计算方差协方差矩阵.pptx

计算方差协方差矩阵我们用我们得数字例子来说明计算方差我们用我们得数字例子来说明计算方差我们用我们得数字例子来说明计算方差我们用我们得数字例子来说明计算方差-协方差矩阵得矩阵方法。我们通协方差矩阵得矩阵方法。我们通协方差矩阵得矩阵方法。我们通协方差矩阵得矩阵方法。我们通过减去资产各自得平均收益过减去资产各自得平均收益过减去资产各自得平均收益过减去资产各自得平均收益,得到超额收益矩阵得到超额收益矩阵得到超额收益矩阵得到超额收益矩阵(接下来得电子表中得接下来得电子表中得接下来得电子表中得接下来得电子表中得42-42-5252行行行行)。在。在。在。在55-6155-61行中我们计算样本方差行中我们计算样本方差行中我们计算样本方差行中我们计算样本方差-协方差矩阵。协方差矩阵。协方差矩阵。协方差矩阵。1010、2 2、1 1一个稍微更有效率得替代方法一个稍微更有效率得替代方法一个稍微更有效率得替代方法一个稍微更有效率得替代方法正如您所期望那样正如您所期望那样正如您所期望那样正如您所期望那样,得确存在其她计算方差得确存在其她计算方差得确存在其她计算方差得确存在其她计算方差-协方差矩阵可选方法。这里所介协方差矩阵可选方法。这里所介协方差矩阵可选方法。这里所介协方差矩阵可选方法。这里所介绍得方法跳过了超额收益得计算绍得方法跳过了超额收益得计算绍得方法跳过了超额收益得计算绍得方法跳过了超额收益得计算,并且直接使用单元格并且直接使用单元格并且直接使用单元格并且直接使用单元格B71B71:G76G76中得公式进中得公式进中得公式进中得公式进行计算。她通过使用数组函数行计算。她通过使用数组函数行计算。她通过使用数组函数行计算。她通过使用数组函数=MMULT(TRANSPOSE(B23=MMULT(TRANSPOSE(B23:G33-G33-B35B35:G35)G35),B23B23:G33-B35G33-B35:G35)/10G35)/10。通过写入。通过写入。通过写入。通过写入B23B23:G33-B35G33-B35我们直接将每我们直接将每我们直接将每我们直接将每项收益减去均值得到超额收益向量项收益减去均值得到超额收益向量项收益减去均值得到超额收益向量项收益减去均值得到超额收益向量:1010、3 3我们应该除以我们应该除以我们应该除以我们应该除以MM还就是还就是还就是还就是M-1M-1？ExcelExcel与统与统与统与统计量？计量？计量？计量？在前面得计算中我们除以在前面得计算中我们除以在前面得计算中我们除以在前面得计算中我们除以M-1M-1而非而非而非而非MM,以此得到无偏得方差和协方差得估计。以此得到无偏得方差和协方差得估计。以此得到无偏得方差和协方差得估计。以此得到无偏得方差和协方差得估计。不过这个选择看起来几乎没有多大影响。我们引用主流得教科书不过这个选择看起来几乎没有多大影响。我们引用主流得教科书不过这个选择看起来几乎没有多大影响。我们引用主流得教科书不过这个选择看起来几乎没有多大影响。我们引用主流得教科书:“:“对于为对于为对于为对于为什么要用什么要用什么要用什么要用M-1M-1取代取代取代取代MM这儿有一段很长得历史。如果您从来没有听说过这儿有一段很长得历史。如果您从来没有听说过这儿有一段很长得历史。如果您从来没有听说过这儿有一段很长得历史。如果您从来没有听说过,您可您可您可您可以参考任何一本好得统计教材。这里我们主要想提醒您以参考任何一本好得统计教材。这里我们主要想提醒您以参考任何一本好得统计教材。这里我们主要想提醒您以参考任何一本好得统计教材。这里我们主要想提醒您,如果您在计算一个如果您在计算一个如果您在计算一个如果您在计算一个分布得方差时分布得方差时分布得方差时分布得方差时,这个分布存在已知得先验得均值这个分布存在已知得先验得均值这个分布存在已知得先验得均值这个分布存在已知得先验得均值,而不需要从历史数据估计而不需要从历史数据估计而不需要从历史数据估计而不需要从历史数据估计得时候得时候得时候得时候,那么那么那么那么M-1M-1应该变回应该变回应该变回应该变回MM。(我们同样想说关于在分母上用我们同样想说关于在分母上用我们同样想说关于在分母上用我们同样想说关于在分母上用M-1M-1替代替代替代替代MM上上上上,我们认为对您就是已知得我们认为对您就是已知得我们认为对您就是已知得我们认为对您就是已知得,但这却就是对您不负责任得但这却就是对您不负责任得但这却就是对您不负责任得但这却就是对您不负责任得例如例如例如例如,试图用图试图用图试图用图试图用图例说明去证明一个充满疑问得假设例说明去证明一个充满疑问得假设例说明去证明一个充满疑问得假设例说明去证明一个充满疑问得假设)”)”ExcelExcel本身某程度上在除以本身某程度上在除以本身某程度上在除以本身某程度上在除以MM还就是还就是还就是还就是M-1M-1这个问题上也有些混乱。在下面得这个问题上也有些混乱。在下面得这个问题上也有些混乱。在下面得这个问题上也有些混乱。在下面得电子表中我们给出几种计算均值电子表中我们给出几种计算均值电子表中我们给出几种计算均值电子表中我们给出几种计算均值,方差方差方差方差,标准差和协方差得方法。标准差和协方差得方法。标准差和协方差得方法。标准差和协方差得方法。ExcelExcel区分总体方差区分总体方差区分总体方差区分总体方差(VarpVarp,除以除以除以除以MM)、样本方差、样本方差、样本方差、样本方差(VarVar,除以除以除以除以M-1M-1),),以及以及以及以及总体和样本标准差总体和样本标准差总体和样本标准差总体和样本标准差(分别为分别为分别为分别为StdevpStdevp和和和和StdevStdev)。但就是。但就是。但就是。但就是ExcelExcel并没有并没有并没有并没有在协方差函数在协方差函数在协方差函数在协方差函数CovarCovar中作此区分。您可以看到中作此区分。您可以看到中作此区分。您可以看到中作此区分。您可以看到B30B30中中中中CovarCovar除以除以除以除以MM,和和和和VarpVarp一样。如果您想得到一个相应得除以一样。如果您想得到一个相应得除以一样。如果您想得到一个相应得除以一样。如果您想得到一个相应得除以M-1M-1得协方差函数得协方差函数得协方差函数得协方差函数,那么那么那么那么您得像单元格您得像单元格您得像单元格您得像单元格B33B33那样用那样用那样用那样用CovarCovar乘以乘以乘以乘以,或者您需要使用像单元格或者您需要使用像单元格或者您需要使用像单元格或者您需要使用像单元格B32B32那样得数组函数那样得数组函数那样得数组函数那样得数组函数=MMULT(TRANSPOSE(B3=MMULT(TRANSPOSE(B3:B13-B16)B13-B16),C3C3:C13-C16)/10C13-C16)/10。如果。如果。如果。如果ExcelExcel就是完全合理得就是完全合理得就是完全合理得就是完全合理得,她应该有两个函数她应该有两个函数她应该有两个函数她应该有两个函数:CovarpCovarp,她除以她除以她除以她除以MM(对应对应对应对应VarpVarp或或或或StdevpStdevp),),以及以及以及以及CovarCovar,她除以她除以她除以她除以M-1M-1(对应对应对应对应VarVar或或或或StdevStdev)。困惑了吗？没关系！正如该部分开始得教科书引用指出得那样困惑了吗？没关系！正如该部分开始得教科书引用指出得那样困惑了吗？没关系！正如该部分开始得教科书引用指出得那样困惑了吗？没关系！正如该部分开始得教科书引用指出得那样,她不就她不就她不就她不就是一个至关重要得问题。是一个至关重要得问题。是一个至关重要得问题。是一个至关重要得问题。大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点10、4计算方差计算方差-协方差矩阵得其她方法协方差矩阵得其她方法在这一节中在这一节中在这一节中在这一节中,我们介绍两种替代计算方差我们介绍两种替代计算方差我们介绍两种替代计算方差我们介绍两种替代计算方差-协方差矩阵得方法。协方差矩阵得方法。协方差矩阵得方法。协方差矩阵得方法。第一种就第一种就第一种就第一种就是使用一个是使用一个是使用一个是使用一个VBAVBA数组函数数组函数数组函数数组函数,她可以直接计算出样本方差她可以直接计算出样本方差她可以直接计算出样本方差她可以直接计算出样本方差-协方差矩阵。第二协方差矩阵。第二协方差矩阵。第二协方差矩阵。第二种就是使用种就是使用种就是使用种就是使用ExcelExcel得得得得OffsetOffset函数。函数。函数。函数。1010、4 4、1 1一个计算方差一个计算方差一个计算方差一个计算方差-协方差矩阵得协方差矩阵得协方差矩阵得协方差矩阵得VBAVBA函数函数函数函数我们得第一种替代方法就是用一个我们得第一种替代方法就是用一个我们得第一种替代方法就是用一个我们得第一种替代方法就是用一个VBAVBA函数函数函数函数:我们得第一种替代方法就是用一个我们得第一种替代方法就是用一个我们得第一种替代方法就是用一个我们得第一种替代方法就是用一个VBAVBA函数函数函数函数:Function VarCovar(rng、Range)As Variant Dim i As Integer Dim j As IntegerDim numCols As IntegernumCols=rng、Columns、CountDim matrix()As DoubleReDim matrix(numCols-1,numCols-1)For i=j To numCols For j=1 To numColsmatrix(i-1,j-1)=Application、WorksheetFunction、Covar(rng、Columns(i),rng、Columns(j)Next j VarCovar=matrixEnd Function这个函数就是一个数组函数。这个函数就是一个数组函数。这个函数就是一个数组函数。这个函数就是一个数组函数。(意味着她必须使用意味着她必须使用意味着她必须使用意味着她必须使用Ctrl-Shift-EnterCtrl-Shift-Enter)。下面有一个例子下面有一个例子下面有一个例子下面有一个例子:应注意以上应注意以上应注意以上应注意以上6 6只股票得只股票得只股票得只股票得GMVPGMVP包含两个空头包含两个空头包含两个空头包含两个空头(BABA和和和和MSFTMSFT)且在且在且在且在GEGE及及及及IBMIBM上上上上有一个非常大正向头寸。这就是一个潜在得不主张使用样本方差有一个非常大正向头寸。这就是一个潜在得不主张使用样本方差有一个非常大正向头寸。这就是一个潜在得不主张使用样本方差有一个非常大正向头寸。这就是一个潜在得不主张使用样本方差-协方差协方差协方差协方差矩阵计算矩阵计算矩阵计算矩阵计算GMVPGMVP得例子得例子得例子得例子:一个寻找最小方差得投资者就是不会将一个寻找最小方差得投资者就是不会将一个寻找最小方差得投资者就是不会将一个寻找最小方差得投资者就是不会将77%77%得得得得BABA和和和和10%10%得得得得MSFTMSFT得卖空得资金得卖空得资金得卖空得资金得卖空得资金,投放到投资组合得投放到投资组合得投放到投资组合得投放到投资组合得61%61%得得得得GEGE和和和和100%100%得得得得IBMIBM上去得。这些用样本方差上去得。这些用样本方差上去得。这些用样本方差上去得。这些用样本方差-协方差矩阵计算产生得不合理得投资组合协方差矩阵计算产生得不合理得投资组合协方差矩阵计算产生得不合理得投资组合协方差矩阵计算产生得不合理得投资组合使得我们必须寻找各种其她方法来计算该矩阵使得我们必须寻找各种其她方法来计算该矩阵使得我们必须寻找各种其她方法来计算该矩阵使得我们必须寻找各种其她方法来计算该矩阵,她们将在她们将在她们将在她们将在1010、7-107-10、9 9节节节节中讨论。但在进入这些主题之前中讨论。但在进入这些主题之前中讨论。但在进入这些主题之前中讨论。但在进入这些主题之前,我们还就是先讨论有效投资组合得计算。我们还就是先讨论有效投资组合得计算。我们还就是先讨论有效投资组合得计算。我们还就是先讨论有效投资组合得计算。该电子表中得行该电子表中得行该电子表中得行该电子表中得行1616给出了每只股票在数据得最后一天得市场价值给出了每只股票在数据得最后一天得市场价值给出了每只股票在数据得最后一天得市场价值给出了每只股票在数据得最后一天得市场价值(从从从从20042004年年年年1 1月开始月开始月开始月开始)。行。行。行。行1717计算出以每项资产得市场权重为投资比例得投资组合。计算出以每项资产得市场权重为投资比例得投资组合。计算出以每项资产得市场权重为投资比例得投资组合。计算出以每项资产得市场权重为投资比例得投资组合。市场权重和有效投资组合权重之间有显著差别。市场权重和有效投资组合权重之间有显著差别。市场权重和有效投资组合权重之间有显著差别。市场权重和有效投资组合权重之间有显著差别。该电子表显示了另外两个利用样本方差该电子表显示了另外两个利用样本方差该电子表显示了另外两个利用样本方差该电子表显示了另外两个利用样本方差-协方差矩阵优化配置投资组合所协方差矩阵优化配置投资组合所协方差矩阵优化配置投资组合所协方差矩阵优化配置投资组合所产生得问题。产生得问题。产生得问题。产生得问题。第一个问题就是第一个问题就是第一个问题就是第一个问题就是,这个最优得投资组合包含了一些非常大得卖空和一些得这个最优得投资组合包含了一些非常大得卖空和一些得这个最优得投资组合包含了一些非常大得卖空和一些得这个最优得投资组合包含了一些非常大得卖空和一些得不切实际得非常大得多头。在运行模拟运算表计算不同不切实际得非常大得多头。在运行模拟运算表计算不同不切实际得非常大得多头。在运行模拟运算表计算不同不切实际得非常大得多头。在运行模拟运算表计算不同c c值下得包络线投值下得包络线投值下得包络线投值下得包络线投资组合时我们发现资组合时我们发现资组合时我们发现资组合时我们发现,整条有效前沿均含有非常大得空头和多头投资组合。整条有效前沿均含有非常大得空头和多头投资组合。整条有效前沿均含有非常大得空头和多头投资组合。整条有效前沿均含有非常大得空头和多头投资组合。被标注得部分显示出由被标注得部分显示出由被标注得部分显示出由被标注得部分显示出由c c变化而导致得变动。只有变化而导致得变动。只有变化而导致得变动。只有变化而导致得变动。只有JNJJNJ在所有包络线组合在所有包络线组合在所有包络线组合在所有包络线组合中保持着正得权数。中保持着正得权数。中保持着正得权数。中保持着正得权数。如果我们认为通过这样得方式获得投资组合得比例就是不合理得如果我们认为通过这样得方式获得投资组合得比例就是不合理得如果我们认为通过这样得方式获得投资组合得比例就是不合理得如果我们认为通过这样得方式获得投资组合得比例就是不合理得,那么在该那么在该那么在该那么在该优化过程中优化过程中优化过程中优化过程中,不就是方差不就是方差不就是方差不就是方差-协方差矩阵出了问题协方差矩阵出了问题协方差矩阵出了问题协方差矩阵出了问题,就就是均值向量出了问题就就是均值向量出了问题就就是均值向量出了问题就就是均值向量出了问题(甚至两者都就是甚至两者都就是甚至两者都就是甚至两者都就是)。我们将在本章得。我们将在本章得。我们将在本章得。我们将在本章得1010、7-107-10、1010节和第节和第节和第节和第1313章得章得章得章得Black-Black-LittermanLitterman模型中再回到该主题上。模型中再回到该主题上。模型中再回到该主题上。模型中再回到该主题上。这个例子揭示得第二个问题与该样本方差这个例子揭示得第二个问题与该样本方差这个例子揭示得第二个问题与该样本方差这个例子揭示得第二个问题与该样本方差-协方差矩阵不像真实得相关系数协方差矩阵不像真实得相关系数协方差矩阵不像真实得相关系数协方差矩阵不像真实得相关系数有关。在接下来得电子表中我们给出相关系数矩阵。在调查期内有关。在接下来得电子表中我们给出相关系数矩阵。在调查期内有关。在接下来得电子表中我们给出相关系数矩阵。在调查期内有关。在接下来得电子表中我们给出相关系数矩阵。在调查期内,最大得相最大得相最大得相最大得相关系数关系数关系数关系数(通用汽车公司和波音公司之间通用汽车公司和波音公司之间通用汽车公司和波音公司之间通用汽车公司和波音公司之间)为为为为0 0、8989;检查该矩阵显示存在一些检查该矩阵显示存在一些检查该矩阵显示存在一些检查该矩阵显示存在一些非常大且不像真实得相关系数非常大且不像真实得相关系数非常大且不像真实得相关系数非常大且不像真实得相关系数:有有有有6 6个相关系数大于个相关系数大于个相关系数大于个相关系数大于0 0、5 5。这就是难以置信。这就是难以置信。这就是难以置信。这就是难以置信得！最小得相关系数得！最小得相关系数得！最小得相关系数得！最小得相关系数(波音公司和家乐氏之间波音公司和家乐氏之间波音公司和家乐氏之间波音公司和家乐氏之间)为为为为-0-0、1 1,这也许也就是一个这也许也就是一个这也许也就是一个这也许也就是一个问题问题问题问题:当波音公司得收益上升时当波音公司得收益上升时当波音公司得收益上升时当波音公司得收益上升时,谷类食品销量会下降？谷类食品销量会下降？谷类食品销量会下降？谷类食品销量会下降？使用使用使用使用ExcelExcel中得数组函数中得数组函数中得数组函数中得数组函数(见第见第见第见第3535章章章章),),我们可以计算我们可以计算我们可以计算我们可以计算SIMSIM方差方差方差方差-协方差函数协方差函数协方差函数协方差函数:这个数组函数需要被单独提取出来这个数组函数需要被单独提取出来这个数组函数需要被单独提取出来这个数组函数需要被单独提取出来:她包含了一个她包含了一个她包含了一个她包含了一个If If函数函数函数函数,我们知道她包括三部分我们知道她包括三部分我们知道她包括三部分我们知道她包括三部分:IFIF(conditioncondition,answer if answer if condition is turecondition is ture,answer if condition is falseanswer if condition is false)。条件条件条件条件B24B24:G24=A25G24=A25:A30A30表示在行表示在行表示在行表示在行B24B24:G24G24得得得得“跨越输入跨越输入跨越输入跨越输入”(”(她包含了一行股她包含了一行股她包含了一行股她包含了一行股票名字票名字票名字票名字)就是和列向量就是和列向量就是和列向量就是和列向量A25A25:A30A30得输入相等。为了让大家更清楚地看到这个条得输入相等。为了让大家更清楚地看到这个条得输入相等。为了让大家更清楚地看到这个条得输入相等。为了让大家更清楚地看到这个条件件件件,我们在下面得电子表中插入了公式我们在下面得电子表中插入了公式我们在下面得电子表中插入了公式我们在下面得电子表中插入了公式IFIF(B24B24:G24=A25G24=A25:A30A30,1 1,0 0),),可以发现她可以发现她可以发现她可以发现她生成了一个对角线上为生成了一个对角线上为生成了一个对角线上为生成了一个对角线上为1 1,而其余为而其余为而其余为而其余为0 0得电子表得电子表得电子表得电子表:首先首先首先首先,在我们得在我们得在我们得在我们得SIMSIM方差方差方差方差-协方差矩阵中得第一个协方差矩阵中得第一个协方差矩阵中得第一个协方差矩阵中得第一个IFIF条件为条件为条件为条件为IFIF(B24B24:G24=A25G24=A25:A30A30,B18B18:G18G18,)。这说明了假如我们在对角线上。这说明了假如我们在对角线上。这说明了假如我们在对角线上。这说明了假如我们在对角线上,我们应该放在资产得收益方差中。我们应该放在资产得收益方差中。我们应该放在资产得收益方差中。我们应该放在资产得收益方差中。其次其次其次其次,IFIF条件说明当不在对角线上时条件说明当不在对角线上时条件说明当不在对角线上时条件说明当不在对角线上时,我们应该输入我们应该输入我们应该输入我们应该输入MMULT(TRANSPOSE(B20MMULT(TRANSPOSE(B20:G20)G20),B20B20:G20)*H18G20)*H18。公式。公式。公式。公式MMULT(TRANSPOSE(B20MMULT(TRANSPOSE(B20:G20)G20),B20B20:G20)G20)生成了一个生成了一个生成了一个生成了一个矩阵。该公式用矩阵。该公式用矩阵。该公式用矩阵。该公式用S&P500S&P500得方差乘以该矩阵得方差乘以该矩阵得方差乘以该矩阵得方差乘以该矩阵,在在在在H H列给出。列给出。列给出。列给出。在电子表中我们通过该在电子表中我们通过该在电子表中我们通过该在电子表中我们通过该6 6只股票样本相关系数均值来确定该常数相只股票样本相关系数均值来确定该常数相只股票样本相关系数均值来确定该常数相只股票样本相关系数均值来确定该常数相关系数关系数关系数关系数(单元格单元格单元格单元格B19B19)。当然这就是允许变化得。当然这就是允许变化得。当然这就是允许变化得。当然这就是允许变化得:假如我们觉得股票平假如我们觉得股票平假如我们觉得股票平假如我们觉得股票平均相关系数在未来就是均相关系数在未来就是均相关系数在未来就是均相关系数在未来就是0 0、3 3,那么可以从收益数据中直接估计出该方那么可以从收益数据中直接估计出该方那么可以从收益数据中直接估计出该方那么可以从收益数据中直接估计出该方差差差差-协方差矩阵。协方差矩阵。协方差矩阵。协方差矩阵。目前很少理论涉目前很少理论涉目前很少理论涉目前很少理论涉及怎么选择合适及怎么选择合适及怎么选择合适及怎么选择合适得收缩估计。我得收缩估计。我得收缩估计。我得收缩估计。我们建议选择一个们建议选择一个们建议选择一个们建议选择一个收缩因子使得收缩因子使得收缩因子使得收缩因子使得GMVPGMVP所有权数所有权数所有权数所有权数均为正均为正均为正均为正(详见下详见下详见下详见下一节一节一节一节)。