第八章第4节三元一次方程组解法举例.doc

年 级
初一
学 科
数学
版 本
人教新课标版
课程标题
第八章 第4节 三元一次方程组解法举例
编稿老师
巩建兵
一校
林卉
二校
黄楠
审核
王百玲

一、学习目标：
1。 理解三元一次方程组的含义，会解简单的三元一次方程组；
2。 掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路;
3. 深刻体会消元思想，灵活求解二元一次方程组.

二、重点、难点：
重点:掌握简单三元一次方程组的解法。
难点：针对方程组的特点,灵活选用解法。

三、考点分析：
中考对三元一次方程组的考查不是重点，直接考查的题目并不多见，但有些综合性题目，如一些应用题、几何型综合题,特别是今后要学习的求二次函数的表达式，常用到三元一次方程组这一有利工具，同学们应给予足够重视。

1。 三元一次方程组
含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。
2。 三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入"或“加减"进行消元，把“三元”转化为“二元",使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。

如：解方程组。方法一：由②得：x＝y＋1 ④,把④分别代入①、③得；方法二：由③－①得：x－2y＝－8 ④，把②、④组成方程组;方法三：由①＋②－③得：y＝9，把y＝9代入②得:x＝10,把x＝10、y＝9代入①得：z＝7.
3. 解方程组的数学思想
解方程组的基本思想是消元,消元有两种常用方法：代入消元法和加减消元法.除此之外，还有一些数学思想方法，如整体代入法、换元法、设参数法等也可以达到消元的目的或简化求解过程.

知识点一:三元一次方程组的解法
例1：解方程组
思路分析:
1）题意分析：这个方程组的三个方程都含有四项，不适合用代入法。
2）解题思路：y的系数比较简单，可选择消去y，转化为关于x、z的二元一次方程组.
解答过程:由①＋②得，5x－z＝14 ④，
①＋③得，4x＋3z＝15 ⑤，
把④、⑤组成方程，解之得。
把x＝3，z＝1代入③，得y＝8.
所以原方程组的解是。
解题后的思考：解三元一次方程组的关键是要先观察各方程的特点,灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元。

例2：有这样一道数学题，在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时y＝1；当x＝3时y＝9；当x＝5时y＝5。请你列出关于a、b、c的方程组,并求出a、b、c的值。
思路分析：
1）题意分析：求三个未知数的值，如果用方程组求解,需要三个方程.
2）解题思路：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x,y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组。
解答过程：根据题意得三元一次方程组
由②－①得：4a＋b＝4 ④，
由③－①得:6a＋b＝1 ⑤，
把方程④和方程⑤组成二元一次方程组.
解之得：。
把a＝－，b＝10代入①，得：c＝－。
所以a＝－，b＝10，c＝－。
解题后的思考：用加减消元法时，尽量用较大系数的方程减去较小系数的方程,用正系数方程减去负系数方程。

例3:某三位数是它各位数字之和的27倍,已知百位数字与个位数字之和比十位数字大1，再把这个三位数的百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的三位数,新的三位数比原三位数大99，求原三位数。
思路分析：
1）题意分析：求原三位数,实际上就是求原三位数各位上的数字，共三个。
2)解题思路:解答此题的关键是能够正确地用式子把每一个数表示出来，如该三位数可表示为100a＋10b＋c，a、b、c分别表示百位数字、十位数字、个位数字,然后根据题意列出三元一次方程组即可求解。
解答过程：设a、b、c分别为百位、十位、个位上的数字,
那么这个三位数可表示为100a＋10b＋c，
依题意得：。
解得。故原三位数为243。
解题后的思考：用三元一次方程组解决实际应用问题和用二元一次方程组求解类似,只是未知数的个数是3个，要找到三个相等关系,列三个方程.
小结:解三元一次方程组时,首先要消去一个未知数,化三元为二元，再解二元一次方程组.消元时不要盲目地消，应认真分析每个未知数系数的特点，从而选择合适的消元法。策略一:若方程组中某个方程缺少某个元，则可从另外两个方程中消去这个元，如例3；策略二:若三个方程中均未缺元，但同一未知数系数的绝对值相等或成倍数关系，则消这个元，如例1和例2；策略三：非上述情况时，哪个未知数系数的绝对值的最小公倍数最小就消哪个元；策略四：特殊方程组要灵活处理，如的消元方法有多种。

知识点二：二元一次方程组的特殊解法
(一）整体代入法
例4：解方程组。
思路分析：
1）题意分析：此方程组中第一个方程有分母，故应先化简，再考虑解法.
2)解题思路：将原方程组变形后得到，可直接使用加减消元法，但4x－3y＝2x－3y＋2x，如果把2x－3y＝1代入其中可得1＋2x＝－5，也能达到消元的目的。
解答过程:原方程组可变形为,
继续变形为，
把②代入①得：1＋2x＝－5，解得x＝－3，
把x＝－3代入②得2×（－3）－3y＝1，解得y＝－，
所以原方程组的解为。
解题后的思考：整体代入法的适用对象：方程组的两个方程中含有相同的部分或变形后含有相同的部分。注意:如果变形过程过于复杂，不宜使用此法.

（二）设参数代入法
例5:解方程组
思路分析：
1)题意分析:这个方程组的特点是：方程②中含有未知数的项是比例形式.
2）解题思路：由方程②知，如果设其比值为k，那么x＝4k，y＝3k，将其代入方程①，就可以转化为关于k的一元一次方程.
解答过程：设＝＝k,则x＝4k，y＝3k，将其代入①得：
4k－9k＝2，解得k＝－，则x＝4k＝－，y＝3k＝－，
所以原方程组的解为.
解题后的思考：设参数代入法的适用对象:未知数成比例.如本题中的＝，若本题含有其他的项，如改成＝－1，那么这种方法就不适用了.

（三）换元法
例6：解方程组.
思路分析：
1）题意分析:这个方程组的特点是:除x＋y和x－y外再也没有其他的含未知数的项了。
2)解题思路：把x＋y作为一个整体用a代替,把x－y作为一个整体用b代替，可把原方程组转化为关于a、b的方程组.
解答过程：设x＋y＝a，x－y＝b，则原方程组可变形为：
，解得，即。
解这个方程组，得：，
所以原方程组的解是。
解题后的思考：换元法的适用对象：方程组的两个方程中含有相同的部分，或变形后含有相同的部分，并且能够以整体的形式把原未知数全部替换成两个新未知数，这种方法不同于整体代入法，整体代入法只能替换部分未知数。

（四）简化系数法
例7：解方程组.
思路分析：
1）题意分析：这个方程组的特点是：x的系数、y的系数、常数项三者的绝对值的和相等，绝对值的差也都相等。
2）解题思路:方程①②相加化简得x－y＝1,方程①②相减化简得x＋y＝－1，组成方程组，虽然没有消去某个未知数，但这个方程组很容易解。
解答过程:令①＋②得:7x－7y＝7，即x－y＝1 ③,
令①－②得：x＋y＝－1 ④，
由③、④得：,
解之得原方程组的解是.
解题后的思考：简化系数法的适用对象：x的系数、y的系数、常数项三者的绝对值的和相等，绝对值的差也都相等。亦即两个方程直接相加、相减能简化系数。

（五）先消常数法
例8:解方程组.
思路分析：
1）题意分析：这个方程组的两个方程都是标准形式，各项俱全.
2）解题思路：如果能够把常数项消去，就能用一个未知数表示另一个未知数,且不含常数项，再用代入法求解.
解答过程：令①×5得：20x＋15y＝15，所以20x＋15y＝3x－2y，
化简整理得：x＝－y ③，
把x＝－y代入①,解得：y＝－3，
把y＝－3代入③，得：x＝3,
所以原方程组的解为.
解题后的思考:先消常数法的适用对象：两个方程中都含有常数项，并且消去常数项后未知数的系数比较简单。如果一个方程含有常数项,而另一个方程不含常数项则不能使用此法.
小结：二元一次方程组的解法不一定是唯一的,我们在解题过程中，一定要根据具体题目的特征，选择恰当的方法去解方程组。

解三元一次方程组的基本思路是化多元为二元，化二元为一元，在这个过程中注意选择合适的消元方法。以上列举的三元一次方程组的解法只适用于少数方程组，对于多数方程组而言都不适用，不要因过分追求技巧，而弄巧成拙。但换元法、设参数代入法、整体代入法都是常用的数学解题方法，特别是在今后的学习中还会用到,应掌握这些思想方法的适用题型和基本步骤.

不等式（9。1）
一、预习新知
1、不等式及其解集。
2、不等式的性质。

二、预习点拨
探究与反思
探究任务一：不等式及其解集
【反思】（1）什么叫不等式，什么叫一元一次不等式？
（2）什么叫不等式的解，什么叫不等式的解集？
探究任务二：不等式的性质
【反思】(1）不等式有哪些性质？
（2)怎样解一元一次不等式？

(答题时间：60分钟)
一、选择题。
1。 下列说法正确的是( )
A。 二元一次方程只有一个解
B. 二元一次方程组有无数个解
C。 二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解
D. 三元一次方程组一定由三个三元一次方程组成
2。 解方程组时,较为简单的方法是（ ）
A。 代入消元法 B. 加减法 C。 试值法 D。 无法确定
3。 若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，那么x＋y＋z的值是( ）
A. 2 B。 3 C。 4 D。 5
4。 已知x＝3－k，y＝k＋2，则y与x的关系是( )
A。 x＋y＝5 B. x＋y＝1 C。 x－y＝1 D。 y＝x－1
5。 解方程组，若要使运算简便，消元的方法应选取（ ）
A. 先消去x B. 先消去y C。 先消去z D. 以上说法都不对
6. 方程组的解是（ ）
A. B. C。 D.
*7. 若方程组的解中x的值比y的相反数大1，则k为（ ）
A. 3 B。 －3 C. 2 D。 －2
＊*8。 三个二元一次方程2x＋5y－6＝0，3x－2y－9＝0,y＝kx－9有公共解的条件是k＝（ ）
A. 4 B. 3 C。 2 D. 1

二、填空题。
9. 在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2,则z＝__________。
10。 已知单项式－8a3x＋y－zb12cx＋y＋z与2a4b2x－y＋3zc6是同类项，则x＝__________，y＝__________,z＝__________。
11。 在△ABC中，∠A－∠C＝25°,∠B－∠A＝10°，则∠B＝__________。
＊12。 已知式子ax2＋bx＋c，当x＝－1时,其值为4；当x＝1时,其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时,其值为__________。
＊13。 若二元一次方程2x＋y＝3，3x－y＝2和2x－my＝－1有公共解，则m的取值为__________。
＊14。 已知关于x、y的方程组的解中x与y的值相等，则k＝__________。

三、解答题.
15. 解方程组：。

16. 用适当的方法解方程组。

17。 已知︱x－8y︱＋2（4y－1）2＋3︱8z－3x︱＝0，求x＋y＋z的值。

18. 一种饮料有大、中、小包装3种，1个中瓶比2个小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角。3种包装的饮料每瓶各多少元？

四、拓广探索。
＊＊19. 小明解方程组时，由于把c看错了，解方程组后，得到方程组的解为，而方程组正确的解为，你知道正确的方程组是什么吗?

一、选择题:
1。 C 2。 B 3。 D 4. A
5. D 解析：先消哪个都一样，最简便的解法是:①＋②得y＝8；①＋③得x＝6；②＋③得z＝3。
6。 D 解析：解法一：由①＋②＋③得x＋y＋z＝0 ④，令④－①得z＝1；④－②得y＝0；④－③得x＝－1。解法二：①＋②－③得x＝－1；①＋③－②得y＝0；②＋③－①得z＝1.
7. A 解析：因为x的值比y的相反数大1，所以x＝－y＋1，解得，把x＝2、y＝－1代入kx－(k－1）y＝8解得k＝3。
8. B 解析：由解得,把x＝3,y＝0代入y＝kx－9可解得k＝3。

二、填空题：
9. 4
10. 2，1，3 解析:由题意可得,解得。
11. 75° 解析：根据题意得，解出∠B＝75°.
12. 52 解析:由题意可得，解得,所以原式为5x2＋2x＋1，当x＝3时，原式＝52。
13。 3 解析:由解得,将其代入2x－my＝－1解得m＝3。
14. 11 解析:由题意，解得x＝y＝，将其代入kx＋（k－1）y＝3解得k＝11.

三、解答题：
15。 解：①×2＋②得3x－y＝13，③×2＋②得7x＋y＝9,把3x－y＝13和7x＋y＝9组成方程组，解得，把它代入x＋y－z＝6，解得z＝－10。2.所以原方程组的解是。
16. 解：解法一：（代入消元法）由②得x＝y ③,把③代入①得－＝2y，解得y＝，把y＝代入③得x＝。所以原方程组的解是。解法二：(加减消元法）原方程组可化为,则①＋②×2得:7x＝1，解得x＝，把x＝代入①得＋4y＝1，解得y＝，所以原方程组的解是.解法三：（设参数代入法)设＝＝k，则x＝2k，y＝3k,把x＝2k和y＝3k代入①得2k－＝6k，解得k＝。所以x＝，y＝。所以原方程组的解是。文档为个人收集整理，来源于网络
17。 解：由题意可知,解得,所以x＋y＋z＝3。
18. 解：设大、中、小包装的饮料每瓶分别为x元、y元、z元,则，解得。答:大包装饮料每瓶5元,中包装饮料每瓶3元，小包装饮料每瓶1。6元。

四、拓广探索:
19。 解:由于小明把c看错了,所以适合方程①，而不适合方程②,所以有2a＋2b＝2.方程组正确的解既适合方程①，也适合方程②,所以有3a－2b＝2和3c＋14＝8.由3c＋14＝8得c＝－2，所以方程②是－2x－7y＝8。由2a＋2b＝2和3a－2b＝2得,解之得。所以方程①是x＋y＝2。所以正确的方程组是。