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函数零点问题典例（含答案）

1、(1)求函数f(x)＝2x－－2的零点；
(2)已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
①求实数a和b的值；
②设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求函数g(x)的极值点．

2、(1)判断函数f(x)＝2－x－lg(x＋1)的零点个数；
(2)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋(x>0)．
①若函数g(x)－m有零点，求实数m的取值范围；
②确定实数t的取值范围，使得关于x的方程g(x)－f(x)＝0有两个相异实根
3、已知函数f(x)＝2x＋ln(1－x)，讨论函数f(x)在定义域内的零点个数．

4、已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1.
(1)若函数f(x)的两个零点x1，x2满足x1∈(－1,0)，x2∈(1,2)，求实数m的取值范围；
(2)若关于x的方程f(x)＝0的两根均在区间(0,1)内，求实数m的取值范围．

5、已知函数f(x)＝x＋，h(x)＝. (1)设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求函数F(x)的单调区间与极值；
(2)设a∈R，解关于x的方程log4＝log2h(a－x)－log2h(4－x)．

6、已知函数f(x)＝
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若关于x的方程kf(x)＝1恰有3个不同的根，求实数k的取值范围．

1、
(1)求函数的零点，即求方程2x－－2＝0的根．
(2)导数值为0且使导函数左右异号的点是极值点．极值点一定是导函数的零点．
【解析】
(1)令2x－－2＝0，
由2x>0，方程两边同时乘以2x，
得(2x)2－2×2x－1＝0.
由一元二次方程的求根公式，得2x＝1±.
由2x>0，知2x＝1＋.
∴函数f(x)＝2x－－2的零点是x＝log2(1＋)．
(2)①由题设，知f′(x)＝3x2＋2ax＋b且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，
f′(1)＝3＋2a＋b＝0.解得a＝0，b＝－3.
②由(1)，得函数f(x)＝x3－3x.∴f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)．
∴方程g′(x)＝0的根是x1＝x2＝1，x3＝－2.
∴函数g(x)的极值点只可能是1或－2.
当x<－2时，g′(x)<0，当－2<x<1时，g′(x)>0，
∴－2是极值点．
又当－2<x<1或x>1时，g′(x)>0，故1不是极值点．
∴函数g(x)的极值点是－2.
【点评】含指数式和对数式的方程常用换元法向常规方程转化，解二次方程的常用方法是因式分解和求根公式．注意导数的零点的意义．
2、
(1)直接解方程f(x)＝0有困难，可以作出函数y＝2－x及y＝lg(x＋1)的图象，还可以用判定定理．
(2)画出函数图象，结合最值与交点情况求解．

【解析】
(1)方法一：令f(x)＝0，得2－x＝lg(x＋1)，作出函数y＝2－x及y＝lg(x＋1)的图象(如图2－16－1)，可知有一个交点．∴函数f(x)的零点有且只有一个．

方法二：
首先x＞－1，在区间(－1，＋∞)上2－x是减函数，－lg(x＋1)也是减函数，
∴函数f(x)在区间(－1，＋∞)上为减函数且连续．
∵f(0)＝20－lg 1＝1＞0, f(9)＝2－9－lg 10＝－1＜0，
∴f(0)f(9)＜0.
∴函数f(x)在区间(－1，＋∞)上有唯一零点．

(2)①∵x>0，∴g(x)＝x＋≥2＝2e.
当且仅当x＝e时取等号．
∴函数g(x)的值域是[2e，＋∞)，要使函数g(x)－m有零点，则只需m≥2e.
②若关于x的方程g(x)－f(x)＝0有两个互异的实根，即函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋(x>0)的图象(如图2－16－2)．

3、【解析】函数f(x)的定义域为{x|x＜1}且函数f(x)在定义域内的图象是连续的．
f′(x)＝2＋＝(x＜1)．
令f′(x)＝0, 得x＝.
当x＜时， f′(x)＞0；当＜x＜1时，f′(x)＜0
∴函数f(x)在区间内为增函数，在区间内为减函数．
∴当x＝时， 函数f(x)有最大值f＝1＋ln＝1－ln 2＞0.
又f(－2)＝－4＋ln 3＜0,
∴f(－2)f＜0.
∴函数f(x)在区间内有唯一零点，即在区间内有唯一零点．
又f(1－e－10)＝2(1－e－10)＋ln(1－1＋e－10)＝－8－2e－10＜0，
∴f(1－e－10)f＜0.
∴函数f(x)在区间内有唯一的零点，即在区间内有唯一零点．∴函数f(x)在区间(－∞，1)内有且只有两个零点．
4、【解析】
(1)根据函数f(x)的图象，

得
化简，得－＜m＜－.
5、【解析】
(1)函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2＝－x3＋12x＋9(x≥0)，∴F′(x)＝－3x2＋12.
令F′(x)＝0，得x＝2(x＝－2舍去)．
当x∈(0,2)时，F′(x)>0；当x∈(2，＋∞)时，F′(x)<0.
故当x∈[0,2)时，函数F(x)为增函数；当x∈[2，＋∞)时，函数F(x)为减函数．
故x＝2为函数F(x)的极大值点且F(2)＝－8＋24＋9＝25.
(2)方法一：原方程可化为log4(x－1)＝log2－log2＝log2且
当a≤1时，方程无意义，即方程无解．

当1<a≤4时，1<x<a，由x－1＝， 得x2－6x＋a＋4＝0.
Δ＝36－4(a＋4)＝20－4a>0，x＝＝3±.
此时方程仅有一解x＝3－.若4<a<5，则Δ>0，方程有两解x＝3±；
若a＝5，则Δ＝0，方程有一解x＝3；
若a>5，则Δ＜0，方程无解．
综上，当a≤1或a>5时，方程无解；
当1<a≤4时，方程有一解x＝3－；
当4<a<5时，方程有两解x＝3±；
当a＝5时，方程有一解x＝3.

当a>4时，1<x<4，由x－1＝，得x2－6x＋a＋4＝0.
Δ＝36－4(a＋4)＝20－4a.

6、【解析】
函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(1)当x＞0时，－x＜0，
∵f(x)＝xln x，f(－x)＝－xln x，
∴f(－x)＝－f(x)．
当x＜0时，－x＞0，
f(x)＝xln(－x), f(－x)＝－xln(－x)，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．(2)当x＞0时， f(x)＝xln x，
f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1.
令f′(x)＜0，得0＜x＜.∴当x∈时， f(x)为减函数．
令f′(x)＞0，得x＞.∴当x∈时， f(x)为增函数．
又f(x)为奇函数，
∴当x∈时， f(x)为减函数；当x∈时， f(x)为增函数．
∴函数f(x)的单调减区间为和，
单调增区间为和(3)原方程等价于f(x)＝，考察函数f(x)的图象变化，由(2)，
知当x∈ 时， f(x)由0递减到f＝－，
当x∈时， f(x)由f递增到＋∞，
当x∈时， f(x)由－∞递增到f＝，
当x∈， f(x)由f递减到0. ∵方程f(x)＝恰有3个不同的根，
∴函数f(x)的图象与函数y＝的图象应有3个不同的交点．
∴－＜＜0或0＜＜.
∴k＜－e或k＞e.
【点评】本题关键是研究好函数的奇偶性、单调性，才能较好地利用数形结合法研究方程的根的个数问题．