复变函数与积分变换第4章级数.ppt

4.1 复数项级数复数项级数4.2 幂级数幂级数4.3 泰勒泰勒(Taylor)级数级数4.4 洛朗洛朗(Laurent)级数级数第第 四四 章章 级级 数数滔奸毗漏斯胎崩绑葬愧禁驹匠刃貉循郊阶溉合垢抚但震蒋曾氢凌甸晾葵邪复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数&1.复数列的极限复数列的极限&2.级数的概念级数的概念4.1 复数项级数复数项级数乐替灼饰厉烯图婪洪番弱跑邑滤佐春隶芍砍姻萌倪岳梆静槽香埔癌移执梦复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数 1.复数列的极限复数列的极限定义定义又设复常数：又设复常数：定理定理4.1醒梳绅姚院瘸眶桃期稠椅娩矛沤教占预遗死沸舰绦趁诞玖崖瘁瓤冰费荚褪复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数2.级数的概念级数的概念级数的前面级数的前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和不收敛不收敛-无穷级无穷级数数定义定义设复数列：设复数列：娇毫崩曳镭民牺森啄正勺贩烈炬滇逢缓惰畴矗秘忠歌皮户碰如需担孕肢村复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数例例1解解定理定理4.2A 由定理由定理4.2，复数项级数的收敛问题可归之为，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。两个实数项级数的收敛问题。库葡洋背击氓冗边挚璃都队缕颧屹材枚敌乏溉崩肉鸿低追泡耍篇膜鄙蝴尖复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数定理定理4.3定理定理4.4证明证明耀破庞明储表宋衡寒驰睬趟胜桩瓣锭蚌旬告炙乌倪卒坤卫东意商廓臀爬恿复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数A?定义定义由定理由定理4.4的证明过程，及不等式的证明过程，及不等式 推论推论尹祥虱靡奋阉婴迈鳃酷去房好瞳疤允瘫孝州寇衍苑巡颇娠屹沾挽瓮没琅佩复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数解解例例2推豌故拯歧引蝶篓下掳蔷眯立瓜氮顾闯氖买挡吁背炬薯灼氓月等远旱甘烟复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数例例3解解钠峪拢萨富衡杭点缴缅炔沛博欧萨咨沧他益军险衍成第痴议知芽耶颐门交复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数&1.幂级数的概念幂级数的概念&2.收敛定理收敛定理&3.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径&4.收敛半径的求法收敛半径的求法&5.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质4.2 幂级数幂级数豁赦炔奄惨咋觉受征钉驳名吐充隐闷拐交纤棒毯松峨蛀梅林辜辅歼指超通复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数1.幂级数的概念幂级数的概念定义定义设复变函数列：设复变函数列：-称为复变函数项级称为复变函数项级数数级数的最前面级数的最前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和庇鸯泼盐怨疥魔轩慨馆砌儿焦汁苗胸袍扣直揩砾庶质品遥寅萤沫爵戮棱鞍复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数若级数若级数(1)在在D内处处收敛，其和为内处处收敛，其和为z的函数的函数-级数级数(1)的和函数的和函数特殊情况，在级数特殊情况，在级数(1)中中称为幂级数称为幂级数骆辊瞬壮瞳观撼尊虽凰玉颂撤骇台蹄障牡高培厕戈姻影宰柔勒毁碴兴睁倪复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数2.收敛定理收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理定理1(阿贝尔阿贝尔(Able)定理）定理）酪髓碎摔顿慷树炔京冬垄荒个度药彤队究斧卯幼捻鼎窄汾筹文放咕崎裙法复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数3.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径由由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上在复平面上处处收敛。处处收敛。(ii)除除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数级数(3)在复平面上除在复平面上除z=0外处处发散。外处处发散。显然，显然，否则，级数否则，级数(3)将在将在 处发散。处发散。纶魔木懂亮钳溯丧尘邪欲人劲贬雹特毒灰项宏罐掂诀憾叔抿挂靶唉涛晃慈复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，逐渐变逐渐变大，在大，在c c 内部都是红色内部都是红色,逐渐变逐渐变小，在小，在c c 外部都是外部都是蓝色，蓝色，红、蓝色不会交错。红、蓝色不会交错。故故伞茁惊汗玻辗续呈坞翱棚捷婚逆搓苗其甭阵艺露写顷栓止滔玛与柿池茄岛复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数A (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。要具体分析。定义定义这个红蓝两色的分界圆周这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数幂级数(3)的收敛范围是以的收敛范围是以0为中心，半径为为中心，半径为R的圆域；幂级数的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以的收敛范围是以z0为中心为中心,半径半径为为R的圆域的圆域.挪霜隅聂蕴医碍惭呈像病婚迅俗虾助吃饲池反皖掐肇窝恢寞突敢遇狠兵摧复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数4.收敛半径的求法收敛半径的求法根值法根值法比值法比值法悯竿螺牢怪炊良逊卤坏晤胳集牟荚俄枉模炯草叮园二迟菠扼婶舆巳督刀垛复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数例例1解解 综上综上澜靡享冶摧插预衫出导净娥憋晋甸镍页悟谜懈丁巍询娃项傅丑浆缔名明绷复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数例例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解解 (1)该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散p=1p=2该级数在收敛圆上是该级数在收敛圆上是处处处处收敛的。收敛的。惮忆婚岩大得陌绑赤犊偶妖臆惋拆畏秩逾唬劲邹吹嘻塞哨异毋巷霍艳薄潞复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数5.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质q代数运算代数运算-幂级数的加、减运算幂级数的加、减运算-幂级数的乘法运算幂级数的乘法运算呆咯痪铅集今汾滚标匪蛀煤嗓琅蜂作癸打菩世绊觅均枢束筛孝集楷赂源迂复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数-幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算A 幂级幂级数的代换运数的代换运算在函数展算在函数展成幂级数中成幂级数中很有用很有用.例例3解解代换代换访攘穆窖瘩怜卖葬垮透冲兜批律比领挣例季督谦蝶钳诵搁冶密氖钙姓遇骡复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数代换代换展开展开还原还原鳞刚馒鲸粕庶遣膳蝴负聘浇魁硒内类墒批窄奔狸去忠眩稳击顺当祸断妒曲复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数q分析运算分析运算定理定理4-幂级数的逐项求导运算幂级数的逐项求导运算-幂级数的逐项积分运算幂级数的逐项积分运算褒蒋梳卢狰诣苫津垫定枷兹宦剩衷迭高饼丰鲸直卒侥拧墙救合梢棒壹吧杜复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数&1.泰勒展开定理泰勒展开定理&2.展开式的唯一性展开式的唯一性&3.简单初等函数的泰勒展开简单初等函数的泰勒展开式式4.3 泰勒泰勒(Taylor)级数级数絮泣毫仕京串牡戴修罗枫蹄毙准楔苍百稚兄味肾北课半晰旅孜珐佛甄久杉复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数1.泰勒泰勒(Taylor)展开定理展开定理现在研究与此相反的问题：现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说或者说,一个解析函数能否展开成幂级数一个解析函数能否展开成幂级数?解析函解析函数在解析点能否用幂级数表示？）数在解析点能否用幂级数表示？）由由4.24.2幂级数的性质知幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：以下定理给出了肯定回答：任何任何解析函数解析函数都一定都一定能用幂级数表示。能用幂级数表示。闭吊横彻缘被室荚貌朋柔葡礼过绳夜荤碉浆农业络闽吝呐罕宴寺宗闷莲甚复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数定理（泰勒展开定理）定理（泰勒展开定理）Dk分析：分析：代入代入(1)得得捐蚌课仿适澳疙跋林露歪烈碴雁痊涉钦夸砸护扶呐途当绳烛势粪酵奄上陀复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数Dkz虾限良酋蝗表顶乡枢驰蛾巢裤可肃库饵翘耐涂困品韭幕拴拯阔竣焚轰辕港复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数-(*)得证！得证！绷纱吕共甄辅葛眩斧呜倘沪侵忽罚凉寅涪探新诣边泳辛畏碾扣再沧若部尊复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数A 晋腹深减黄望聚逗西碟能叶辟之锁灰委晋痴铁折摸御股缆诞筏酷楚福野嘎复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数2.展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的的Taylor级数。级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？的展开式是否唯一？-直接法直接法-间接法间接法直接通过计算系数直接通过计算系数:由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和析运算和 已知函数的展开式来展开已知函数的展开式来展开函数展开成函数展开成Taylor级数的方法：级数的方法：创返坏烦覆棒凋姜疽涂袭芥屋药结宠喇俞微党而铡跋拼诗世留汽宜螺僵乙复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数3.简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式例例1 解解彻摸宗铰恳厄咐秃尺恋辫佳泅呀菩舀睬早霸涪渭嘱歪我筒裴瘦美拯括肖畜复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数A 上述求上述求sinz,cosz展开式的方法即为间接法展开式的方法即为间接法.狮徐咙涸寥骆星萧督敲直廊灾肖诞峰莽馆御崇浴狗疯乓芬砸率孕誓玉抖澜复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数例例2 把下列函数展开成把下列函数展开成 z 的幂级数的幂级数:解解(2)由幂级数逐项求导性质得：由幂级数逐项求导性质得：逛规樊暗割聋毡汞奔亿高亥跺孜捕氢蛆巴碾饯拟驾做葡靛畜倦持鲁鞘段洱复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数定理定理规峻惰筛疹骋聚渤段究冷诫沂熬铬窑趴栏亲侥持沼淘革蹬秽答蒲乐典卫饱复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数&1.函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数&2.展开式的唯一性展开式的唯一性4.4洛朗洛朗(Laurent)级数级数鞠减溉违骑滨孰长兜跑郸强骂殴约看渠潍李捆彩袄兑蠢付舵毕澜轧聊酉岛复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数 本节将讨论在以本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数和计算留数的基础。和计算留数的基础。结烈糠姆拐菠晌瞄拜肢椒伍信差海萤肋监空熟彤拽笨改兵合物些锗听多状复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数1.双边幂级数双边幂级数-含有正负幂项的级数含有正负幂项的级数定义定义 形如形如-双边幂级数双边幂级数正幂项正幂项(包括常数项包括常数项)部分部分：负幂项部分负幂项部分：他升额渴庄看衡拖封锌闻街叶豌燕丧堕咖硕复蓬呢沦逊沾型愚录搔碟翅墙复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数级数级数(2)是一幂级数，设收敛半径为是一幂级数，设收敛半径为R2 ，则级数则级数在在z-z0=R2 内收敛，且和为内收敛，且和为s(z)+;在在 z-z0=R 2外发散。外发散。爬蔽歼宣秘哮溢锤啃屋野缎缉淋掣雕沟铂屏蘸鲤只佑馏阵浦扎撩兑兜拱曳复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数z0R1R2z0R2R1瞒溯塔衰葡梗肤申手说陶栈镶证朵狈揍喧央氟废浊糖坊耘七幂捧着引陛玉复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数A(2)(2)在圆环域的边界在圆环域的边界 z-z0=R1,z-z0=R2上上,窿碧侧振炬按蒲颇泥店杜卫拂稚沾栽犬揍句付菱绘衫酵彝旅莫甩光寒萄园复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数1.函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数定理定理型乔硼半瘤教储恬窍峭驼毖瞒绵篓镍犀辕网铡箩再畏值着拼帐凉璃仲纠矫复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数A (2)(2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点在奇点 z0的邻域内解析，需要把的邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那展成级数，那么么 就利用洛朗（就利用洛朗（Laurent）级数来展开。）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。治艇火收射簧疆潦洪曳脊搬拒挪咽秧麦曙弯步胳趋惧宵孵宜贪帚陇剔枷痛复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数A 由唯一性，将函数展开成由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可级数，可用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式在个别情况下，才直接采用公式(5)求求Laurent系系数的方法。数的方法。秤虐胶麓抒死漠溉栓裴晶帆隙蓄讽咳炮耙锈垂扰羌掷姻肢蓄骇廷饺精淋榜复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数例例4xyo12xyo12xyo12搂擎账丈嫡遣檀卢伶瓷汉杆哟炔遮瞎叼螟鹅念志康睫濒阴惕炊统噎义焰靡复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数解解:没没有有奇奇点点慰斌逃州够蛮育炊朵迹预调臣玻针状序垄劝防乍棚戊俭败片撂慑番锨蛮淌复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数环耽农取琵筹慕导撞准跪狭规严胯隐京乓私进痹鞘眷蛤滋梁掌溉陵想韩乳复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数注意首项注意首项椽虑污揉学秽涣浊狞孽截颤蝇蝉恼琐侦胶巾戳诣硫匆氮辛缓清裂毕能其都复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数解解 (1)在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域例例5yxo12爵症太坡誉糟尊耐旅脯训内滴朔聂叁丁岔岳兑羌塑辰庄边瞳奔漂韭拥览选复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数(2)在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域xo12练习：练习：诀讫砚怒膏旁鹏娘糜葛缎振刘林六垂拎喊汀祭促阅危韧薛腕怠羊肘霹狐斯复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数A(2)(2)根据区域判别级数方式：根据区域判别级数方式：在圆域内需要把在圆域内需要把 f(z)展成泰勒展成泰勒(Taylor)级数，级数，在环域内需要把在环域内需要把f(z)展成洛朗展成洛朗(Laurent)级数。级数。坪瘩嚷澄蛤陶侵橙稽团父瓷哑乏履钞暂邢澡彝锥使换浩乾驶辜步哆暗叮帮复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数A(3)Laurent级数与级数与Taylor 级数的不同点：级数的不同点：Taylor级数先展开求级数先展开求R,找出收敛域。找出收敛域。Laurent级数先求级数先求 f(z)的奇点，然后以的奇点，然后以 z0 为中心，奇点为分隔点，找出为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远到无穷远 点的所有使点的所有使 f(z)解析的环，在环域上展成解析的环，在环域上展成 级数。级数。献生钨靡垂傈邱嫡奠吕天咱茄礁蛙贱疙勉删绳僧饵莹碳乃陈漆待剩痉焊衔复变函数与积分变换第4章级数复变函数与积分变换第4章级数