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授课内容
第八章 λ－矩阵 第一讲 λ－矩阵
教学时数
2学时
授课类型
讲授法与练习法
教学目标
使学生了解-矩阵的概念，以及-矩阵和数字矩阵的关系，基本掌握-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。
教学重点
-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。
教学难点
求-矩阵的逆矩阵
教学方法与手段
启发式讲授，讨论，练习
教
学
过
程
阶矩阵与对角阵相似的充要条件是有个线性无关的特征向量.那么当只有个线性无关的特征向量时,与对角阵是不相似的.对这种情况,我们“退而求其次”,寻找“几乎对角的”矩阵来与相似.这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题.
Jordan标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对角阵相似的理论作为特例.此外, Jordan标准型的广泛应用涉及到Hamilton-Cayley定理的证明,矩阵分解,线性微分方程组的求解等等.
由于Jordan标准型的求解与特征多项式有关,而从函数的角度看,特征多项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对-矩阵的研究.
一、 -矩阵及其标准型
定义1 称矩阵为-矩阵,其中元素
为数域上关于的多项式.
定义2 称阶-矩阵是可逆的,如果有
并称为的逆矩阵.反之亦然.
定理 1矩阵可逆的充要条件是其行列式为非零的常数,即
.
证明：（1）充分性 设是一个非零的数.表示的伴随矩阵,则也是一个-矩阵,且有
因此, 是可逆的.
(2)必要性 设有可逆矩阵,则
两边取行列式有
由于与都是多项式,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式,即都是非零常数.证毕.
例题1 判断-矩阵
是否可逆.
解 虽然
是满秩的,但不是非零常数,因而是不可逆的.
注意 与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必要的,可逆的本质就是要保证变换的矩阵可以通过非零常数的倒数逆回去.
定义3 如果矩阵经过有限次的初等变换化成矩阵，则称矩阵与等价,记为
定理2 矩阵与等价的充要与条件是存在可逆矩阵,使得
证明 因为,所以可以经过有限次初等变换变成,即存在初等矩阵
与初等矩阵
使得
令
,
就是所要求的-矩阵.它们都是初等矩阵的乘积,从而使可逆的.证毕.
定义4 矩阵的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为1） 最大公因式称为的k阶行列式因子.
定理2 等价矩阵具有相同的秩和相同的各级行列式因子.
证明 设-矩阵经过一次行初等变换化为了，与分别是与的阶行列式因子.需要证明.分3种情况讨论：
（1）,此时,的每个阶子式或者等于的某个阶子式,或者与的某个阶子式反号,所以,是的阶子式的公因子,从而.
（2）,此时,的每个阶子式或者等于的某个阶子式,或者等于的某个阶子式的倍.所以,是的阶子式的公因式,从而.
（3）,此时,中那些包含行与行的阶子式和那些不包含行的阶子式都等于中对应的阶子式；中那些包含行但不包含行的阶子式,按行分成两个部分,而等于的一个阶子式与另一个阶子式的倍的和,,也就是的两个阶子式的线性组合,所以,是的阶子式公因式,从而.
对于列变换,可以一样地讨论.总之,经过一系列的初等变换变成，那么.又由于初等变换的可逆性,经过一系列的初等变换可以变成,从而也有.
当所有的阶子式为零时,所有的阶子式也就等于零；反之亦然.故与又相同的各阶行列式因子,从而有相同的秩.证毕.
既然初等变换不改变行列式因子,所以,每个-矩阵与它的标准型有完全相同的行列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的,因而,在求一个-矩阵的行列式因子时,只要求出它的标准型的行列式因子即可.
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第二将 λ－矩阵在初等变换下的标准型
教学时数
2
授课类型
讲授课
教学目标
了解-矩阵的初等变换，掌握求标准型的方法，掌握最小多项式的概念和求最小多项式的方法。
教学重点
求标准型的方法和最小多项式的求法
教学难点
求-矩阵标准型的方法
教学方法与手段
课堂讲授，辅以提问、练习
教
学
过
程
一、-矩阵的初等变换。
定义1 下面的三种变换叫做-矩阵的初等变换：
（1）矩阵的两行（列）互换位置；
（2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数；
（3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的倍，是一个多项式。
初等变换都是可逆的，并且有
。
为了写起来方便起见，我们采用以下的记号：
代表行（列）互换位置；
代表用非零的数去乘行（列）；
代表把行（列）的倍加到行（列）。
定义2 -矩阵称为与等价，如果可以经过一系列初等变换将化为。
等价是-矩阵之间的一种关系，这个关系，显然具有下列三个性质：
（1） 反身性：每一个-矩阵与自己等价。
（2） 对称性：若与等价，则与等价。这是由于初等变换具有可逆性的缘故。
（3） 传递性：若与等价，与等价，则与等价，
引理 设-矩阵的左上角，并且中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与等价的矩阵，它的左上角元素也不为零，但是次数比的次数低。
定理2 任意一个非零的的-矩阵都等价与下列形式的矩阵
最后化成的这个矩阵称为的标准形。
例 求-矩阵
的标准型.
解
即为所求的标准型.
二、矩阵最小多项式
定义3：设 是一个矩阵，如果多项式
使得：
则称是A的零化多项式。A的次数最小的首一零化多项式称为A的极小多项式（minimal polymial）,记为。
引理2：整除A的任意零化多项式。特别的。
证明 设是A的任一零花多项式，则。由带余除法定理可知，或。由及的最小性知
引理3：的根必是的根。
证明 若A有特征根不是的根，则。存在使得
，取行列式知与是A的特征根矛盾。
由引理1、2知与有相同的根。
引理4 相似矩阵有相同的最小多项式，反之不真。
例1 设
，但A、B不相似。
引理5 设A为n阶方阵且A 相似于
其中、为方阵，则
特别的由引理3 知 当时
。
定理3 设
则，其中
由引理1、2即得结论。
例2 设
，求
解 ，只能是下两个多项式之一，即，将A带入得，故。
定理4 为的n-1阶行列式因子。
可根据如下方法求出。
因为记故，分别以与A代和得得 （表示A的伴随矩阵。而恰为的所有元素的首一最大公因式故用上述方法可求出A的最小多项式）。
例4 设
求。
解
显然中所有元素首一最大公因式
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第三讲 不变因子
教学时数
2
授课类型
讲授、互动
教学目标
通过2学时的讲授，使学生基本掌握线性变换的矩阵表示方法和来源，了解矩阵和线性变换的这种等价关系，掌握不变因子的求法。
教学重点
λ－矩阵的标准型和不变因子
教学难点
λ－矩阵不变因子的求法
教学方法与手段
课堂讲授、练习
教
学
过
程
一、 矩阵表示
设V和W都是数域F上的有限维向量空间，dimV=n，dimW=m，σ∈Hom(V，W)．
σ完全被它在V的一个基上的作用所决定．因此在V中取一个基；同时，在W中取一个基，则由线性表示为
． (1)
将此写成矩阵形式，并令σ()=()，则得
， (2)
其中矩阵A=，叫做线性映射σ在V的基{}和W的基{bi }下的矩阵．
在V、W中分别取定一个基{}、{bi}以后，对于V到W的每一个线性映射σ，有唯一确定的m×n矩阵A与它对应．因此，这个对应给出了Hom(V，W)到的一个映射j．设t∈Hom(V，W)，则j(t)=B是在基{}和基{bi}下的矩阵．若B=A，则，．由命题7.1.1，有t =s．这表明j是单射．任给C∈，W中以C的第j列作为在基{bi }下的坐标的向量记作，．存在V到W的一个线性映射r，使得r ()=，．从而
r ()=()=()C．
于是，C是r在基{}和基{bi}下的矩阵．因此j (r)=C．这表明j是满射．故j是Hom(V,W)到的一个双射．进一步，我们来证明
定理1 设V和W都是数域F上有限维向量空间,其中dimV=n, dimW=m．在V中取一个基，在W中取一个基．则V到W的每一个线性映射与它在基{}和基{bi}下的矩阵的对应j是向量空间Hom(V，W)到的同构映射，记作Hom(V，W)．
证 前面已证j是到Hom(V，W)到的双射．现在来证明j保持加法与纯量乘法运算．任取s,t∈Hom(V，W)，设j (s)=A, j (t)=B，即，，则
这表明s+t在基{}和基{bi }下的矩阵是A＋B．因此
j (s+)=A＋B=j (s)+j ()．
类似可证，其中k∈F．因此，j是Hom(V，W)到的同构映射．
再注意到定理7.1.2，则有
推论 设dimV=n，dimW=m，则Hom(V，W)是有限维的，并且
dimHom (V，W)=dimV·dimW． (4)
当知道V到W的线性映射s在基{}和基{bi }下的矩阵A之后，V中任一向量α在s下的象很容易求出，即有
命题 设是V的一个基，是W的一个基，s∈Hom(V，W)，且s在基{}和基{bi }下的矩阵为A．又α
∈V，设α在基{}下的坐标为，则在基{bi }下的坐
标为A．
证 我们有
．
因此，A是在基下的坐标．
推论 设V到W的线性映射s 在基{}和基{bi }下的矩
阵为A，V中任一向量α在基{}下的坐标为X=，W中向量g
在基{bi }下的坐标为Y=，则．
现在我们来讨论n维向量空间V上的线性变换与矩阵的关系．设s∈EndV，我们把上面关于线性映射与矩阵的关系运用到V上的线性变换中．这时，只需在V中取定一个基，把基向量在s下的象s ()仍然用这个基线性表出，即
， (5)
右端的n阶矩阵A=叫做线性变换s在基下的矩阵．
定理2 设V是数域F上n维向量空间，在V中取定一个基，则V上的每一个线性变换与它在基下的矩阵的对应j是向量空间EndV到Mn(F)的同构映射，也是环EndV到Mn(F)的同构映射．
证 后半部分中j是双射，保持加法也已证明，剩下只要证j保持乘法．设线性变换s，t在基下的矩阵分别是A，B，则
，．
因为
所以st在基下的矩阵是AB．于是
．
从而j也是环EndV到Mn(F)的同构映射．
由此进一步得到
推论 设数域F上n维向量空间V的一个线性变换s在V的一个取定的基下的矩阵是A．则s可逆的充分且必要条件是A可逆，并且其逆变换在这个基下的矩阵就是．
证 设s可逆．令关于所取定的基的矩阵是B，则．同理BA=In．所以B=A－1．
反过来，设，而A可逆，则有tÎEndV使．于是
，
从而易见．同理可证．所以s可逆，且．
命题 设V是数域F上n维向量空间，s∈EndV．若s在V的基下的矩阵为A，α∈V在基下的坐标为X，则在基下的坐标为AX．
二、不变因子
现在来证明，-矩阵的标准形是唯一的。为此，我们引入
定义2 设-矩阵的秩为，对于正整数，，中必有非零的级子式。中全部级子式的首项系数为1的最大公因式称为的级行列式因子。
由定义可知，对于秩为的-矩阵，行列式因子一共有个。行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的。
定理3 等价的-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子
现在来计算标准形矩阵的行列式因子。设标准形为
其中，，，是首项系数为1的多项式，且。不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个级子式一定为零。因此，为了计算级行列式因子，只要看由列组成的级子式就行了，而这个级子式等于
显然，这种级子式的最大公因式就是
。
定理4 -矩阵的标准形是唯一的。
定义3 标准形的主对角线上非零元素称为-矩阵的不变因子。
定理5 两个-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子。
由(3)可以看出，在-矩阵的行列式之间，有关系
。 （4）
在计算-矩阵的行列式因子时，常常是先计算高级的行列式因子。这样，由（4）我们就大致有了低级行列式因子的范围了。
作为一个例子，我们来看可逆矩阵的标准形。设为一个可逆矩阵，由定理1知
其中是一非零常数。这就是说，
。
于是由（4）可知， 。
因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵。反过来，与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆的，因为它的行列式是一个非零的数。这就是说，矩阵可逆的充分必要条件是它与单位矩阵等价。又矩阵与等价的充分必要条件是有一系列初等矩阵，，，，，，使得
=。
特别地，当=时，就得到
定理6 矩阵是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积。
由此又得到矩阵等价的另一条件
推论 两个的-矩阵与等价的充分必要条件为，有一个可逆矩阵与一个可逆矩阵，使
=。
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第四讲 矩阵相似的条件
教学时数
2
授课类型
讲授法与练习法
教学目标
使学生了解矩阵相似的几种条件，在不同情况下如何求证明矩阵相似，尤其是矩阵相似与不变因子的关系
教学重点
矩阵相似的充要条件
教学难点
矩阵相似的充要条件
教学方法与手段
启发式讲授，讨论，练习
教
学
过
程
一个线性变换在取定基下的矩阵依赖于这个基的选择．同一个线性变换在不同的基下的矩阵自然不一定相同．我们来考察一个线性变换在两个基下的矩阵有什么关系．
设V是数域F上的一个n维向量空间，s∈EndV．假设s在V的两个基{}与{}下的矩阵分别是A与B，即
,.
令T是由基{}到基{}的过渡矩阵，即
()=()T．
则
()B=s ()=s (()T)
=()T=()AT=()T－1AT．
因此
． (6)
等式(6)说明一个线性变换在两个基下的矩阵的关系．于是引进
定义1 设A，B∈Mn(F)．若存在F上一个n阶可逆矩阵T使等式(6)成立，则称B与A相似，记作A~B．
n阶矩阵的相似关系具有下列性质：
1)反身性 A~A．因为A=．
2)对称性 若A~B，则B~A．
因为由得．
3)传递性 若A~B且B~C，则A~C．
事实上，由和得= ．
等式(6)表明，n维向量空间的一个线性变换在两个基下的矩阵是相似的．
反过来，设A和B是数域F上两个相似的n阶矩阵，则由定理7.3.2，存在F上n维向量空间V的一个线性变换s，它在V的一个基{}下的矩阵就是A．于是
s ()=()A．
因为B与A相似，所以存在一个可逆矩阵T，使得．令
()=()T，
则由定理1，{}也是V的一个基．容易看出，s在这个基下的矩阵就是B．
因此，相似的矩阵可以看成一个线性变换在不同基下的矩阵．
最后，容易证明以下等式成立：
．
因此，寻找彼此相似的矩阵的简单形式，往往可以化简矩阵计算．
在求一个数字矩阵的特征值和特征向量时曾出现过-矩阵，我们称它为的特征矩阵。这一节的主要结果是证明两个数字矩阵和相似的充分必要条件是它们的特征矩阵和等价。
引理1 如果数字矩阵，使
=（） （1）
则与相似。
引理2 对于任何不为零的数字矩阵和-矩阵与，一定存在-矩阵与以及数字矩阵和使
=（）+， （2）
=（）+。 （3）
定理1 设，是数域上两个矩阵。与相似的充分必要条件是它们的特征矩阵和等价。
矩阵的特征值的不变因子以后就简称为的不变因子。因为两个-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的不变因子，所以定理1即得
推论 矩阵与相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子。
应该指出，矩阵的特征矩阵的秩一定是。因此，矩阵的不变因子总是有个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式。
以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子（它们与该矩阵的选取无关）定义为此线性变换的不变因子。
例3 用初等变换方法求
的不变因子。
解
不变因子。
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第五讲 λ－矩阵的初等因子
教学时数
2
授课类型
讲授课
教学目标
了解-矩阵的初等因子的定义，初等因子与不变因子的关系，掌握初等因子的求法。
教学重点
初等因子与不变因子的关系，掌握初等因子的求法
教学难点
初等因子的求法
教学方法与手段
课堂讲授，辅以提问、练习
教
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过
程
这一节与下一节中我们假定讨论中的数域是复数域。
上面已经看到，不变因子是矩阵的相似不变量。为了得到若当标准形，再引入
定义1 把矩阵（或线性变换）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵（或线性变换）的初等因子。
例1 设12级矩阵的不变因子是
1， 1（9个），，。
按定义，它的初等因子有7个，即
，，，，，。
其中出现三次，出现二次。
现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系。首先，假设级矩阵的不变因子，，，为已知。将分解成互不相同的一次因式方幂的乘积：
=，
=，
=，
则其中对应于的那些方幂
就是的全部初等因子。我们注意不变因子有一个除尽一个的性质，即
，
从而
。
因此，在，，，的分解式中，属于同一个一次因式的方幂的指数有递升的性质，即
。
这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必定出现在的分解中，方次次高的必定出现在的分解中。如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的。
上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法。设一个级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将同一个一次因式 的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的个数不足时，就在后面补上适当个数的1，使得凑成个。设所得排列为
，，， 。
于是令
则，，，就是的不变因子。
这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们相似。反之，如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子。
综上所述，即得
定理1 两个同级矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。
引理 设
=
=
如果多项式，都与，互素，则与等价。
下面的定理给了我们一个求初等因子的方法，它不必事先知道不变因子。
定理2 首先用初等变换化特征矩阵为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是的全部初等因子。
例2 ，求的初等因子。
解 方法1：，，，，则不变因子
，，，
初等因子为。
方法2：
初等因子为。
例3 ，求的初等因子。
解
所以初等因子为。
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第六讲 若当标准形式理论简介
教学时数
2
授课类型
讲授、互动
教学目标
了解若当标准型的定义，掌握若当标准型的求法
教学重点
若当标准型的求法
教学难点
若当标准型的求法
教学方法与手段
课堂讲授、练习
教
学
过
程
我们用初等因子的理论来解决若当标准形的计算问题。首先计算若当标准形的初等因子。
不难算出若当块
的初等因子是。
事实上，考虑它的特征矩阵
。
显然=，这就是的级行列式因子。
由于有一个级子式是
,
所以它的级行列式因子是1，从而它以下各级的行列式因子全是1。因此，它的不变因子
，。
有此即得，。
若当形矩阵的初等因子也很容易算出。
设
是一个若当形矩阵，其中
既然的初等因子是所以与
与
等价。因此，全部初等因子是：
，，，。
这就是说，每个若当形矩阵的全部初等因子就是它的全部若当块的初等因子构成的，由于每个若当块完全被它的级数与主对角线上元素所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子中。因此，若当块被它的初等因子唯一决定。由此可见，若当形矩阵除去其中若当块排列次序外被它的初等因子唯一决定。
定理1 每个级的复数矩阵都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若当块的排列次序外是被矩阵唯一决定的，它称为的若当标准形
例1 在第5节的例中，12级矩阵的若当标准形就是
例2 求矩阵
的若当标准形。
定理2 设是复数域上维线性空间的线性变换，在中必定存在一组基，使在这组基下的矩阵是若当形的，并且这个若当形除去其中若当块的排列次序外是被唯一决定的。
定理3 复数矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是，的初等因子全为一次的。
定理4 复数矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是，的不变因子都没有重根。
例 2 ，求的若当标准型。
解
则初等因子为。所以。
例 3 ，求的若当标准型。
解
的行列式因子为
，，，。
不变因子为
初等因子为，。所以若当标准型
讨论、练习与作业
课后反思
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