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第八讲 函数的应用 答案

例1、解 令，则
＝
＝。
因为，则，则问题转化为求二次函数，的最值,利用图像易得:
当,即时，有最小值，最小值为4.
当，即时,有最大值，最大值为845.
评注:通过整体换元，把复杂的形式转化为较简单的二次函数形式，从而使问题得以解决。
例2、分析 直接去解方程组难度较大，通过观察发现方程组的两个式子有相同的形式,则通过构造函数来完成。
解 原方程组可化为，设，则在
上是单调递增,且是奇函数，又,则有即，所以。
评注：利用函数的单调性来解方程，是竞赛中常用的解题技巧.
例3、解 设，则，代入原式得,即,有。考察函数，易知函数在定义域范围内是减函数，又因为，所以，即，故。因此不等式的整数解为。
评注: 本题通过换元将原不等式转化为的形式,再通过函数的单调性求得共解。这种方法在求有关指数和对数不等式时常用。
例4、分析 所要证明的式子等介于证明，由此结构联想到二次函数的判别式，则构造函数，下面只要证明函数恒为非负。
证明 作二次函数,则由条件得：
，配方得：
，即有对任意的R，，所以，即。故不等式成立。
评注：在证明过程中，充分体现了“1”的妙用，另外本题的配方技巧较高，望同学细细体会。
例5、解 设函数，则根据题意和函数的图像得：

,当且仅当时取到等号。另有
，当且仅当时到到等号。所以的取值范围为。
评注：在求范围时，我们把,，分别看作一个整体来处理,如先求的范围，再算，这样往往会把范围扩大。
例6、解 因为在时取得最小值，设函数
。（1）由条件代入上式得，，所以
。
（2）由上知，则把代入条件③,得对任意实数都成立，分别令和，有，由此求得。
评注： 条件中,由于是一个未知的任意多项式,通常考虑的方法有两种:（1)取为一些特殊的多项式；（2）使的值为零，从而使条件中的不再发生“作用”。本题中就是令和,使条件成为与无关，从而求得。
例7、解 （1）由题意得，则或。即函数的不动点为－1，3。
(2）要使函数恒有两个相异的不动点,即满足
，则，整理得对任意的恒成立。即，解得。
(3）由题意设，，则，。所以直线方程为，又的中点在直线上，又由韦达定理得
。即，当且仅当时取等号,即，故的最小值为.
评注:本题巧妙的利用了不动点的几何性质，得到直线的方程为，再由韦达定理求出了的解析式，进而用均值不等式求出最值。
例8、解 设｜DA｜＝(千米），铁路每吨千米运费为3，公路每吨千米运费为5，从B到C的总运费为,则依题意得
即，令，则有，
两边平方整理得 .由
得，又因为,所以。将代入方程，解得。此时为最小，相应的也取到最小值。即D点选在距A点15千米处，此时运费最少。
例9、解 （1)根据函数的图像得
(2）设第二次服药时在第一次服药后小时,则，解得＝3（小时），因而第二次服药应在10：00。设第三次服药进在第一次服药后小时，此时血液中含药量应为两次服药后的含药量之和,即有
解得＝7小时，即第三次服药应在14：00。设第四次服药时在第一次服药后小时，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次之和,即有
解得小时，故第四次服药应在
17:30.所以12小时内服药四次，时间分别为：7：00，10：00，14：00，17：30,这样疗效最佳。
评注：利用函数的知识解实际问题，这是一个重点，它的一般解题步骤为：
①审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系;
②建模 将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型；
③解模 求解数学模型，得出数学结论；
④还原 将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义.
例10、证明 记,，则,且是偶函数，奇函数，对任意的R，,.
令，，
,，其中为任意整数。容易验证是偶函数，且对任意的R，，
。
下证对任意的R，有。当时,显然成立；
当时，因为,而

，故对任意的R,。
下证对任意的R，有.当时，显然成立；当时,，所以，而此时，故；当时，

－,故,又,从而有
。
于是,对任意的R，有。综上所述，结论得证。
1．C．解析：作出函数的草图,看直线与该图像的交点个数。确定的取值范围为。
2．B．解析：令,则,把选项分别代入，易知选B。
3．D．设1998年人均食品消费元，则2002年人均食品支出，则2002年人均消费支出，解得。所以
。
4．B．解析：因为，所以时,有最小值，当，时，有最大值7。
5．B．解析:根据对数的取值范围要求，，而由等式左边又知必须满足且，从而，因此可知，所以。
6．28．解析：设，则，故
（为常数），则＝

7．。解析：因为
,所以当时取到最小。
8．2998.5．易知，由于，，所以
。
9．2006．解析：由,则
，所以在时为减函数，则最大，故
，即，所以。
10．.解析：令，，
与公共定义域为，又因为在上递增,在递减,
，，当且仅当时,。
11．构造函数
，所以其判别式为
，即，故的最大值为。
12．把原方程组化为，考虑函数,容易证明函数在上是单调递增，而题中方程组所满足的条件是
，则有，即。
13．由条件，得,令，即
（R），于是
＝
。所以的最大值为，最小值为.
14．将代入，得,解得，则原式化为，记，已知时，，问题归结研究函数，显然时满足条件，当时，函数表示一条直线，要满足要求,其充要条件为
,解得
。
15．（1)由已知,设由已知，设，由，得，所以。
设，它的图像与直线的交点分别为
由，得。所以。故。
（2）由,得，即，易得方程的一个解.方程化为，由，得，因为,所以,且。若，即，则，,得或,这与矛盾,所以。故原方程有三个实数解。
16．因为
。令，又因为，则可构造函数，即求函数的最小值，又由函数的性质知 在上单调递减，在上单调递增，则分两种情况讨论
(1）当,即当时，由基本不等式函数在上取得最小值，最小值为,此时

（2)当即当时，函数在上单调递减，则当时，取得最小值为,此时
所以当时，的最小值为，当
时,最小值为。
17．对任意有由和
,于是有
由条件和上式知,当且仅当，
时取等号，即对任何,都有，即为常数函数。
18．(1）令,要使在是单调递减等价于,由，得解得
由在上增函数，即对，
恒成立,解得，所以
（2）由条件
，令,由，则，
令.
当时，单调递增，则，条件不成立。
当时，，当且仅当取等号.
①当时,即时， 在上是减函数，且
恒成立，满足题意。
②时，则，即不成立.所以。
19．设原有旅客数为人，检票开始后每分钟新增加的旅客为人,检票的速度为每个检票口每分钟检人，5分钟内检票完毕要同时开放个检票品。
依题意，得，故。又因为，所以，故.
20．设｜DA|=(千米）,铁路吨千米运费为,公路吨千米运费为，从B到C的总运费为，则依题意得
即，令，则有两边平方整理得，由,得，又因为，所以。将代入方程，解得，此时为最小，相应的也取到最小。即D点应选在距A点15千米处,此时运费最小。