河北省石家庄市2019届高中毕业班教学质量检测(理数).doc

河北省石家庄市2019届高中毕业班教学质量检测
数 学（理科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 设全集为R，集合M＝｛x｜x2＜4｝，N＝｛0，1，2｝，则M∩N＝
　A．｛0，1｝　 B．｛0，l，2｝　 C．（0，2）　　 D．（－2，2）
2． 已知复数z满足：z·i＝3－4i ( i为虚数单位），则z＝
A．3－4i 　 B．4＋3i 　 C．－3＋4i　 D．－4－3i
3． 甲、乙两人8次测评成绩的茎叶图如右图，
由茎叶图知甲的成绩的平均数和乙的成绩
的中位数分别是
　A．23　 22 　 B．23 　22.5 　
C．21 　22 　　D．21 　22. 5
4． 某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为1），则该几何体的体积是
　A．8 　　 B．6 　　 C．4 　　 D．2

5． 执行如图所示的程序框图，输入的n值为4，则S＝
　　A．2 　　 B．6 　　 C．14 　　 D．30
6． 已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是
　A．a2<－ab　　　 B．｜a｜<｜b｜　　 C．　　　 D．
7． 已知抛物线的焦点为F，过点F和抛物线上一点M（2，2）的直线l交抛物线于另一点N，则｜NF｜：｜FM｜等于
A．1：2 　 B．1：3 　 C．1：　 　 D．1 ：
8．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“皆”、“校”、“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下 18组随机数：
343 　432 　341 　342 　234　 142 　243　 331　 112
342　 241 　244 　431 　233　 214 　344 　142　 134
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为
　A． 　　 B． 　　 C． 　　 D．
9． 设函数的最小正周期为，且f(－x）＝f（x），则
　A．f（x）在（0，）上单调递增　　 B．f（x）在（一，）上单调递减
　C．f（x）在（0，）上单调递减　　　 D．f（x）在（一，）上单调递增
10．将函数y＝ex( e为自然对数的底数）的图象绕坐标原点O顺时针旋转角θ后第一次与x 轴相切，则角θ满足的条件是
　A．esinθ＝cosθ 　 B．sinθ＝ecosθ 　 C．esinθ＝1 　 D．ecosθ＝1
11．已知双曲线的左，右焦点分别为F1、F2，点A为双曲线右支上一点，线段AF1交左支于点B，若AF2⊥BF2，且｜BF1｜＝｜AF2｜，则该双曲线的离心率为
　 A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．3
12．已知函数，其中e为自然对数的底数，则对于函数
有下列四个命题：
命题1　存在实数a使得函数没有零点
命题2　存在实数a使得函数有2个零点
命题3　存在实数a使得函数有4个零点
命题4　存在实数a使得函数有6个军点
其中，正确的命题的个数是
　A．1 　　 B．2 　　 C．3 　　 D．4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题p：，则是　　　　　　；
14．已知向量a＝（x，2），b＝（2，1），c＝（3，2x），若a⊥b，则｜b＋c｜＝　　　　
15．如图．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，
O为对角线AC与BD的交点，若PB＝1，∠APB＝∠BAD＝，则
棱锥P－AOB的外接球的体积是　　　　
16．在△ABC中，a、b、c，分别是角A，B，C的对边，若
ccosB＋bcosC＝2acosA，，且AM＝1，则
b＋2c的最大值是　　　　．

三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答．）
（一）必考题：共60分
17．（本小题满分12分）
已知｛｝是首项为l的等比数列，各项均为正数．且＝12.
（I）求数列｛｝的通项公式；
（II）设，求数列｛｝的前n项和Sn．
18．〔本小题满分12分）
某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：

( I )请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元．估计该公司在该年的年利润增长为多少？（结果保留两位小数）
（II）现从2012年一2018年这7年中抽出三年进行调查，记＝年利润增长－投资金额
设这三年中≥2（万元）的年份数为．求随机变量的分布列与期望·
19．〔本小题满分12分）
如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，侧面ABB1A1为菱形，A1C＝BC。
（I）求证：A1B⊥平面AB1C；
（II）若∠ABB1＝60°，∠CBA＝∠CBB1，AC⊥B1C，求二面角B－AC－A1的余弦值。

20．〔本小题满分12分）
已知椭圆C：的离心率为，且过点（－1，）。
（I）求椭圆C的方程：
（II）过点（，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，试问在x轴上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分12分）
已知函数为常数·
（I）讨论函数的单调性；
（II）若函数有两个值点，且 ，求证：。

（二）选考题：共10分。请考生从第22、23题中任选一题作答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑。按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
22．［选修4－4：坐标系与参数方程］（10分）
已知曲线C1的极坐标方程为，以极点O为直角坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，将曲线C1向左平移2个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到曲线C2．
（I）求曲线C2的直角坐标方程；
（II）已知直线l的参数方程为为参数），点Q为曲线C2上的动点．求点Q到直线l距离的最大值．

23．［选修4-5：不等式选讲］(10分）
设函数。
（I）求不等式的解集；
（II）己知关于x的不等式在［－1，1］上有解，求实数a的取值范围·
数学（理科）参考答案
一、 选择题
1-5 ADDBC 6-10 CACAB 11-12 BD
二、填空题
13． 14．
15. π 16.
三、解答题
17解：（1）设的公比为，
由得 ， …………1分
解得，或， …………3分
因各项都为正数，所以，所以，所以， …………5分

…………6分
…………8分
…………10分
…………12分

18. 解:（Ⅰ），，，

…………………………………………2分

那么回归直线方程为： …………4分
将代入方程得
即该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元. …………6分
（Ⅱ）由题意可知，
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018

1.5
2
1.9
2.1
2.4
2.6
3.6
…………………………………………7分
的可能取值为1,2,3，;;;
则分布列为

1
2
3

…………10分
…………12分
19． 解：（1）因为侧面为菱形，所以， …………2分
因为，连接，所以，，
C
A
B
C1
A1
B1
O
所以平面 ………… 4分
（2）解法一：
因为，则
所以，又，可得
，，
令，则， -------------------------6分
如图，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立坐标系．

------8分
设平面的法向量为
，令，则
同理平面的法向量为------------------------------10分

所以，二面角的余弦值为.--------------------------12分
（2）解法二：
因为，则
所以，设，因为，侧面为菱形，所以，
又因为，可得，--------------------6分

所以，因此为等腰三角形，
那么也为等腰三角形，取的中点，连接，则为二面角的平面角， …………8分
在中，可得 …………10分

所以
所以，二面角的余弦值为. …………12分

20． 解:(1)由题意可得，，又，………2分
解得，.
所以，椭圆的方程为. ………………4分
(2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.
设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.
设，，定点.(依题意
则由韦达定理可得，，. ……………… 6分
直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数.
所以，，即得. …………… 8分
又，，
所以，，整理得，.
从而可得，，……… 10分
即，
所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立. 特别地，当直线为轴时，也符合题意. 综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称. ……… 12分
21.解:(1)函数的定义域为.
由题意，.
（i）若，则，于是，当且仅当时，，所以在单调递减. ……… 1分

（ii）若，由，得或，
当时，；
当时，；
所以在单调递减，单调递增.
……… 3分
（iii）若，则，
当时，；当时，；
所以在单调递减，单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，上单调递增；
当时，函数在上单调递减，上单调递增.……… 5分
（2）由（1）知，有两个极值点当且仅当， ………… 6分
由于的两个极值点满足，所以，则，
由于
.
……… 8分
设.
.
当时，，所以. ……… 10分
所以在单调递减，又.
所以，即. ……… 12分
22．解：（1）由得，
所以曲线的方程为， …………………………………2分
设曲线上任意一点，变换后对应的点为，
则 即 …………………………4分
代入曲线的方程中，整理得,
所以曲线的直角坐标方程为； …………………………5分
（2） 设，则到直线：的距离为，
………………………7分
其中为锐角，且，………………………9分
当时，取得最大值为，
所以点到直线l距离的最大值为． …………………………10分
23．解：（1）不等式，即………………………1分
等价于 或或 …………………3分
解得 ，
所以原不等式的解集为； …………………………5分
（2）当时，不等式，即，
所以在上有解， …………………………7分
即在上有解， …………………………9分
所以，． …………………………10分
10