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函数零点问题典例（含答案）1、(1)求函数f(x)2x2的零点；(2)已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点求实数a和b的值；设函数g(x)的导函数g(x)f(x)2，求函数g(x)的极值点2、(1)判断函数f(x)2xlg(x1)的零点个数；(2)已知函数f(x)x22ext1，g(x)x(x0)若函数g(x)m有零点，求实数m的取值范围；确定实数t的取值范围，使得关于x的方程g(x)f(x)0有两个相异实根3、已知函数f(x)2xln(1x)，讨论函数f(x)在定义域内的零点个数4、已知函数f(x)x22mx2m1.(1)若函数f(x)的两个零点x1，x2满足x1(1,0)，x2(1,2)，求实数m的取值范围；(2)若关于x的方程f(x)0的两根均在区间(0,1)内，求实数m的取值范围5、已知函数f(x)x，h(x). (1)设函数F(x)18f(x)x2h(x)2，求函数F(x)的单调区间与极值；(2)设aR，解关于x的方程log4log2h(ax)log2h(4x)6、已知函数f(x)(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若关于x的方程kf(x)1恰有3个不同的根，求实数k的取值范围1、 (1)求函数的零点，即求方程2x20的根(2)导数值为0且使导函数左右异号的点是极值点极值点一定是导函数的零点【解析】(1)令2x20，由2x0，方程两边同时乘以2x，得(2x)222x10.由一元二次方程的求根公式，得2x1.由2x0，知2x1.函数f(x)2x2的零点是xlog2(1)(2)由题设，知f(x)3x22axb且f(1)32ab0，f(1)32ab0.解得a0，b3.由(1)，得函数f(x)x33x.f(x)2(x1)2(x2)方程g(x)0的根是x1x21，x32.函数g(x)的极值点只可能是1或2.当x2时，g(x)0，当2x0，2是极值点又当2x1时，g(x)0，故1不是极值点函数g(x)的极值点是2.【点评】含指数式和对数式的方程常用换元法向常规方程转化，解二次方程的常用方法是因式分解和求根公式注意导数的零点的意义2、 (1)直接解方程f(x)0有困难，可以作出函数y2x及ylg(x1)的图象，还可以用判定定理(2)画出函数图象，结合最值与交点情况求解【解析】(1)方法一：令f(x)0，得2xlg(x1)，作出函数y2x及ylg(x1)的图象(如图2161)，可知有一个交点函数f(x)的零点有且只有一个方法二：首先x1，在区间(1，)上2x是减函数，lg(x1)也是减函数，函数f(x)在区间(1，)上为减函数且连续f(0)20lg 110, f(9)29lg 1010，f(0)f(9)0.函数f(x)在区间(1，)上有唯一零点(2)x0，g(x)x22e.当且仅当xe时取等号函数g(x)的值域是2e，)，要使函数g(x)m有零点，则只需m2e.若关于x的方程g(x)f(x)0有两个互异的实根，即函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x(x0)的图象(如图2162)3、【解析】函数f(x)的定义域为x|x1且函数f(x)在定义域内的图象是连续的f(x)2(x1)令f(x)0, 得x.当x时， f(x)0；当x1时，f(x)0函数f(x)在区间内为增函数，在区间内为减函数当x时， 函数f(x)有最大值f1ln1ln 20.又f(2)4ln 30, f(2)f0.函数f(x)在区间内有唯一零点，即在区间内有唯一零点又f(1e10)2(1e10)ln(11e10)82e100，f(1e10)f0.函数f(x)在区间内有唯一的零点，即在区间内有唯一零点函数f(x)在区间(，1)内有且只有两个零点4、【解析】(1)根据函数f(x)的图象，得化简，得m.5、【解析】(1)函数F(x)18f(x)x2h(x)2x312x9(x0)，F(x)3x212.令F(x)0，得x2(x2舍去)当x(0,2)时，F(x)0；当x(2，)时，F(x)0.故当x0,2)时，函数F(x)为增函数；当x2，)时，函数F(x)为减函数故x2为函数F(x)的极大值点且F(2)824925. (2)方法一：原方程可化为log4(x1)log2log2log2且当a1时，方程无意义，即方程无解当1a4时，1x0，x3.此时方程仅有一解x3.若4a0，方程有两解x3；若a5，则0，方程有一解x3；若a5，则0，方程无解综上，当a1或a5时，方程无解；当1a4时，方程有一解x3；当4a4时，1x4，由x1，得x26xa40.364(a4)204a.6、【解析】函数f(x)的定义域为(，0)(0，)(1)当x0时，x0，f(x)xln x，f(x)xln x，f(x)f(x)当x0时，x0，f(x)xln(x), f(x)xln(x)，f(x)f(x)f(x)是奇函数(2)当x0时， f(x)xln x，f(x)ln xxln x1.令f(x)0，得0x.当x时， f(x)为减函数令f(x)0，得x.当x时， f(x)为增函数又f(x)为奇函数，当x时， f(x)为减函数；当x时， f(x)为增函数函数f(x)的单调减区间为和，单调增区间为和(3)原方程等价于f(x)，考察函数f(x)的图象变化，由(2)，知当x 时， f(x)由0递减到f，当x时， f(x)由f递增到，当x时， f(x)由递增到f，当x， f(x)由f递减到0. 方程f(x)恰有3个不同的根，函数f(x)的图象与函数y的图象应有3个不同的交点0或0.ke或ke.【点评】本题关键是研究好函数的奇偶性、单调性，才能较好地利用数形结合法研究方程的根的个数问题