二阶常系数齐次线性微分方程的教学内容.ppt

二阶常系数齐次线性微分方程的通解二阶常系数齐次线性微分方程的通解 5/17/20241一、定义一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式5/17/20242二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法将其代入上方程将其代入上方程,得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根5/17/20243 有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为5/17/20244反之：反之：5/17/20245 有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为5/17/20246反之：反之：5/17/20247 有一对共轭复根有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为5/17/20248定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 15/17/20249例例 1求方程求方程 y -2y -3y=0 的通的通解解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 r2-2r 3=0,它有两它有两个不等的实根个不等的实根 r1=-1，r2=3,其其对对应应的的两两个个线线性性无无关的特解为关的特解为 y1=e-x 与与 y2=e3x,所所以以方方程程的的通通解解为为5/17/202410例例 2求求方方程程 y -4y +4y=0 的的满满足足初初始始条条件件 y(0)=1，y(0)=4 的特解的特解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 r2-4r+4=0，求得求得求得求得将将 y(0)=1，y(0)=4 代入上两式，得代入上两式，得 C1=1，C2=2，y=(1+2x)e2x.其其对对应应的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解为为 y1=e2x 与与 y2=xe2x，所以通解为所以通解为所以通解为所以通解为因此，所求特解为因此，所求特解为 它它有有重根重根 r=2.5/17/202411解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2 25/17/202412例例 3求方程求方程 2y +2y +3y=0 的通的通解解.解解该该方方程程的的特特征征方方程程为为 2r2+2r+3=0，它它有共轭复根有共轭复根对对应应的的两两个个线线性性无无关关的的解解为为所以方程的通解为所以方程的通解为所以方程的通解为所以方程的通解为5/17/202413例例 4求方程求方程 y +4y=0 的通解的通解.解解该该方方程程的的特特征征方方程程为为 r2+4=0，它它有有共共轭轭复根复根 r1,2=2i.即即a a=0，b b=2.对对应应的的两两个个线线性性无关的解无关的解 y1=cos 2x.y2=sin 2x.所以方程的通解为所以方程的通解为5/17/2024145/17/202415三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项5/17/202416注意注意n次代数方程有次代数方程有n个根个根,而特征方程的每而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项一个根都对应着通解中的一项,且每一且每一项各一个任意常数项各一个任意常数.5/17/202417特征根为特征根为故所求通解为故所求通解为解解特征方程为特征方程为例例4 45/17/202418二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.(见下表见下表)5/17/2024195/17/202420思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.5/17/202421