2016年高中数学多元函数求最值问题专题.doc

多元函数求最值问题
一.【问题背景】
多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。同时，多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法，而且有利于培养学生联想、化归的解题能力。因此，怎样求多元函数的最值，是师生们非常关注和必须解决的问题，也是高考考生们必须具备的解题技能。
二.【常见的方法】
导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元 三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等
主要思想方法：数形结合、化归思想等
三.【范例】
例1：已知实数满足，且，则的最小值为 。
方法一 因为，所以

当且仅当取等号，故的最小值
【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数，再用单调性或基本不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行。
方法二 利用不等式，引证：
记向量，因为
所以 ，则
【评注】在求有些多元函数的最值时，恰当构造向量模型，利用向量数量积的性质，常可使复杂问题变得简单明了，使繁琐的解题显得巧妙自然。
方法三 因为 ，所以
又因为
当且仅当取等号
【评注】该解法利用条件将不等式放缩后，通过消元，转化为一元函数，再用基本不等式求解。
方法四 因为 ，
所以 ，其中
记 ，
因为 ，令 ，得
由于 在上递减，在上递增
故 ，
所以 的最小值
【评注】该解法充分体现了数学中的消元思想，将二元函数的最值转化为一元函数的最值，从而利用导数研究函数最值，但在处理过程中充分考虑变量的取值范围，否则容易出错。
例2： 已知任意非零实数x，y满足3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立，则实数λ的最小值为____．
方法一：依题可得
因为均不为，故，所以
【评注】关注各项系数，直接利用基本不等式放缩，构思巧妙。
方法二：因为均不为，所以
令，则 ，记 ，由导数法可知
因为 ，所以
【评注】利用消元思想，转化为函数最值，用导数法解决，是通解通法。
方法三：因为 所以
当时，则 显然不成立
当时，同除得
故 解得
【评注】利用消元思想，转化为不等式恒成立问题，通过“”法解决，但此法局限于二次问题。
变式练习：对于一切正数恒成立，则实数的最小值为 。
例3：设实数满足，则的最小值为 。
方法一：因为 所以

故 的最小值为
【评注】根据条件进行放缩，利用配方法解决问题。
方法二：因为 所以
又因为 故

故 的最小值为
【评注】根据条件进行放缩，关注到基本不等式，同时有整体配方思想。
方法三：换元法 令

故 的最小值为
【评注】通过换元，利用三角函数的有界性解决问题。
变式练习：已知R，且，则的最大值是 。
例4：已知正实数满足，则的最大值为 .
方法一：利用不等式可得
，则 的最大值为
【评注】直接利用基本不等式解决问题。
方法二：由 可得 ，则
因为 ，此两处取号时均为
故
【评注】两次运用基本不等式，注意等号成立的条件。
方法三：因为
由 可得 ，则 ，
所以 的最大值为
方法四：令 ，则
令 ，则
于是 ，
由于函数在区间上递增，故当时，取最大值

四．巩固练习
1.设实数，若不等式对任意都成立，则的最小值为 .
2．已知，则的最小值为 。
3.已知 ，则的最小值为___________。
4.已知是等差数列，若，则的最大值是 ．25
5．的三边长分别为，并满足，记，则的取值范围是 。

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