幂函数导学案(1).doc

§2.3 幂函数

学习目标
1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质；
2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.

学习过程
任务一、课前准备
（预习教材P77~ P79，找出疑惑之处）
复习1：求证在R上为奇函数且为增函数.

复习2：1992年底世界人口达到54.8亿，若人口年平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿），写出：
（1）1993年底、1994年底、2000年底世界人口数；
（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．

任务二、新课导学
探究任务一：幂函数的概念
问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？
（1）边长为的正方形面积，是的函数；
（2）面积为的正方形边长，是的函数；
（3）边长为的立方体体积，是的函数；
（4）某人内骑车行进了1，则他骑车的平均速度，这里是的函数；
（5）购买每本1元的练习本本，则需支付元，这里是的函数.

新知
1、幂函数的概念：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.

试一试：判断下列函数哪些是幂函数.
① ；②；③；④.

探究任务二：幂函数的图象与性质
问题：作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．

从图象分析出幂函数所具有的性质.

观察图象，总结填写下表：

常见幂函数的性质
说明：
② 除函数外，其余四个幂函数具有奇偶性
②在第一象限内，函数的图像向上与轴无限接近，我们称轴轴为渐近线
结合以上特殊幂函数的图像得出
一般幂函数的性质
（1）所有幂函数在上都有定义，并且图像都通过点
（2）若，则幂函数的图像都过原点，并且在区间上为增函数
（3）若则幂函数的图像在区间上是减函数，在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图像在轴右方无限地逼近轴，当趋向于时，图像在轴上方无限地逼近轴
（4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数

例1、已知幂函数，求的值

例2、已知函数为何值时，是：
（1）正比例函数（2）反比例函数（3）二次函数（4）幂函数

例3． 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．

2、幂函数的定义域和值域
所有幂函数的定义域和值域的求法分为五种情况
（1）时，的定义域为，值域为
（2）为正整数时，的定义域为，为偶数时，值域为,为奇数时，值域为
（3）为负整数时，的定义域为，为偶数时，值域为，为奇数时，值域为
（4）当为正分数时，化为，根据的奇偶性求解
（5）当为负分数时，化为，根据的的奇偶性求解
例4、（1）函数的定义域是 ，值域是 ；
（2）函数的定义域是 ，值域是 ；

练1（1）函数的定义域是 ，值域是 ；
（2）函数的定义域是 ，值域是 ；

练2、幂函数①，②，③，④，⑤，其中定义域为 的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．④⑤

例5．设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的所有α值为(　　)
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3

3、 幂函数的单调性和奇偶性
（1）幂函数的单调性：在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数
（2）幂函数的奇偶性：令（其中、互质，、）
当为奇数，则的奇偶性取决于是奇数还是偶数.当是奇数时，则是奇函数；当是偶数时，则是偶函数
当为偶数，则必是奇数，此时既不是奇函数，也不是偶函数
例6、若当时，幂函数为减函数，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．

例7、已知函数为偶函数，且
（1） 求的值，并确定的解析式
（2） 若在上为增函数，求实数的取值范围

例8、已知幂函数为偶函数，且在区间上市减函数
（1）求函数的解析式
（2）讨论的奇偶性

练3、下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是非奇非偶函数 D．是非奇非偶函数

构造幂函数比较两个幂值得大小
比较两个幂值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同而底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数、指数函数的单调性或借助于函数的图像来比较
例9、比较下列各组数大小：
（1） （2） （3）

练4、比较下列各组数大小：
（1） （2）
（3），，

练5、若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．

任务三、课后作业
第一题、选择题
1．在函数y＝2x3，y＝x2，y＝x2＋x，y＝x0中，幂函数有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.y＝x2与y＝x0是幂函数．
2 ．若幂函数在上是增函数，则（ ）.
A．>0 B．<0
C．=0 D．不能确定
3．函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
4．使(3－2x－x2)－有意义的x的取值范围是(　　)
A．R B．x≠1且x≠3
C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1
解析：选C.(3－2x－x2)－＝，
∴要使上式有意义，需3－2x－x2＞0，
解得－3＜x＜1.
解析：选A.m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2，再把m＝－1和m＝2分别代入m2－2m－3＜0，经检验得m＝2.
5. 若，那么下列不等式成立的是（ ）.
A．<l< B．1<<
C．<l< D．1<<
6．函数的图象是（ ）.

A. B. C. D.
7．函数y＝(x＋4)2的递减区间是(　　)
A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(－∞，4)
解析：选A.y＝(x＋4)2开口向上，关于x＝－4对称，在(－∞，－4)递减．
8．给出四个说法：
①当n＝0时，y＝xn的图象是一个点；
②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)；
③幂函数的图象不可能出现在第四象限；
④幂函数y＝xn在第一象限为减函数，则n＜0.
其中正确的说法个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B.显然①错误；②中如y＝x－的图象就不过点(0,0)．根据幂函数的图象可知③、④正确，故选B.
第二题、填空题
9. 已知幂函数的图象过点，则它的解析式为 .
10．比较下列两组数的大小：
（1）； （2）.
11．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．
解析：∵0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，∴y＝xα在(0，＋∞)为减函数．
答案：α＜0
第三题、解答题
12．求函数y＝(x－1)－的单调区间．
解：y＝(x－1)－＝＝，定义域为x≠1.令t＝x－1，则y＝t－，t≠0为偶函数．
因为α＝－＜0，所以y＝t－在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．又t＝x－1单调递增，故y＝(x－1)－在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增．
13．已知(m＋4)－＜(3－2m)－，求m的取值范围．
解：∵y＝x－的定义域为(0，＋∞)，且为减函数．
∴原不等式化为，
解得－＜m＜.
∴m的取值范围是(－，)．

14．已知幂函数y＝xm2＋2m－3(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，求y的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．
解：由幂函数的性质可知
m2＋2m－3＜0⇒(m－1)(m＋3)＜0⇒－3＜m＜1，
又∵m∈Z，∴m＝－2，－1,0.
当m＝0或m＝－2时，y＝x－3，
定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵－3＜0，
∴y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，
又∵f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，
∴y＝x－3是奇函数．
当m＝－1时，y＝x－4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f(－x)＝(－x)－4＝＝＝x－4＝f(x)，
∴函数y＝x－4是偶函数．
∵－4＜0，∴y＝x－4在(0，＋∞)上是减函数，
又∵y＝x－4是偶函数，
∴y＝x－4在(－∞，0)上是增函数．
任务四、巩固训练
第一题、选择题
1．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，)，则f(4)的值为(　　)
A．16 B. C. D．2
解析：选C.设f(x)＝xn，则有2n＝，解得n＝－，
即f(x)＝x－，所以f(4)＝4－＝.
2．下列幂函数中，定义域为{x|x＞0}的是(　　)
A．y＝x B．y＝x C．y＝x－ D．y＝x－
解析：选D.A.y＝x＝，x∈R；B.y＝x＝，x≥0；C.y＝x－＝，x≠0；D.y＝x－＝，x＞0.
3．函数和图象满足 （ ）
A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称
4．函数在区间上的最大值是 （ ）
A． B． C． D．
5．设T1＝，T2＝，T3＝，则下列关系式正确的是 (　 　)
A．T1<T2<T3 B．T3<T1<T2 C．T2<T3<T1 D．T2<T1<T3

6.幂函数在第一象限内的图象依次是图中的曲线（ ）

A. B.
C. D.

7. 下列函数在上为减函数的是（ ）
A. 　B. 　　C. 　　　D.
答案：Ｂ
8．幂函数f(x)＝xα满足x＞1时f(x)＞1，则α满足条件(　　)
A．α＞1 B．0＜α＜1
C．α＞0 D．α＞0且α≠1
解析：选A.当x＞1时f(x)＞1，即f(x)＞f(1)，f(x)＝xα为增函数，且α＞1.
解析：选D.y＝x＝，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．
9.当x∈（1，＋∞）时，函数）y＝的图象恒在直线y＝x的下方，则a的取值范围是 （　A　）
　　A、a＜1 B、0＜a＜1 C、a＞0 D、a＜0
10．若点在幂函数的图象上，则下列结论中不能成立的是 ( B )
A． B． Ｃ． D．
第二题、填空题
11．函数的定义域为________．
解析：，∴x<1.
答案：(－∞，1)
12．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若n>n，则n＝____－1,2____.
13．是偶函数，且在是减函数，则整数的值是 5 .

14．设x∈(0,1)时，y＝xp(p∈R)的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．
解析：结合幂函数的图象性质可知p<1.
答案：p<1
15．已知函数f(x)＝xα (0＜α＜1),对于下列命题：
① 若x＞1,则f(x)＞1； ② 若0＜x＜1,则0＜f(x)＜1;
③ 若f(x1)＞f(x2),则x1＞x2； ④ 若0＜x1＜x2,则.
其中正确的命题序号是 _① ② ③ _______.
第三题、解答题
16．已知幂函数f（x）＝（p∈Z）在上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数f（x）

17．函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．
解：根据幂函数的定义得：m2－m－5＝1，
解得m＝3或m＝－2，
当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m＝3.
18．已知幂函数，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则该幂函数的解析式是什么？奇偶性如何？单调性如何？

解：　由于为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2，或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3，在(0，＋∞)上为减函数；
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1(x≠0)在(0，＋∞)上为常函数，不合题意，舍去．
故所求幂函数为y＝x－3.这个函数是奇函数，其定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，根据函数在
x∈(0，＋∞)上为减函数，推知函数在(－∞，0)上也为减函数。

19．已知点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，当为何值时：
； ； ．

解: 根据幂函数的概念，利用待定系数法求出幂函数的解析式，再结合图象确定满足条件的x的取值范围．
设f(x)＝xα，则()α＝2，得＝2，所以f(x)＝x2；同理可得g(x)＝x－1.
在同一直角坐标系内作出函数 的图象(如图所示)，
(1)当x<0或x>1时，f(x)>g(x)； (2)当x=1时，f(x)=g(x)；
(3)当0<x<1时，f(x)<g(x)．

20．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足 的 的取值范围．

解:　∵函数y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数，∴p－3<0，即p<3，又∵p∈N*，∴p＝1，或p＝2.
∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，∴p－3是偶数，∴取p＝1，即y＝x－2，
由， ∵函数在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴由，得 即. ∴所求的取值范围是(－4，＋∞)．

21．一个幂函数y＝f (x)的图象过点(3, ),另一个幂函数y＝g(x)的图象过点(－8, －2),
(1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函数的图象，观察得f (x)< g(x)的解集.
解（1）设f (x)＝xa, 将x＝3, y＝代入，得a＝, ；
设g(x)＝xb, 将x＝－8, y＝－2代入，得b＝,；
（2）f (x)既不是奇函数，也不是偶函数；g(x)是奇函数；（3） (0,1)

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