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1一功一功 2.3 力的空间累积效应：力的空间累积效应：，动能定理动能定理对对 积累积累1恒力作用下的功恒力作用下的功 物体在力的作用下发生了位移，则称力在该空物体在力的作用下发生了位移，则称力在该空间的累积为功。间的累积为功。2B*A2变力的功变力的功元功：元功：称为力称为力F沿曲线沿曲线L从从A到到B对质点所做的功。对质点所做的功。3在直角系下在直角系下在自然系下在自然系下4(1)功的正、负功的正、负讨论讨论(2)作作功的图示功的图示5（3）功是一个过程量，与路径有关功是一个过程量，与路径有关（4）合力的功，等于各分力的功的代数和合力的功，等于各分力的功的代数和6 功的单位功的单位（焦耳）（焦耳）平均功率平均功率 瞬时功率瞬时功率 功率的单位功率的单位（瓦特）（瓦特）7例例2 质量为质量为10kg 的质点，在外力作用下做平的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质点的速度为面曲线运动，该质点的速度为开始时质点位于坐标原点。求在质点从开始时质点位于坐标原点。求在质点从 y=16m 到到 y=32m 的过程中，外力做的功。的过程中，外力做的功。解解89解：解：例例3 小球在水平变力小球在水平变力 作用下缓慢移动，即在作用下缓慢移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成竖直方向成 角。角。求：求：(1)的功，的功，(2)重力的重力的功。功。ml(自然坐标下，仅切向力做功自然坐标下，仅切向力做功)10变力变力恒力曲线运动恒力曲线运动ml11例例4 作用在质点上的力为作用在质点上的力为在下列情况下求质点从在下列情况下求质点从 处运动到处运动到处该力作的功：处该力作的功：1.质点的运动轨道为抛物线质点的运动轨道为抛物线2.质点的运动轨道为直线质点的运动轨道为直线XYO12做做功功与与路路径径有有关关XYO132.2.2.2.成对力的功成对力的功成对力的功成对力的功 设设有有两两个个质质点点i i和和j j，质质量量分分别别为为 和和 ，为为质质点点i i受受到到质质点点j j的的作作用用力力，为为质质点点j j受受到到质质点点i i的的作作用力，它们是一对作用力和反作用力。用力，它们是一对作用力和反作用力。14成对力的功成对力的功成对力的功成对力的功 设设t时刻，两质点时刻，两质点i、j的位矢分别为的位矢分别为 和和 ，相对位矢为相对位矢为 ，经过，经过 时间后，分别发生微小位时间后，分别发生微小位移移 和和 ，在这个过程中，内力，在这个过程中，内力 和和 都要都要做功，它们所做元功之和为做功，它们所做元功之和为因因所以所以讨论：内力做功的特点讨论：内力做功的特点15成对力的功成对力的功成对力的功成对力的功(1)如果系统存在内力，一般情况下内力之功不一如果系统存在内力，一般情况下内力之功不一定为定为0;(2)在不同坐标系中测量位矢在不同坐标系中测量位矢 和和 的值不同，但的值不同，但测量的测量的 和和 却始终相同，因此，内力做功的多却始终相同，因此，内力做功的多少与参照系无关少与参照系无关;16(1)万有引力作功万有引力作功 万有引力和弹性力作功的特点万有引力和弹性力作功的特点 对对 的万有引力为的万有引力为移动移动 时，时，作元功为作元功为 17m从从A到到B的过程中的过程中 作功：作功：18 设设质质量量为为m的的物物体体在在重重力力的的作作用用下下从从a点点任任一一曲曲线线abcabc运运动动到到b点。点。(2)(2)重力作功重力作功 在元位移在元位移 中，重中，重力力 所做的元功是所做的元功是 19 由由此此可可见见，重重力力作作功功仅仅仅仅与与物物体体的的始始末末位位置置有有关关，而而与与运运动动物物体体所经历的路径无关。所经历的路径无关。20(3)弹性力作功弹性力作功 由由此此可可见见，弹弹性性力力作作功功也也仅仅仅仅与与质质点点的的始始末末位置有关，与具体路径无关。位置有关，与具体路径无关。21xFdxdWx2x1O22 保守力所作的功与路径无关，仅决定保守力所作的功与路径无关，仅决定于始、末位置于始、末位置二保守力与非保守力二保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式保守力作功的数学表达式弹力的功弹力的功引力的功引力的功23 质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所作的功为零对它所作的功为零非保守力：力所作的功与路径有关非保守力：力所作的功与路径有关 （例如摩擦力）（例如摩擦力）24 势势能能：质质点点在在保保守守力力场场中中与与位位置置相相关关的的能能量量。它是一种潜在的能量，不同于动能。它是一种潜在的能量，不同于动能。3.3.3.3.势能势能势能势能几种常见的势能：几种常见的势能：重力势能重力势能弹性势能弹性势能万有引力势能万有引力势能25保守力的功保守力的功 成对保守内力的功等于系统势能的减少（或成对保守内力的功等于系统势能的减少（或势能增量的负值）势能增量的负值）-势能定理。势能定理。注意：注意：（1）势能既取决于系统内物体之间相互作用）势能既取决于系统内物体之间相互作用的形式，又取决于物体之间的相对位置，所以势的形式，又取决于物体之间的相对位置，所以势能是属于物体系统的，不为单个物体所具有。能是属于物体系统的，不为单个物体所具有。（2）物体系统在两个不同位置的势能差具有）物体系统在两个不同位置的势能差具有一定的量值，它可用成对保守力作的功来衡量。一定的量值，它可用成对保守力作的功来衡量。（3）势能差有绝对意义，而势能只有相对意）势能差有绝对意义，而势能只有相对意义。势能零点可根据问题的需要来选择。义。势能零点可根据问题的需要来选择。势势势势 能能能能(4)(4)势能是状态的函数势能是状态的函数264.4.4.4.势能曲线势能曲线势能曲线势能曲线重力势能重力势能弹性势能弹性势能引力势能引力势能27势能曲线的作用：势能曲线的作用：（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。所受保守力的大小和方向。表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐 标的导数的负值。标的导数的负值。2829而而二二 质点的动能定理质点的动能定理AB30(1)功是过程量，动能是状态量；功是过程量，动能是状态量；注意注意 合外力对质点所作的功，等于质点动合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量能的增量 质点的动能定理质点的动能定理(2)功和动能依赖于惯性系的选取，功和动能依赖于惯性系的选取，但对不同惯性系动能定理形式相同但对不同惯性系动能定理形式相同31 例例 5 一质量为一质量为1.0 kg 的小的小球系在长为球系在长为1.0 m 细绳下端，绳细绳下端，绳的上端固定在天花板上起初的上端固定在天花板上起初把绳子放在与竖直线成把绳子放在与竖直线成 角角处，然后放手使小球沿圆弧下处，然后放手使小球沿圆弧下落试求绳与竖直线成落试求绳与竖直线成 角角时小球的速率时小球的速率32解解 33由动能定理由动能定理得得34例例2.3.4 在光滑水平桌面上，平放着如图所示固在光滑水平桌面上，平放着如图所示固定的半园形屏障，质量为定的半园形屏障，质量为m的滑块以初速度的滑块以初速度 沿沿切线方向进入屏障内，滑块和屏障间的摩擦系数切线方向进入屏障内，滑块和屏障间的摩擦系数为为 ，求滑块滑过屏障的过程中，摩擦力的功。，求滑块滑过屏障的过程中，摩擦力的功。解：滑块在水平面内受屏解：滑块在水平面内受屏障对它的压力和与屏障的障对它的压力和与屏障的摩擦力，因为作园周运动，摩擦力，因为作园周运动，故采用自然坐标。压故采用自然坐标。压力提供园周运动的向心力而不做功，摩擦力做负力提供园周运动的向心力而不做功，摩擦力做负功使滑块动能减少。功使滑块动能减少。(1)35(2)(3)将式将式(2)代入式代入式(3)，整理变形为，整理变形为分离变量并积分，得分离变量并积分，得362.3.2 质点系的功能原理质点系的功能原理37外力功外力功 内力功内力功一质点系的动能定理一质点系的动能定理 质点系动能定理质点系动能定理 内力可以改变质点系的动能内力可以改变质点系的动能注意注意 对质点系，有对质点系，有 对第对第 个质点，有个质点，有38非保守非保守力的功力的功二质点系的功能原理二质点系的功能原理39机械能机械能质点系的功能原理质点系的功能原理讨论：关于功能原理的理解讨论：关于功能原理的理解(1)功能原理的适用条件：仅对惯性参照系适用功能原理的适用条件：仅对惯性参照系适用;40(2)功能原理描述质点系的运动规律。在应用功能功能原理描述质点系的运动规律。在应用功能原理求解问题时，必须正确确定质点系的范围，原理求解问题时，必须正确确定质点系的范围，保证引入势能时，涉及势能的所有质点都包含在保证引入势能时，涉及势能的所有质点都包含在所研究的质点系中所研究的质点系中;(3)功能原理与动能定理的不同之处在于它把质点功能原理与动能定理的不同之处在于它把质点系内的保守内力做功用质点势能改变来替代，因此，系内的保守内力做功用质点势能改变来替代，因此，在应用功能原理时，应只计及非保守内力和含外力在应用功能原理时，应只计及非保守内力和含外力做功对质点系机械能改变的贡献。做功对质点系机械能改变的贡献。41三机械能守恒定律三机械能守恒定律当当时，有时，有 只有保守内力作功的情况下，质点只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变系的机械能保持不变42四、守恒定律的意义四、守恒定律的意义自然界中还有：自然界中还有：1.守恒定律守恒定律力学中：动量守恒定律力学中：动量守恒定律 机械能守恒定律机械能守恒定律 角动量守恒定律角动量守恒定律质量守恒定律、质量守恒定律、电荷守恒定律；电荷守恒定律；(粒子物理中的粒子物理中的)重子数、轻子数、重子数、轻子数、奇异数、奇异数、宇称守恒定律宇称守恒定律43 2.守恒定律的特点守恒定律的特点 (1)方法上：针对一过程，但不究过程细节，方法上：针对一过程，但不究过程细节，给出始末态的情况。给出始末态的情况。(2)适用范围广：宏观、微观、高速、低速适用范围广：宏观、微观、高速、低速 均适用。均适用。44(1)内力和为零内力和为零,内力功的和是否为零？内力功的和是否为零？不一定为零不一定为零ABABSL(2)内力的功也能改变系统的动能内力的功也能改变系统的动能 例例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。所做的功转化为弹片的动能。讨论讨论45 例例2:长为长为l 的均质链条，部分置于水平面上，的均质链条，部分置于水平面上，另一部分自然下垂另一部分自然下垂,已知链条与水平面间静摩擦已知链条与水平面间静摩擦系数为系数为 0,滑动摩擦系数为滑动摩擦系数为 Oy求求:(1)满足什么条件时，链条将开始滑动满足什么条件时，链条将开始滑动(2)若下垂部分长度为若下垂部分长度为b 时，链条自静时，链条自静止开始滑动，当链条末端刚刚滑离止开始滑动，当链条末端刚刚滑离桌面时，其速度等于多少？桌面时，其速度等于多少？46 解解:(1)以链条的水平部分为以链条的水平部分为研究对象，设链条每单位长研究对象，设链条每单位长度的质量为度的质量为，沿铅垂向下取，沿铅垂向下取Oy 轴。轴。例例 当当 y b0，拉力大于最大静摩擦力时，链，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。条将开始滑动。设链条下落长度设链条下落长度 y=b0 时，处于临界状态时，处于临界状态Oy47 (2)以整个链条为研究对象，链条在运动过程中以整个链条为研究对象，链条在运动过程中各部分之间相互作用的内力的功之和为零，各部分之间相互作用的内力的功之和为零，摩擦力的功摩擦力的功重力的功重力的功48根据动能定理有根据动能定理有49例例2.3.9 一质量为一质量为m的物体，从质量为的物体，从质量为M的园弧形槽的园弧形槽顶由静止滑下，设园弧形槽的半径为顶由静止滑下，设园弧形槽的半径为R、张角为、张角为 ，如忽略所有摩擦，求：，如忽略所有摩擦，求：(1)物体刚离开槽底端时，物体刚离开槽底端时，物体和槽的速度各为多少？物体和槽的速度各为多少？(2)在物体从在物体从A滑到滑到B的的过程中，物体对滑槽做的功过程中，物体对滑槽做的功;(3)物体到达物体到达B时对槽时对槽的压力。的压力。50解解(1)将物体、槽、地球视为系统，仅有保守内将物体、槽、地球视为系统，仅有保守内力重力做功，系统机械能守恒。以力重力做功，系统机械能守恒。以 和和V分别表分别表示物体刚离开槽时物体和槽的速度，则有示物体刚离开槽时物体和槽的速度，则有对物体和槽，水平方向动量守恒对物体和槽，水平方向动量守恒联解可得联解可得51(2)对槽，只有物体对它的压力对槽，只有物体对它的压力N对它做功，依对它做功，依据动能定理，物体对槽做的功应等于槽动能的据动能定理，物体对槽做的功应等于槽动能的增量，即增量，即(3)物体到达物体到达B的瞬间，槽在水平方向不受外力，的瞬间，槽在水平方向不受外力，加速度为加速度为0，视为惯性参照系。此时，物体的水，视为惯性参照系。此时，物体的水平速度为平速度为(1)52根据牛顿定律根据牛顿定律将式将式(1)代入，得代入，得53例：一陨石从距地面例：一陨石从距地面 高高处由静止开始落向地面，处由静止开始落向地面，忽略空气阻力，求：忽略空气阻力，求：（1 1）陨石下落过程中，地球引力做的功；）陨石下落过程中，地球引力做的功；（2 2）陨石落地时速度多大？）陨石落地时速度多大？解（解（1 1）取地心为原点，从）取地心为原点，从 指向陨石为指向陨石为 的正方向，的正方向，如图。陨石从如图。陨石从 落到落到 ，地球引力的功为，地球引力的功为54（2 2）取陨石为研究对象，由动能定理）取陨石为研究对象，由动能定理得得 55例：求质量例：求质量 长长 的均匀细棒与质点的均匀细棒与质点 间的引力间的引力势能。（势能。（1 1）质点）质点 在细棒延长线上；在细棒延长线上；（2 2）质点）质点 在细棒中垂线上；在细棒中垂线上；解（解（1 1）质点）质点 在细棒延长线上，在细棒延长线上，如图在细棒上任取如图在细棒上任取一微元一微元 ，套用质点引力势能的结论，套用质点引力势能的结论对对 的引力势能为的引力势能为56整条细棒与质点的引力势能整条细棒与质点的引力势能（2 2）、质点）、质点 在细棒中垂线上在细棒中垂线上 57例：例：如图所示，一质量如图所示，一质量1kg的钢球的钢球A，系于长为，系于长为 的轻绳一端，绳的另一端固定，今将绳拉到水平位的轻绳一端，绳的另一端固定，今将绳拉到水平位置后静止释放，球在最低点与在粗糙平面上的另一置后静止释放，球在最低点与在粗糙平面上的另一质量质量5kg的钢块的钢块B作完全弹性碰撞后回到作完全弹性碰撞后回到h=0.35m处，处，而而B沿水平滑动，最后停止。求：沿水平滑动，最后停止。求：(1)绳长绳长?(2)B克克服阻力做的功。服阻力做的功。解：解：(1)设钢球设钢球A与钢块与钢块B碰碰撞前速度为撞前速度为 ，A的质量为的质量为m，B的质量为的质量为M，由机械能，由机械能守恒，有守恒，有58A、B碰撞过程中，动量守恒碰撞过程中，动量守恒因为完全弹性碰撞，故系统动能守恒因为完全弹性碰撞，故系统动能守恒(1)(2)(3)解出解出59(2)B克服阻力做的功克服阻力做的功60例：如图所示，将一质量为例：如图所示，将一质量为M的平板的平板PQ放在倔强系放在倔强系数为数为k的轻弹簧上，现有一质量为的轻弹簧上，现有一质量为m的小球放在光的小球放在光滑水平桌面上，桌面与平板滑水平桌面上，桌面与平板PQ高度差为高度差为h，现给小，现给小球一水平初速球一水平初速 ，使小球落到平板上与平板发生，使小球落到平板上与平板发生弹性碰撞，求弹簧的最大压缩量是多少？弹性碰撞，求弹簧的最大压缩量是多少？解：小球刚要与解：小球刚要与PQ碰撞时，碰撞时，水平方向：水平方向：竖直方向：竖直方向：将小球、平板作为系统将小球、平板作为系统61碰撞过程中，动量守恒、动能守恒碰撞过程中，动量守恒、动能守恒联解得到联解得到 碰撞之后，以木板、弹簧、地球为系统，机碰撞之后，以木板、弹簧、地球为系统，机械能守恒。设木板初始位置为重力势能零点，弹械能守恒。设木板初始位置为重力势能零点，弹簧自然状态为弹性势能的零点，则簧自然状态为弹性势能的零点，则62式中式中 ，解得弹簧最大压缩量为，解得弹簧最大压缩量为