2)设BC的中点M(a，b)，则a，b3，所以M(，3)，又BC边的中线过点A(3,2)，所以，即10x11y80，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x11y80.引申探究若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程解kBC，则BC的垂直平分线的斜率为，又BC的中点坐标为(，3)，由点斜式方程可得y3(x)，即10x4y370.反思与感悟(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标跟踪训练1若点P(3，m)在过点A(2，1)，B(3,4)的直线上，则m_.答案2解析由直线方程的两点式得，即.直线AB的方程为y1x2，点P(3，m)在直线AB上，m132，得m2.类型二直线的截距式方程例2过点P(1,3)，且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是()A3xy60 Bx3y100C3xy0 Dx3y80答案A解析设所求的直线方程为1(a0，b0)，由于过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，因此有解得a2，b6，故所求直线的方程为3xy60，故选A.反思与感悟求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a0，b0)的直线方程常设为1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值跟踪训练2直线l过点P(，2)，且与两坐标正半轴围成的三角形周长为12，求直线l的方程解设直线l的方程为1(a0，b0)，由题意知，ab12.又因为直线l过点P(，2)，所以1，即5a232a480，解得所以直线l的方程为3x4y120或15x8y360.例3过点A(3，1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有()A2条 B3条 C4条 D无数多条答案B解析当截距都为零时满足题意要求，直线为yx，当截距不为零时，设直线方程为1，或即直线方程为1或1，满足条件的直线共有3条故选B.反思与感悟如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况跟踪训练3过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有()A1条 B2条 C3条 D无数多条答案B解析设直线的两截距都是a，则有当a0时，直线设为ykx，将P(2,3)代入得k，直线l的方程为3x2y0；当a0时，直线设为1，即xya，把P(2,3)代入得a5，直线l的方程为xy5.直线l的方程为3x2y0或xy50.类型三直线方程的应用例4设直线l的方程为y(a1)xa2.(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0，a20，a2，此时直线方程为3xy0；当直线不过原点时，a2，由a2，得a0，直线方程为xy20.故所求的直线方程为3xy0或xy20.(2)由l的方程为y(a1)xa2，欲使l不经过第二象限，当且仅当解得a1.故所求的a的取值范围为(，1反思与感悟(1)由直线方程求出直线在两坐标轴上的截距应先分类讨论，再列方程求解(2)根据斜率和截距的取值列式求解跟踪训练4已知三角形的顶点坐标是A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在的斜截式方程解直线AB的斜率kAB，过点A(5,0)，直线AB的点斜式方程为y(x5)，即所求的斜截式方程为yx.同理，直线BC的方程为y2x，即yx2.直线AC的方程为y2x，即yx2.直线AB，BC，AC的斜截式方程分别为yx，yx2，yx2.1直线1在x轴，y轴上的截距分别为()A2,3 B2，3C2,3 D2，3答案B2过两点(2,1)和(1,4)的直线方程为()Ayx3Byx1Cyx2Dyx2答案A解析代入两点式得直线方程，整理得yx3.3经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为()Ax2 By2Cx3 Dx6答案B解析由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y2，故选B.4已知点A(3,2)，B(1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为_答案2xy10解析AB的中点坐标为(1,3)，由直线的两点式方程可得，即2xy10.5直线l过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程解设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6a，所以直线l的方程为1，因为点(1,2)在直线l上，所以1，解得a12，a23，当a2时，直线的方程为2xy40，直线经过第一、二、四象限；当a3时，直线的方程为xy30，直线经过第一、二、四象限综上所述，所求直线方程为2xy40或xy30. 1当直线没有斜率(x1x2)或斜率为0(y1y2)时，不能用两点式求它的方程，此时直线的方程分别是xx1和yy1，而它们都适合(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)的形式2直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零课时作业一、选择题1下列说法正确的是()A经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示B经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示C不经过原点的直线都可以用方程1表示D经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示答案D解析斜率有可能不存在，截距也有可能为0，故选D.2若直线l的横截距与纵截距都是负数，则()Al的倾斜角为锐角且不过第二象限Bl的倾斜角为钝角且不过第一象限Cl的倾斜角为锐角且不过第四象限Dl的倾斜角为钝角且不过第三象限答案B解析依题意知，直线l的截距式方程为1(a0，b0)，显然直线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.3直线1在y轴上的截距是()A|b| Bb2Cb2 Db答案B解析令x0得，yb2.4以A(1,3)，B(5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是()A3xy80 B3xy40C3xy60 D3xy20答案B解析因为kAB，AB的中点坐标为(2,2)，所以所求直线方程为y23(x2)，化简为3xy40.5过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是()Axy10Bxy10或3x2y0Cxy50Dxy50或3x2y0答案B解析设直线方程为1或ykx，将P(2,3)代入求出a1或k.所以所求的直线方程为xy10或3x2y0.6利用斜二测画法，作出直线AB的直观图如图所示，若OAOB1，则直线AB在直角坐标系中的方程为()Axy1 Bxy1Cx1 Dx1答案D解析由斜二测画法可知在直角坐标系中，A(1,0)，B(0，2)，由两点坐标可得直线方程为x1.7两条直线l1：1和l2：1在同一直角坐标系中的图象可以是()答案A解析两条直线化为截距式分别为1，1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合二、填空题8已知直线1与坐标轴围成的图形面积为6，则a的值为_答案2解析由1知S|a|6|6，所以a2.9过点P(3，1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是_答案x2y10或x3y0解析设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a0时，b0，此时直线l的方程为，所以x3y0；当a0时，a2b，此时直线l的方程为1，代入(3，1)得x2y10.10过(3,0)点且与x轴垂直的直线方程为_，纵截距为2且与y轴垂直的直线方程为_答案x3y211过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是_答案1解析设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m2，n6，即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)则l的方程为1.三、解答题12求经过点P(5，4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程解设所求直线方程为1.直线过点P(5，4)，1，于是得4a5bab，又由已知，得|a|b|5，即|ab|10.由，得解得或故所求直线方程为1或1.即8x5y200或2x5y100.13在ABC中，已知A(5，2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程解(1)设C(x0，y0)，则AC边的中点为M，BC边的中点为N，因为M在y轴上，所以0，得x05.又因为N在x轴上，所以0，所以y03.即C(5，3)(2)由(1)可得M，N(1,0)，所以直线MN的方程为1，即5x2y50.四、探究与拓展14若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为_答案xy60，xy60解析因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a，则直线方程为1，即xya0.|a|a|18，即a236，a6，直线方程为xy60.若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a，则纵截距为a，故直线方程为1，即xya0.|a|a|18，即a236，a6，直线方程为xy60.综上所述，直线l的方程为xy60或xy60.15已知直线l：xy30，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上的一点C，最后从C点反射回A点，求直线BC的方程解作点A关于x轴的对称点A2，则A2(1，2)设点A关于l：xy30的对称点为A1(x0，y0)，则解得即A1点坐标为(1,4)由已知条件知点A1，A2均在直线BC上，由直线的两点式方程得，即3xy10.故直线BC的方程为3xy10.