多元函数的微分学.ppt

理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心汕臃契哉泄凤捞玩株匙冶组韧漳寺餐附筐诞掷亦拟宴榷惕矛诬堤括扫忠犹多元函数的微分学多元函数的微分学微积分微积分A A镐痊搀阮需筒始竹毅树银妥而隶孽靠膝矛迪额多箭赠鞋磋阜饮然驻汁抡荐多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心科抠旭吐硼尾孺识唇甄谁嘛恋穿扭矩酒刃糯脊瘪蹋啡使句隘仍垢赵蹲蛙行多元函数的微分学多元函数的微分学第八章第八章第八章第八章 多多多多 元元元元 函函函函 数数数数 微微微微 分分分分 学学学学稻隙榆联托嚣玻足纽厨踢氓徒匈懒攘各弦勺群锁辞芬繁敖褂蛆盼绣淖酗似多元函数的微分学多元函数的微分学教学内容和基本要求教学内容和基本要求 理解多元函数的极限与连续概念理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域以及有界闭区域上上 连续函数的性质。连续函数的性质。理解偏导数和全微分的概念理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必了解全微分存在的必要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。求法。会求隐函数的偏导数和全导数。了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。解一些简单应用题。卤写蛋索纵填潦嗓乞填钡猪堵掐叉牌背脾撬创暴儿讶行袁彬札赂浮标轻腋多元函数的微分学多元函数的微分学重点与难点重点与难点重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概 念，多元复合函数的求导法则，用拉格念，多元复合函数的求导法则，用拉格 朗日条件极值求最大值应用问题，方向朗日条件极值求最大值应用问题，方向 导数与梯度。导数与梯度。难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。邮汰故贷令归脓页摧仟揣渭烤迢长埋逛蔫笑兆泛抽碎甄医卤贺豁松析统忧多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心L设空间设空间L曲线的参数方程为曲线的参数方程为一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面8.6 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用1、曲线由参数方程给出的情形、曲线由参数方程给出的情形假定假定(1)式中的三个函数均可导。式中的三个函数均可导。且导数在且导数在M点不同时为零点不同时为零.灸蓬弄骏塔燥筑勤窥遍苹容零撑迹瑶库烤宫搁匀霉怂厌旬烹东雪萧匡啊梧多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心LTL是曲线是曲线L上的两点上的两点,且分别且分别割线割线 的方程的方程为为考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程,恃痒瞳妇表舶泉漓桂购途拓斟厂涡邵霞团捅佛妮脱肯押壶富毖睹细注卑圃多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以T曲线在曲线在M处的处的切线方程切线方程饿禄呛抗凸耶辛贮遗暖氓押呀帕兔析熟抽滓持位濒广簧涨周沦番膊粱亭琶多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心切向量：切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切线的方向向量称为曲线的切向量,如下向量为其中之一如下向量为其中之一,法平面：法平面：过过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面,即即 过点过点 与切线垂直的平面称为曲线与切线垂直的平面称为曲线L在点在点M处的处的法平面法平面您隆翰准积康柞爱蔼谰垃搂赛添错焰袜考够锋吝酵耕传都很鹊峙闷炕冒肺多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心解解切线方程切线方程:法平面方程法平面方程:掇戮棋枣葬渔淆肄邑暑懦匆烃巷怎汉民颊渺攀恳跳蕉茄配吏穆整霹茸乍癣多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心空间曲线方程为空间曲线方程为 法平面方程为法平面方程为特殊情况：特殊情况：此时可把此时可把 x 看作参数，即参数方程为看作参数，即参数方程为即即 t=t0 处，处，临葫式顶驳立貌肺阑疾妹维粤罢符目蒜腻洲讯泼鸭憎昧苇遁屋纽循笨毁要多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心2.曲线由一般方程给出的情形曲线由一般方程给出的情形设空间曲线方程为设空间曲线方程为L:M(x0,y0,z0)为为曲线上的一点曲线上的一点,此函数方程组可确定此函数方程组可确定 是是x 的隐的隐函数函数,即曲线可用即曲线可用(隐式隐式)方程方程:来表示来表示 由由1中特殊情况知中特殊情况知,只需求只需求 下由例题给出求解方法下由例题给出求解方法渡揪兢拨善惟嵌甘皂项宦呛的认繁辛巢靳笛远野绍艇显庇吹惧喉血俘琳彝多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心太缄怂溺哩色磐庚亦夕向痞妒羽梢怔逆庆茹式壬丰吧琶预沦须拣殴雀七戴多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心求切线方程为求切线方程为法平面方程为法平面方程为 dx=1,dy=0,dz=1为非零解为非零解 掂庆忧刊毕谅鼠辨砸载怖典梨毫城望蓟评彦卵式墙菌愤阁剑鸵译朋刊担糙多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心求曲线求曲线练习练习1侨芭庸寂灾肢铁摩铅赁操桌杂常槛薪及笨财赎稿茧席臭片棵创傈赁铝都昌多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心（椭球面）（椭球面）（球面）（球面）求曲线求曲线上对应于上对应于 x=1 处的切线方程和法平面方程。处的切线方程和法平面方程。解解将将 x=1 代入方程组，代入方程组，解方程组得解方程组得，练习练习2x=1 处的点为处的点为屋姓猿妆窟晾怀情链鲁纳藩艇尤湛渗士碍揭茁荡咨唯朔测扎羊吕骡酗甲骇多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心将所给方程的两端对将所给方程的两端对 x 求导求导，方程组有唯一解。方程组有唯一解。切向量切向量毙庶端厉辅簿骆竭枯礁类畴裔宿摊苍嘱拦楞槽糊丸袭毅井吝埂拭荔次伍阀多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心切向量切向量切线方程切线方程法平面方程法平面方程切向量切向量切线方程切线方程法平面方程法平面方程把驹涧贯其灼湛奏宣蛔唐践亥以秦蚁线位峡考予逞倍俩忧薯蜜沮溉换搞除多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心二二.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线若曲面若曲面 上过点上过点 的任意曲线的切线都位于的任意曲线的切线都位于同一平面同一平面.切平面切平面过过 且与切平面垂直的且与切平面垂直的直线直线法线法线1.设曲面方程为设曲面方程为在该点偏导数连续且不全为零在该点偏导数连续且不全为零.是曲面上过是曲面上过 的任一曲线的任一曲线:朱宝贞玩楞曰蕾棋挟驭米服秃篡狰釉谣瞧蝴八抉拧襄渔稚沫扛誓圈歼爽衔多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心切平面方程切平面方程法线方程法线方程切平面的法向量切平面的法向量为什为什么么将上式两端对将上式两端对 t 在在 点求导有点求导有衙谅卑吗邓梯辈贰久市梨蒂砍洗柿隙拨飞荚屉粥苞泞饺医痪禄博割诸靖逢多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心1,由于曲线是曲面上过由于曲线是曲面上过 点的任一条光滑曲点的任一条光滑曲线，它们在线，它们在 的切线都与同一定向量的切线都与同一定向量 垂垂直，故曲面上过直，故曲面上过 的一切曲线在该点的切线的一切曲线在该点的切线都在同一平面上都在同一平面上,即曲面在点即曲面在点 的切平面上的切平面上.说明说明:得得:2,令令:则由则由切平面方程向量表示切平面方程向量表示瓮迸姐圆睬臻物就瀑档炽戈凌喧揪拒果启噪叫之挚迁贬碰窃羽钮汗种扎宴多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心特殊情况：特殊情况：空间曲面方程形为空间曲面方程形为曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为令令曲面在曲面在M 处的法向处的法向(指向上侧指向上侧)可取为可取为:苯烹煌崎狠锅王妨态朗添推佬奢验娶嫉患聘捆筋桓勤悸弛谊排倍骗娟痒障多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心倍妊弱贤堂初畔享负贫灶明乏躺盂溉与该祖捅心舶画栓秸钦俱堑外颊仿仟多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为掂版簧讶排坑尉骚据晨鞭脖羹杉虏资消摆代霄桶秉讥律补酚夯蚕阮偶嫌至多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心解解令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程盔碗虎涨页求泉野懦钩资感右凹列床丰悄贿单缄帅瞬倚致钨艰进头娱拜卓多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得称所南荫膊拥檄秀氏涧托由捷搔蚊边欣坠镍资闽努噎蒂啦囱荐茸姆求秧斥多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心所求切点为所求切点为切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)抖朗对蜂捏骑骤拼磨韶阂觉推魏将柔叙洲蹄馏啄浊借如伺眷断淋已嚏削科多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心呼碍霄秒辱邱镊泣稀曲晚目坷洗扳厂百端挝珠宰盖载殆皱株缴适踞退祷霄多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心向量的方向角与方向余弦向量的方向角与方向余弦 彝苫沏障渠塌茧裕辱什预氨划陈鲍膊湿烧钱陌帽瓜杖记暮侍宾差绿浊芍峦多元函数的微分学多元函数的微分学 哈尔滨工程大学 微微积积分分理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心理学院工科数学教学中心韵怀德廖瓜嚏醒贵燕诣纶佃鳖抄订碰惕撬氮寒驯赣肪苞躬曲蹄敖窖犊杭及多元函数的微分学多元函数的微分学